考點27 基本不等式-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學（理）考點一遍過_20210103224733

1、考點27 基本不等式基本不等式：（1）了解基本不等式的證明過程.（2）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題.一、基本不等式1基本不等式：（1）基本不等式成立的條件：.（2）等號成立的條件，當且僅當時取等號2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設，則a、b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3利用基本不等式求最值問題（1）如果積xy是定值p，那么當且僅當時，xy有最小值是.(簡記：積定和最小)（2）如果和xy是定值p，那么當且僅當時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大)4常用結(jié)論（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）二、基本不等式在實際中的應用1

2、問題的背景是人們關(guān)心的社會熱點問題，如物價、銷售、稅收等題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解；2經(jīng)常建立的函數(shù)模型有正(反)比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)以及等解答函數(shù)應用題中的最值問題時一般利用二次函數(shù)的性質(zhì)，基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)求解考向一 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接滿足基本不等式條件，則直接應用基本不等式（2）若不直接滿足基本不等式條件，則需要創(chuàng)造條件對式子進行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等常見的變形手段有拆、并、配.拆裂項拆項對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進行整式分離分離成整式與“真

3、分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對整式進行拆項，為應用基本不等式湊定積創(chuàng)造條件并分組并項目的是分組后各組可以單獨應用基本不等式，或分組后先由一組應用基本不等式，再組與組之間應用基本不等式得出最值配配式配系數(shù)有時為了挖掘出“積”或“和”為定值，常常需要根據(jù)題設條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應用基本不等式得出定值，或配以恰當?shù)南禂?shù)后，使積式中的各項之和為定值.（3）若一次應用基本不等式不能達到要求，需多次應用基本不等式，但要注意等號成立的條件必須要一致.注：若可用基本不等式，但等號不成立，則一般是利用函數(shù)單調(diào)性求解.典例1 若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為a1 b6 c9

4、 d16【答案】b 【解析】解法一：因為，所以ab=ab(a1)·(b1)=1，所以=2×3=6(當且僅當，b=4時取“=”).故的最小值為6.解法二：因為，所以ab=ab，所以(當且僅當，b=4時取“=”)故的最小值為6.解法三：因為，所以，所以(當且僅當b=4時取“=”)故的最小值為6.【名師點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正各項均為正；二定積或和為定值；三相等等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤1函數(shù)的最大值為_，此時的值為_.考向二 基本不等式的實際應用有關(guān)函數(shù)最值的實際問題的解題技巧：（1）根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析

5、式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值（2）設變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)（3）解應用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍（4）在應用基本不等式求函數(shù)最值時，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.典例2 2017年，在國家創(chuàng)新驅(qū)動戰(zhàn)略下，北斗系統(tǒng)作為一項國家高科技工程，一個開放型的創(chuàng)新平臺，1400多個北斗基站遍布全國，上萬臺設備組成星地“一張網(wǎng)”，國內(nèi)定位精度全部達到亞米級，部分地區(qū)達到分米級，最高精度甚至可以達到厘米或毫米級.最近北斗三號工程耗資a元建成一大型設備，已知這臺設備維修和消耗費用第一年為b元，以后每年增加b元（a、b是常數(shù)），用t表示設備使用的年數(shù)，記設備年

6、平均維修和消耗費用為y，即y= (設備單價+設備維修和消耗費用）÷設備使用的年數(shù)（1）求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）當a=112500，b=1000時，求這種設備的最佳更新年限【解析】（1）由題意，設備維修和消耗費用構(gòu)成以b為首項，b為公差的等差數(shù)列， 因此年平均維修和消耗費用為(元).于是有y=b2(t+1)+at=b2+bt2+at,t>0. （2）由（1）可知，當a=112500，b=1000時，當且僅當t=225t,即t=15時，等號成立.答：這種設備的最佳更新年限為15年【名師點睛】利用基本不等式解決應用問題的關(guān)鍵是構(gòu)建模型，一般來說，都是從具體的問題背景，通過相關(guān)的

7、關(guān)系建立關(guān)系式.在解題過程中盡量向模型上靠攏.2在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/.設矩形的長為.（1）將總造價（元）表示為長度的函數(shù)；（2）當取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.考向三 基本不等式的綜合應用基本不等式是高考考查的熱點，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)通常以不等式為載體綜合考查函數(shù)、方程、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何等問題主要有以下幾種命題方式：（1）應用基本不等式判斷不等式是否成立或比較大

8、小解決此類問題通常將所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解（2）條件不等式問題通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解（3）求參數(shù)的值或范圍觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.典例3 下列不等式一定成立的是abcd【答案】c【解析】對于a：(當時，)，a不正確；對于b：，b不正確；對于c：，c正確；對于d：，d不正確.故選c.【思路點撥】利用基本不等式判斷不等關(guān)系及比較大小的思路：基本不等式常用于有條件的不等關(guān)系的判斷、比較代數(shù)式的大小等.一般地，結(jié)合所給代數(shù)式的特征，將所給條件進行轉(zhuǎn)換(利用基本不等式可將整式和根式相互轉(zhuǎn)化)，使其中的不等關(guān)系明晰即

9、可解決問題.3設，且恒成立，則的最大值是abcd典例4 設正項等差數(shù)列的前項和為，若，則的最小值為_【答案】【解析】因為，所以則即.所以.當且僅當時取等號.故答案為：.【名師點睛】條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用基本不等式求解最值4已知向量，且為正實數(shù)，若滿足，則的最小值為abcd1已知，則的最大值為a1bcd2若直線過點，則的最小值等于a3b4cd3已知，則的最小值是a2b3c4d54當時，不等式恒成立，則的取值范圍是abcd5已知正數(shù)滿足，

10、則a有最大值b有最小值c有最大值10d有最小值106已知，則取到最小值時，abcd7用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，則最短的籬笆是a30 mb36 mc40 md50 m8下列式子的最小值等于4的是ab，c，d9已知，滿足，則的最小值是abcd10中，角的對應邊分別為，若成等差數(shù)列，則角的取值范圍是abcd11已知，則的最小值為ab6cd12已知實數(shù)，是與的等比中項，則的最小值是_13已知正數(shù)、滿足，則的最大值為_14已知直線被圓截得的弦長為，則的最大值為_.15設實數(shù)滿足條件，若目標函數(shù)的最大值為12，則的最小值為_.16已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等

11、式；（2）若，令，求函數(shù)的最小值.17為了加強“平安校園”建設，有效遏制涉校案件的發(fā)生，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由于此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元設屋子的左右兩面墻的長度均為米（1）當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價（2）現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為元，若無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能

12、競標成功，試求的取值范圍1（2017山東理科）若，且，則下列不等式成立的是a bc d2（2018天津理科）已知，且，則的最小值為 . 3（2017江蘇）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是_4（2018江蘇）在中，角所對的邊分別為，的平分線交于點d，且，則的最小值為_5（2019年高考天津卷理數(shù)）設，則的最小值為_6（2017年高考天津卷理數(shù)）若，則的最小值為_變式拓展1【答案】3 2【解析】因為，又，所以，當且僅當時取等號.此時.即的最大值為，此時.【名師點睛】本題主要考查求函數(shù)的最值，熟記基本不

13、等式即可，屬于?？碱}型.求解時，先將原式化為，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.2【答案】（1），；（2）當時，總造價最低為元.【解析】（1）由矩形的長為m，得矩形的寬為m，則中間區(qū)域的長為m，寬為m，則，定義域為.整理得，.（2），當且僅當，即時取等號.所以當時，總造價最低為元.【名師點睛】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，以及基本不等式的應用.在利用基本不等式時保證“一正二定三相等”，屬于中等題.（1）根據(jù)題意得矩形的長為m，則矩形的寬為m，中間區(qū)域的長為m，寬為m，列出函數(shù)關(guān)系式即可.（2）根據(jù)（1）的結(jié)果利用基本不等式求解即可.3【答案】b【解析】等價于，而，當且僅當，即時取等號，故得到，則的

14、最大值是3.故答案為b.【名師點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現(xiàn)錯誤.4【答案】a【解析】由題意得，因為，為正實數(shù)，則，當且僅當，即時取等號.所以選擇a.【名師點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積以及基本不等式，在用基本不等式時要滿足“一正二定三相等”.屬于中等題.考點沖關(guān)1【答案】d【解析】因為，所以有，當且僅當時取等號，故本題選d.【名師點睛】本題考查了基本不等式的應用，掌握公式的特征是解題的關(guān)鍵.求解時，直接使用基本不等式，

15、可以求出的最大值.2【答案】c【解析】將代入直線方程得到，當時等號成立.故選c.【名師點睛】本題考查了直線方程，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.求解時，將代入直線方程得到，利用均值不等式得到的最小值.3【答案】d【解析】由題意知，因為，所以，則（當且僅當，即時取“=”），故的最小值是5.故答案為d.【名師點睛】本題考查了基本不等式的運用，要注意“=”取得的條件，屬于基礎(chǔ)題.4【答案】a【解析】，當且僅當，即時取等號，當時，不等式恒成立，只需故選a【名師點睛】本題主要考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是得出，屬于一般題.5【答案】a【解析】由不等式的性質(zhì)有：（）2，當且僅當時等號成立，即（）250，又

16、m0，n0，所以，即m，故選a【名師點睛】本題考查了基本不等式及其應用，轉(zhuǎn)化化歸能力，注意等號成立的條件，屬中檔題.6【答案】d【解析】由，可得，且.所以，當且時等號成立，解得.所以取到最小值時.故選d.【名師點睛】本題考查基本不等式取得最值的條件，多次用不等式求最值時要注意不等式取等的條件要同時滿足.7【答案】c【解析】設矩形的長為，則寬為，設所用籬笆的長為，所以有，根據(jù)基本不等式可知：（當且僅當，即時取等號），故本題選c.【名師點睛】本題考查了基本不等式的應用，由已知條件構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求出最小值是解題的關(guān)鍵.8【答案】c【解析】選項a，設，當時，當且僅當時，取等號；當時，當且僅當

17、時，取等號，故函數(shù)沒有最小值；選項b，令，函數(shù)在時單調(diào)遞減，故當時是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，沒有最小值；選項c，當且僅當時取等號，故符合題意；選項d，令，令，而函數(shù)在時是單調(diào)遞增函數(shù)，故當時，函數(shù)也單調(diào)遞增，所以，不符合題意，所以本題選c.【名師點睛】本題考查了基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式時，一定要注意三點：其一，必須是正數(shù)；其二，要有定值；其三，要注意等號成立的條件，簡單記為一正二定三相等.9【答案】d【解析】正實數(shù)，滿足，當且僅當時取等號，的最小值為，故選d.【名師點睛】本題考查了基本不等式的應用問題，解題的關(guān)鍵是，使它能利用基本不等式，是基礎(chǔ)題目10【答案】c【解析】由成等差數(shù)列

18、，可得，即，則（當且僅當時取等號）；由于在三角形中，且在上為減函數(shù)，所以角的取值范圍是：.故選c.【名師點睛】本題考查余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的應用，求解時，由成等差數(shù)列，可得，然后利用余弦定理表示出，進行化簡后，利用基本不等式即可求出的最小值，根據(jù)的范圍以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出角的取值范圍.11【答案】b【解析】，當且僅當，即時等號成立.故選b.【名師點睛】本題主要考查均值定理的應用，構(gòu)造均值定理的結(jié)構(gòu)，利用均值定理求解最小值.使用均值定理求解最值時，一要注意每一項必須為正實數(shù)，二是要湊出定值，三是要驗證等號成立的條件，三者缺一不可，尤其是等號不要忘記驗證.12【答案】

19、【解析】實數(shù)是與的等比中項，即則，當且僅當，即時取等號故答案為:【名師點睛】本題考查了等比中項，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.求解時，通過是與的等比中項得到，利用均值不等式求得最小值.13【答案】【解析】，當即時等號成立.故答案為.【名師點睛】本題考查了均值不等式，意在考查學生的計算能力.14【答案】【解析】圓可化為，則圓心為，半徑為，又因為直線被圓截得的弦長為，所以直線過圓心，即，化為，當且僅當，即時取等號，的最大值為，故答案為.【名師點睛】本題主要考查圓的方程與性質(zhì)以及基本不等式的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題.轉(zhuǎn)化是數(shù)學解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅使問題得到了解決，還可以使解決

20、問題的難度大大降低，本題將弦長問題轉(zhuǎn)化為直線過圓心是解題的關(guān)鍵.15【答案】【解析】由可行域可得，當，時，目標函數(shù)取得最大值，即，.當且僅當，即時取等號，故答案為.【名師點睛】本題考查了通過目標函數(shù)的最大值，得到參數(shù)之間的等式，求不等式最小值問題，關(guān)鍵是正確得到參數(shù)之間的等式.16【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為.（2）當時，令（當且僅當，即時取等號）.故函數(shù)的最小值為.【名師點睛】本題考查了解不等式，均值不等式，函數(shù)的最小值，意在考查學生的綜合應用能力.17【答案】（1）4米時，28800元；（2）【解析】（1）設甲

21、工程隊的總造價為元，則，當且僅當，即時等號成立即當左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低為28800元（2）由題意可得，對任意的恒成立 即，從而恒成立，令，則，又在時為單調(diào)增函數(shù)，故所以【名師點睛】本題主要考查基本不等式的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.（1）設甲工程隊的總造價為元，先求出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值得解；（2）由題意可得，對任意的恒成立，從而恒成立，求出左邊函數(shù)的最小值即得解.直通高考1【答案】b【解析】因為，且，所以 ，所以選b.2【答案】14【解析】由a-3b+6=0可知a-3b=-6，且2a+18b=2a+2-3b，因為對于任意x，2x>0恒成立，結(jié)合基本不等式的結(jié)論可得：2a+2-3b2×2a×2-3b=2×2-6=14.當且僅當2a=2-3ba-3b=6，即