2017年上海市高考數(shù)學(xué)試卷

1、2017年上海市高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）1（4分）已知集合A=1，2，3，4，集合B=3，4，5，則AB= 2（4分）若排列數(shù)=6×5×4，則m= 3（4分）不等式1的解集為 4（4分）已知球的體積為36，則該球主視圖的面積等于 5（4分）已知復(fù)數(shù)z滿足z+=0，則|z|= 6（4分）設(shè)雙曲線=1（b0）的焦點為F1、F2，P為該雙曲線上的一點，若|PF1|=5，則|PF2|= 7（5分）如圖，以長方體ABCDA1B1C1D1的頂點D為坐標(biāo)原點，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為（

2、4，3，2），則的坐標(biāo)是 8（5分）定義在（0，+）上的函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f1（x），若g（x）=為奇函數(shù)，則f1（x）=2的解為 9（5分）已知四個函數(shù)：y=x，y=，y=x3，y=x，從中任選2個，則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為 10（5分）已知數(shù)列an和bn，其中an=n2，nN*，bn的項是互不相等的正整數(shù)，若對于任意nN*，bn的第an項等于an的第bn項，則= 11（5分）設(shè)a1、a2R，且，則|10a1a2|的最小值等于 12（5分）如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1、P2、P3、P4以及四個標(biāo)記為“”的點在正方形的頂點處，設(shè)集合=P

3、1，P2，P3，P4，點P，過P作直線lP，使得不在lP上的“”的點分布在lP的兩側(cè)用D1（lP）和D2（lP）分別表示lP一側(cè)和另一側(cè)的“”的點到lP的距離之和若過P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），則中所有這樣的P為 二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13（5分）關(guān)于x、y的二元一次方程組的系數(shù)行列式D為（）ABCD14（5分）在數(shù)列an中，an=（）n，nN*，則an（）A等于B等于0C等于D不存在15（5分）已知a、b、c為實常數(shù)，數(shù)列xn的通項xn=an2+bn+c，nN*，則“存在kN*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列”的一

4、個必要條件是（）Aa0Bb0Cc=0Da2b+c=016（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：=1和C2：x2+=1P為C1上的動點，Q為C2上的動點，w是的最大值記=（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w，則中元素個數(shù)為（）A2個B4個C8個D無窮個三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分）17（14分）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5（1）求三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）設(shè)M是BC中點，求直線A1M與平面ABC所成角的大小18（14分）已知函數(shù)f（x）=cos2xsin2

5、x+，x（0，）（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）設(shè)ABC為銳角三角形，角A所對邊a=，角B所對邊b=5，若f（A）=0，求ABC的面積19（14分）根據(jù)預(yù)測，某地第n（nN*）個月共享單車的投放量和損失量分別為an和bn（單位：輛），其中an=，bn=n+5，第n個月底的共享單車的保有量是前n個月的累計投放量與累計損失量的差（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點第n個月底的單車容納量Sn=4（n46）2+8800（單位：輛）設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？20（16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：=

6、1，A為的上頂點，P為上異于上、下頂點的動點，M為x正半軸上的動點（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（），若以A、P、M為頂點的三角形是直角三角形，求M的橫坐標(biāo)；（3）若|MA|=|MP|，直線AQ與交于另一點C，且，求直線AQ的方程21（18分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x1、x2R，當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2）（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范圍；（2）若f（x）是周期函數(shù)，證明：f（x）是常值函數(shù)；（3）設(shè)f（x）恒大于零，g（x）是定義在R上的、恒大于零的周期函數(shù)，M是g（x）的最大值函數(shù)h（x）=f（x）g（x）證明：“h（x

7、）是周期函數(shù)”的充要條件是“f（x）是常值函數(shù)”2017年上海市高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）1（4分）已知集合A=1，2，3，4，集合B=3，4，5，則AB=3，4【分析】利用交集定義直接求解【解答】解：集合A=1，2，3，4，集合B=3，4，5，AB=3，4故答案為：3，4【點評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運用2（4分）若排列數(shù)=6×5×4，則m=3【分析】利用排列數(shù)公式直接求解【解答】解：排列數(shù)=6×5×4，由排列數(shù)公式得，m=3故

8、答案為：m=3【點評】本題考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列數(shù)公式的合理運用3（4分）不等式1的解集為（，0）【分析】根據(jù)分式不等式的解法求出不等式的解集即可【解答】解：由1得：，故不等式的解集為：（，0），故答案為：（，0）【點評】本題考查了解分式不等式，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道基礎(chǔ)題4（4分）已知球的體積為36，則該球主視圖的面積等于9【分析】由球的體積公式，可得半徑R=3，再由主視圖為圓，可得面積【解答】解：球的體積為36，設(shè)球的半徑為R，可得R3=36，可得R=3，該球主視圖為半徑為3的圓，可得面積為R2=9故答案為：9【點評】本題考查球的體積公式，以及主視圖的形狀和面

9、積求法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題5（4分）已知復(fù)數(shù)z滿足z+=0，則|z|=【分析】設(shè)z=a+bi（a，bR），代入z2=3，由復(fù)數(shù)相等的條件列式求得a，b的值得答案【解答】解：由z+=0，得z2=3，設(shè)z=a+bi（a，bR），由z2=3，得（a+bi）2=a2b2+2abi=3，即，解得：則|z|=故答案為：【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)相等的條件以及復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題6（4分）設(shè)雙曲線=1（b0）的焦點為F1、F2，P為該雙曲線上的一點，若|PF1|=5，則|PF2|=11【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得a的值，結(jié)合雙曲線的定義可得|PF1|PF2|=6，解可

10、得|PF2|的值，即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為：=1，其中a=3，則有|PF1|PF2|=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或1（舍）故|PF2|=11，故答案為：11【點評】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線的定義7（5分）如圖，以長方體ABCDA1B1C1D1的頂點D為坐標(biāo)原點，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為（4，3，2），則的坐標(biāo)是（4，3，2）【分析】由的坐標(biāo)為（4，3，2），分別求出A和C1的坐標(biāo)，由此能求出結(jié)果【解答】解：如圖，以長方體ABCDA1B1C1D1的頂點D為坐標(biāo)原點，過D的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建

11、立空間直角坐標(biāo)系，的坐標(biāo)為（4，3，2），A（4，0，0），C1（0，3，2），故答案為：（4，3，2）【點評】本題考查空間向量的坐標(biāo)的求法，考查空間直角坐標(biāo)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題8（5分）定義在（0，+）上的函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f1（x），若g（x）=為奇函數(shù)，則f1（x）=2的解為【分析】由奇函數(shù)的定義，當(dāng)x0時，x0，代入已知解析式，即可得到所求x0的解析式，再由互為反函數(shù)的兩函數(shù)的自變量和函數(shù)值相反，即可得到所求值【解答】解：若g（x）=為奇函數(shù)，可得當(dāng)x0時，x0，即有g(shù)（x）=3x1，由g（x）為奇函數(shù)，可得g（x）=g（x），則g（x

12、）=f（x）=13x，x0，由定義在（0，+）上的函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)為y=f1（x），且f1（x）=2，可由f（2）=132=，可得f1（x）=2的解為x=故答案為：【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性和運用，考查互為反函數(shù)的自變量和函數(shù)值的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題9（5分）已知四個函數(shù)：y=x，y=，y=x3，y=x，從中任選2個，則事件“所選2個函數(shù)的圖象有且僅有一個公共點”的概率為【分析】從四個函數(shù)中任選2個，基本事件總數(shù)n=，再利用列舉法求出事件A：“所選2個函數(shù)的圖象有且只有一個公共點”包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出事件A：“所選2個函數(shù)的圖象有且只有一個公共點”的概率【解答】

13、解：給出四個函數(shù)：y=x，y=，y=x3，y=x，從四個函數(shù)中任選2個，基本事件總數(shù)n=，有兩個公共點（0，0），（1，1）事件A：“所選2個函數(shù)的圖象有且只有一個公共點”包含的基本事件有：，共2個，事件A：“所選2個函數(shù)的圖象有且只有一個公共點”的概率為P（A）=故答案為：【點評】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用10（5分）已知數(shù)列an和bn，其中an=n2，nN*，bn的項是互不相等的正整數(shù)，若對于任意nN*，bn的第an項等于an的第bn項，則=2【分析】an=n2，nN*，若對于一切nN*，bn中的第an項恒等于an中的第bn項，可得=于是b1=a1

14、=1，=b4，=b9，=b16即可得出【解答】解：an=n2，nN*，若對于一切nN*，bn中的第an項恒等于an中的第bn項，=b1=a1=1，=b4，=b9，=b16b1b4b9b16=2故答案為：2【點評】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題11（5分）設(shè)a1、a2R，且，則|10a1a2|的最小值等于【分析】由題意，要使+=2，可得sin1=1，sin22=1求出1和2，即可求出|1012|的最小值【解答】解：根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可知sin1，sin22的范圍在1，1，要使+=2，sin1=1，sin22=1則：，k1Z，即，k2Z那么：1+2=

15、（2k1+k2），k1、k2Z|1012|=|10（2k1+k2）|的最小值為故答案為：【點評】本題主要考察三角函數(shù)性質(zhì)，有界限的范圍的靈活應(yīng)用，屬于基本知識的考查12（5分）如圖，用35個單位正方形拼成一個矩形，點P1、P2、P3、P4以及四個標(biāo)記為“”的點在正方形的頂點處，設(shè)集合=P1，P2，P3，P4，點P，過P作直線lP，使得不在lP上的“”的點分布在lP的兩側(cè)用D1（lP）和D2（lP）分別表示lP一側(cè)和另一側(cè)的“”的點到lP的距離之和若過P的直線lP中有且只有一條滿足D1（lP）=D2（lP），則中所有這樣的P為P1、P3、P4【分析】根據(jù)任意四邊形ABCD兩組對邊中點的連線交于一

16、點，過此點作直線，使四邊形的四個頂點不在該直線的同一側(cè)，則該直線兩側(cè)的四邊形的頂點到直線的距離之和相等；由此得出結(jié)論【解答】解：設(shè)記為“”的四個點是A，B，C，D，線段AB，BC，CD，DA的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，易知EFGH為平行四邊形，如圖所示；又平行四邊形EFGH的對角線交于點P2，則符合條件的直線lP一定經(jīng)過點P2，且過點P2的直線有無數(shù)條； 由過點P1和P2的直線有且僅有1條，過點P3和P2的直線有且僅有1條，過點P4和P2的直線有且僅有1條，所以符合條件的點是P1、P3、P4故答案為：P1、P3、P4【點評】本題考查了數(shù)學(xué)理解力與轉(zhuǎn)化力的應(yīng)用問題，也考查了對基本問題的閱讀理解和

17、應(yīng)用轉(zhuǎn)化能力二、選擇題（本大題共4題，每題5分，共20分）13（5分）關(guān)于x、y的二元一次方程組的系數(shù)行列式D為（）ABCD【分析】利用線性方程組的系數(shù)行列式的定義直接求解【解答】解：關(guān)于x、y的二元一次方程組的系數(shù)行列式：D=故選：C【點評】本題考查線性方程組的系數(shù)行列式的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意線性方程組的系數(shù)行列式的定義的合理運用14（5分）在數(shù)列an中，an=（）n，nN*，則an（）A等于B等于0C等于D不存在【分析】根據(jù)極限的定義，求出an=的值【解答】解：數(shù)列an中，an=（）n，nN*，則an=0故選：B【點評】本題考查了極限的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題15（5分）

18、已知a、b、c為實常數(shù)，數(shù)列xn的通項xn=an2+bn+c，nN*，則“存在kN*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列”的一個必要條件是（）Aa0Bb0Cc=0Da2b+c=0【分析】由x100+k，x200+k，x300+k成等差數(shù)列，可得：2x200+k=x100+kx300+k，代入化簡即可得出【解答】解：存在kN*，使得x100+k、x200+k、x300+k成等差數(shù)列，可得：2a（200+k）2+b（200+k）+c=a（100+k）2+b（100+k）+c+a（300+k）2+b（300+k）+c，化為：a=0使得x100+k，x200+k，x300+k成等差

19、數(shù)列的必要條件是a0故選：A【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題16（5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：=1和C2：x2+=1P為C1上的動點，Q為C2上的動點，w是的最大值記=（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w，則中元素個數(shù)為（）A2個B4個C8個D無窮個【分析】設(shè)出P（6cos，2sin），Q（cos，3sin），02，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角差的余弦公式和余弦函數(shù)的值域，可得最大值及取得的條件，即可判斷所求元素的個數(shù)【解答】解：橢圓C1：=1和C2：x2+=1P為C1上的動點，Q為C2上的動點，可設(shè)P（6c

20、os，2sin），Q（cos，3sin），02，則=6coscos+6sinsin=6cos（），當(dāng)=2k，kZ時，w取得最大值6，則=（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w中的元素有無窮多對另解：令P（m，n），Q（u，v），則m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324（3mu+3nv）2，當(dāng)且僅當(dāng)mv=nu，即O、P、Q共線時，取得最大值6，顯然，滿足條件的P、Q有無窮多對，D項正確故選：D【點評】本題考查橢圓的參數(shù)方程的運用，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和余弦函數(shù)的值域，考查集合的幾何意義，屬于中檔題三、解答題（本大題共5題，共14+14+

21、14+16+18=76分）17（14分）如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5（1）求三棱柱ABCA1B1C1的體積；（2）設(shè)M是BC中點，求直線A1M與平面ABC所成角的大小【分析】（1）三棱柱ABCA1B1C1的體積V=SABC×AA1=，由此能求出結(jié)果（2）連結(jié)AM，A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，由此能求出直線A1M與平面ABC所成角的大小【解答】解：（1）直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5三棱柱ABCA1B1C1的體積：V=SABC&

22、#215;AA1=20（2）連結(jié)AM，直三棱柱ABCA1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5，M是BC中點，AA1底面ABC，AM=，A1MA是直線A1M與平面ABC所成角，tanA1MA=，直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctan【點評】本題考查三棱柱的體積的求法，考查線面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題18（14分）已知函數(shù)f（x）=cos2xsin2x+，x（0，）（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（

23、2）設(shè)ABC為銳角三角形，角A所對邊a=，角B所對邊b=5，若f（A）=0，求ABC的面積【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函數(shù)的遞增區(qū)間，解不等式可得所求增區(qū)間；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面積公式，計算即可得到所求值【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=cos2xsin2x+=cos2x+，x（0，），由2k2x2k，解得kxk，kZ，k=1時，x，可得f（x）的增區(qū)間為，）；（2）設(shè)ABC為銳角三角形，角A所對邊a=，角B所對邊b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=，即A=，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，化為c25c

24、+6=0，解得c=2或3，若c=2，則cosB=0，即有B為鈍角，c=2不成立，則c=3，ABC的面積為S=bcsinA=×5×3×=【點評】本題考查二倍角公式和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查解三角形的余弦定理和面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題19（14分）根據(jù)預(yù)測，某地第n（nN*）個月共享單車的投放量和損失量分別為an和bn（單位：輛），其中an=，bn=n+5，第n個月底的共享單車的保有量是前n個月的累計投放量與累計損失量的差（1）求該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量；（2）已知該地共享單車停放點第n個月底的單車容納量Sn=4（n46）2+8800（單位

25、：輛）設(shè)在某月底，共享單車保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時停放點的單車容納量？【分析】（1）計算出an和bn的前4項和的差即可得出答案；（2）令anbn得出n42，再計算第42個月底的保有量和容納量即可得出結(jié)論【解答】解：（1）an=，bn=n+5a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9前4個月共投放單車為a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4個月共損失單車為b1+b2+b3+b4=6+7

26、+8+9=30，該地區(qū)第4個月底的共享單車的保有量為96530=935（2）令anbn，顯然n3時恒成立，當(dāng)n4時，有10n+470n+5，解得n，第42個月底，保有量達(dá)到最大當(dāng)n4，an為公差為10等差數(shù)列，而bn為等差為1的等差數(shù)列，到第42個月底，單車保有量為×39+535×42=×39+535×42=8782S42=4×16+8800=873687828736，第42個月底單車保有量超過了容納量【點評】本題考查了數(shù)列模型的應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題20（16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：=1，A為的上頂點，P為上異于

27、上、下頂點的動點，M為x正半軸上的動點（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（），若以A、P、M為頂點的三角形是直角三角形，求M的橫坐標(biāo)；（3）若|MA|=|MP|，直線AQ與交于另一點C，且，求直線AQ的方程【分析】（1）設(shè)P（x，y）（x0，y0），聯(lián)立，能求出P點坐標(biāo)（2）設(shè)M（x0，0），A（0，1），P（），由P=90°，求出x0=；由M=90°，求出x0=1或x0=；由A=90°，則M點在x軸負(fù)半軸，不合題意由此能求出點M的橫坐標(biāo)（3）設(shè)C（2cos，sin），推導(dǎo)出Q（4cos，2sin1），設(shè)P（2cos，sin），M（x0，0

28、）推導(dǎo)出x0=cos，從而 4cos2cos=5cos，且2sinsin1=4sin，cos=cos，且sin=（12sin），由此能求出直線AQ【解答】解：（1）設(shè)P（x，y）（x0，y0），橢圓：=1，A為的上頂點，P為上異于上、下頂點的動點，P在第一象限，且|OP|=，聯(lián)立，解得P（，）（2）設(shè)M（x0，0），A（0，1），P（），若P=90°，則，即（x0，）（，）=0，（）x0+=0，解得x0=如圖，若M=90°，則=0，即（x0，1）（x0，）=0，=0，解得x0=1或x0=，若A=90°，則M點在x軸負(fù)半軸，不合題意點M的橫坐標(biāo)為，或1，或（3）設(shè)C

29、（2cos，sin），A（0，1），Q（4cos，2sin1），又設(shè)P（2cos，sin），M（x0，0），|MA|=|MP|，x02+1=（2cosx0）2+（sin）2，整理得：x0=cos，=（4cos2cos，2sinsin1），=（cos，sin），4cos2cos=5cos，且2sinsin1=4sin，cos=cos，且sin=（12sin），以上兩式平方相加，整理得3（sin）2+sin2=0，sin=，或sin=1（舍去），此時，直線AC的斜率kAC= （負(fù)值已舍去），如圖直線AQ為y=x+1【點評】本題考查點的坐標(biāo)的求法，考查直線方程的求法，考查橢圓、直線方程、三角函數(shù)等基

30、礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方思想，是中檔題21（18分）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意的x1、x2R，當(dāng)x1x2時，都有f（x1）f（x2）（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范圍；（2）若f（x）是周期函數(shù)，證明：f（x）是常值函數(shù)；（3）設(shè)f（x）恒大于零，g（x）是定義在R上的、恒大于零的周期函數(shù)，M是g（x）的最大值函數(shù)h（x）=f（x）g（x）證明：“h（x）是周期函數(shù)”的充要條件是“f（x）是常值函數(shù)”【分析】（1）直接由f（x1）f（x2）0求得a的取值范圍；（2）若f（x）是周期函數(shù)，記其周期為Tk，任取x0R，則有f（x0）=f（x0+Tk），證明對任意xx0，x0+Tk，f（x0）f（x）f（x0+Tk），可得f（x0）=f（x0+nTk），nZ，再由x03Tk，x02Tkx02Tk，x0Tkx0Tk，x0x0，x0+Tkx0+Tk，x0+2Tk=R，可得對任意xR，f（x）=f