2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第4節(jié) 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式 教案

1、第四節(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)1單變量不等式的證明單變量不等式的證明方法（1）移項(xiàng)法：證明不等式f（x）g（x）（f（x）g（x）的問題轉(zhuǎn)化為證明f（x）g（x）0（f（x）g（x）0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）f（x）g（x）；（2）構(gòu)造“形似”函數(shù)：對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；（3）最值法：欲證f（x）g（x），有時(shí)可以證明f（x）maxg（x）min.直接將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題已知函數(shù)f（x）ln xax2（2a1）x.（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)a0時(shí)，證明f（x）2.解（1）f（x）

2、的定義域?yàn)椋?，），f（x）2ax2a1.當(dāng)a0，則當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）0，故f（x）在（0，）上單調(diào)遞增.當(dāng)a0，則當(dāng)x時(shí)，f（x）0；當(dāng)x時(shí)，f（x）0.故f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）知，當(dāng)a0時(shí)，f（x）在x取得最大值，最大值為fln1.所以f（x）2等價(jià)于ln12，即ln10.設(shè)g（x）ln xx1，則g（x）1.當(dāng)x（0,1）時(shí)，g（x）0；當(dāng)x（1，）時(shí)，g（x）0.所以g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，）上單調(diào)遞減.故當(dāng)x1時(shí)，g（x）取得最大值，最大值為g（1）0.所以當(dāng)x0時(shí)，g（x）0.從而當(dāng)a0時(shí)，ln10，即f（x）2.將不等式轉(zhuǎn)化

3、為函數(shù)最值來證明不等式，其主要思想是依據(jù)函數(shù)在固定區(qū)間的單調(diào)性，直接求得函數(shù)的最值，然后由f（x）f（x）max或f（x）f（x）min直接證得不等式.轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較已知f（x）xln x.（1）求函數(shù)f（x）在t，t2（t0）上的最小值；（2）證明：對一切x（0，），都有l(wèi)n x成立.解（1）由f（x）xln x，x0，得f（x）ln x1，令f（x）0，得x.當(dāng)x時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增.當(dāng)0tt2，即0t時(shí)，f（x）minf；當(dāng)tt2，即t時(shí)，f（x）在t，t2上單調(diào)遞增，f（x）minf（t）tln t.所以f（x）min（2

4、）證明：問題等價(jià)于證明xln x（x（0，）.由（1）可知f（x）xln x（x（0，）的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取到.設(shè)m（x）（x（0，），則m（x），由m（x）0得x1時(shí)，m（x）為減函數(shù)，由m（x）0得0x1時(shí)，m（x）為增函數(shù)，易知m（x）maxm（1），當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取到.從而對一切x（0，），xln x，兩個(gè)等號不同時(shí)取到，即證對一切x（0，）都有l(wèi)n x成立.在證明的不等式中，若對不等式的變形無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可以借助兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行證明.構(gòu)造函數(shù)證明不等式已知函數(shù)f（x）ex3x3a（e為自然對數(shù)的底數(shù)，ar）.（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）求證：當(dāng)al

5、n ，且x0時(shí)，x3a.解（1）由f（x）ex3x3a，xr，知f（x）ex3，xr.令f（x）0，得xln 3，于是當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f（x）的變化情況如下表：x（，ln 3）ln 3（ln 3，）f（x）0f（x）極小值故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（，ln 3，單調(diào)遞增區(qū)間是ln 3，），f（x）在xln 3處取得極小值，極小值為f（ln 3）eln 33ln 33a3（1ln 3a）.無極大值.（2）證明：待證不等式等價(jià)于exx23ax1，設(shè)g（x）exx23ax1，x0，于是g（x）ex3x3a，x0.由（1）及aln ln 31知：g（x）的最小值為g（ln 3）3（1ln 3a）

6、0.于是對任意x0，都有g(shù)（x）0，所以g（x）在（0，）上單調(diào)遞增.于是當(dāng)aln ln 31時(shí)，對任意x（0，），都有g(shù)（x）g（0）.而g（0）0，從而對任意x（0，），g（x）0.即exx23ax1，故x3a.若證明f（x）g（x），x（a，b），可以構(gòu)造函數(shù)h（x）f（x）g（x），如果能證明h（x）在（a，b）上的最小值大于0，即可證明f（x）g（x），x（a，b）.已知函數(shù)f（x）aexbln x，曲線yf（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線方程為yx1.（1）求a，b；（2）證明：f（x）0.解（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，）.f（x）aex，由題意得f（1），f（1）1，所以解

7、得（2）證明：由（1）知f（x）·exln x.因?yàn)閒（x）ex2在（0，）上單調(diào)遞增，又f（1）0，f（2）0，所以f（x）0在（0，）上有唯一實(shí)根x0，且x0（1,2）.當(dāng)x（0，x0）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（x0，）時(shí)，f（x）0，從而當(dāng)xx0時(shí)，f（x）取極小值，也是最小值.由f（x0）0，得ex02，則x02ln x0.故f（x）f（x0）ex02ln x0x02220，所以f（x）0.考點(diǎn)2雙變量不等式的證明破解含雙參不等式證明題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的

8、單調(diào)性，從而求其最值.（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.已知函數(shù)f（x）ln xax（x0），a為常數(shù)，若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2（x1x2）.求證：x1x2e2.證明不妨設(shè)x1x20，因?yàn)閘n x1ax10，ln x2ax20，所以ln x1ln x2a（x1x2），ln x1ln x2a（x1x2），所以a，欲證x1x2e2，即證ln x1ln x22.因?yàn)閘n x1ln x2a（x1x2），所以即證a，所以原問題等價(jià)于證明，即ln ，令c（c1），則不等式變?yōu)閘n c.令h（c）ln c，c1，所以h（c）0，所以h（c）在（1，）上單調(diào)遞

9、增，所以h（c）h（1）ln 100，即ln c0（c1），因此原不等式x1x2e2得證.換元法構(gòu)造函數(shù)證明不等式的基本思路是直接消掉參數(shù)a，再結(jié)合所證問題，巧妙引入變量c，從而構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù).其解題要點(diǎn)為：聯(lián)立消參利用方程f（x1）f（x2）消掉解析式中的參數(shù)a抓商構(gòu)元令c，消掉變量x1，x2構(gòu)造關(guān)于c的函數(shù)h（c）用導(dǎo)求解利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)h（c）的最小值，從而可證得結(jié)論已知函數(shù)f（x）ln xax2x，ar.（1）當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f（x）的圖象在（1，f（1）處的切線方程；（2）若a2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f（x1）f（x2）x1x20，求證：x1x2.解（1）當(dāng)a0時(shí)，f（x）ln xx

10、，則f（1）1，所以切點(diǎn)為（1,1），又因?yàn)閒（x）1，所以切線斜率kf（1）2，故切線方程為y12（x1），即2xy10.（2）證明：當(dāng)a2時(shí)，f（x）ln xx2x（x0）.由f（x1）f（x2）x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，從而（x1x2）2（x1x2）x1x2ln（x1x2），令tx1x2（t0），令（t）tln t，得（t）1，易知（t）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，）上單調(diào)遞增，所以（t）（1）1，所以（x1x2）2（x1x2）1，因?yàn)閤10，x20，所以x1x2成立.考點(diǎn)3證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式問題函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函

11、數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和達(dá)到證明的目的.若函數(shù)f（x）exax1（a0）在x0處取極值.（1）求a的值，并判斷該極值是函數(shù)的最大值還是最小值；（2）證明：1ln（n1）（nn*）.解（1）因?yàn)閤0是函數(shù)極值點(diǎn)，所以f（0）0，所以a1.f（x）exx1，易知f（x）ex1.當(dāng)x（0，）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（，0）時(shí)，f（x）0，故極值f（0）是函數(shù)最小值.（2）證明：由（1）知exx1.即ln（x1）x，當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號成立，令x（kn*），則ln，即ln ，所以ln（1k）ln k（k1,2，

12、n），累加得1ln（n1）（nn*）.已知函數(shù)式為指數(shù)不等式（或?qū)?shù)不等式），而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等式（或與指數(shù)有關(guān)的不等式），要注意指、對數(shù)式的互化，如exx1可化為ln（x1）x等.已知函數(shù)f（x）ln（x1）.（1）若x0時(shí)，f（x）1恒成立，求a的取值范圍；（2）求證：ln（n1） （nn*）.解（1）由ln（x1）1，得a（x2）（x2）ln（x1）.令g（x）（x2）1ln（x1），則g（x）1ln（x1）ln（x1）.當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，所以g（x）在（0，）上單調(diào)遞減.所以g（x）g（0）2，故a的取值范圍為2，）.（2）證明：由（1）知ln（x1）1（x0），所以l

13、n（x1）.令x（k0），得ln，即ln.所以ln ln ln ln ，即ln（n1）（nn*）.課外素養(yǎng)提升邏輯推理用活兩個(gè)經(jīng)典不等式邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證.利用兩個(gè)經(jīng)典不等式解決其他問題，降低了思考問題的難度，優(yōu)化了推理和運(yùn)算過程.（1）對數(shù)形式：x1ln x（x0），當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號成立.（2）指數(shù)形式：exx1（xr），當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)，等號成立.進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：exx1x1ln x（x0，且x1）.【例1】（1）已知函數(shù)f（x），則yf（x）的圖象大致為（）（2）已知函數(shù)f（x）ex，xr.證明：曲線yf（x）與曲線yx2x

14、1有唯一公共點(diǎn).（1）b因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)榧磝|x1，且x0，所以排除選項(xiàng)d.當(dāng)x0時(shí)，由經(jīng)典不等式x1ln x（x0），以x1代替x，得xln（x1）（x1，且x0），所以ln（x1）x0（x1，且x0），即x0或1x0時(shí)均有f（x）0，排除a，c，易知b正確.（2）證明：令g（x）f（x）exx2x1，xr，則g（x）exx1，由經(jīng)典不等式exx1恒成立可知，g（x）0恒成立，所以g（x）在r上為單調(diào)遞增函數(shù)，且g（0）0.所以函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn).【例2】（2017·全國卷改編）已知函數(shù)f（x）x1aln x.（1）若f（x）0，求a的值；（2）證明：對于任意正整數(shù)n，e.解（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，），若a0，因?yàn)閒aln 20，所以不滿足題意.若a0，由f（x）1知，當(dāng)x（0，a）時(shí)，f（x）0；當(dāng)x（a，）時(shí)，f（x）0；所以f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，在（a，）單調(diào)遞增，故xa是f（x）在（0，）的唯一最小值點(diǎn).因?yàn)閒（1）0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，f（x）0，故a1.（2）證明：由（1）知當(dāng)x（1，）時(shí)，x1ln x0.令x1，得ln.從而lnlnln11.故e.【例3】設(shè)函數(shù)f（