淺析多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的教與學(xué)

1、    淺析多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的教與學(xué)    周孝康+劉彬摘 要：該文介紹了多元函數(shù)微分學(xué)章節(jié)中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的好方法和好思想。作者查閱了現(xiàn)今許多出版社出版的高職高專高等數(shù)學(xué)教材，此章節(jié)內(nèi)容還是停留在傳統(tǒng)的教法上。作者引進了對復(fù)合函數(shù)變量間的依賴關(guān)系的研究及函數(shù)結(jié)構(gòu)圖、尤其是函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，充分利用幾何圖形形象地幫助學(xué)生理解了多元復(fù)合函數(shù)各變量之間的依存關(guān)系后，學(xué)生就能清晰、輕松、正確地寫出各種不同類型多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式。關(guān)鍵詞：多元復(fù)合函數(shù) 結(jié)構(gòu)圖 求導(dǎo)法則 方法：g412 ：a ：1674-098x（2014）12（c）-0120-02進入21世

2、紀(jì)以來，國家對高職高專教育的發(fā)展提出了更新的要求，高職高專應(yīng)該辦出特色、辦的更好，真正培養(yǎng)出高素質(zhì)的綜合型、應(yīng)用型人才，也就是說高職高專教育更加注重學(xué)生的實踐和動手操作能力，而相對的淡化理論教學(xué)研究，以必須、夠用為準(zhǔn)則、以教會、學(xué)會為目的，雖然現(xiàn)今的高職高專高等數(shù)學(xué)教材與本科的高等數(shù)學(xué)教材相比較，沒有強調(diào)理體系的系統(tǒng)性，主要突出應(yīng)用、淡化理論研究，但是現(xiàn)今高職高專的大部分學(xué)生文化基礎(chǔ)相對薄弱，傳統(tǒng)的教學(xué)方法讓學(xué)生難以理解、接受和適應(yīng)，沒有體現(xiàn)出易教易學(xué)的準(zhǔn)則，特別是在多元函數(shù)微分學(xué)章節(jié)中復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中，尤其顯示出易教而不易學(xué)的特點。而如在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式

3、所起的重要作用，對于多元復(fù)合函數(shù)來說，情況也是如此：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則是多元函數(shù)求導(dǎo)方法的靈魂。教師在課堂講授內(nèi)容時輕松、容易，學(xué)生也能聽懂，但是課后學(xué)生一做題就發(fā)懵，不知如何下手，因為多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)形式千變?nèi)f化，相應(yīng)的求導(dǎo)公式就很多。1 根據(jù)函數(shù)表達式寫出多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）首先明確函數(shù)各變量間的復(fù)合關(guān)系，也就是弄清楚哪些是自變量、中間變量、因變量且構(gòu)成這些變量之間聯(lián)系的函數(shù)關(guān)系如何，以此寫出函數(shù)結(jié)構(gòu)圖。（2）根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)圖，把函數(shù)對某個自變量求導(dǎo)，找出連接該自變量通過中間變量達到函數(shù)的所有路徑，且路徑的條數(shù)等于求導(dǎo)公式中的項數(shù)，而每項中導(dǎo)數(shù)的個數(shù)等于對應(yīng)路徑中變量的個數(shù)。即：

4、分路相加、連續(xù)相乘、分清變量、逐層求導(dǎo)。2 典型例題例1 求函數(shù)結(jié)構(gòu)圖求導(dǎo)公式注意：兩個自變量x、y到達函數(shù)z的路徑都是兩條、因此每個求導(dǎo)公式中是兩項之和，u、v是中間變量、因此每項都是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積。注意：兩個自變量x、y到達函數(shù)z的路徑都是三條、因此每個求導(dǎo)公式中都是三項之和，u、v、w是中間變量、因此每項都是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積。例3 求函數(shù)結(jié)構(gòu)圖求導(dǎo)公式注意：自變量x到達函數(shù)z的路徑有兩條、因此對x的偏導(dǎo)公式中是兩項之和，u、v是中間變量、因此每項是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積，而自變量y到達函數(shù)z的路徑只有一條、因此對y的偏導(dǎo)公式只有一項，v是中間變量、因此該項是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積。注意：自變量x到

5、達函數(shù)z的路徑有三條、因此對x的偏導(dǎo)公式中是三項之和，u、v是中間變量、因此每項是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積、自變量x直接到達函數(shù)z、因此該項只有一個偏導(dǎo)數(shù)，而自變量y到達函數(shù)z的路徑有兩條、因此對y的偏導(dǎo)公式是兩項之和，u、v是中間變量、因此每項是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積。例5 求（全導(dǎo)數(shù)）函數(shù)結(jié)構(gòu)圖求導(dǎo)公式注意：自變量t到達函數(shù)z的路徑有三條、因此對t的偏導(dǎo)公式中是三項之和，x、y是中間變量、因此每項是兩個偏導(dǎo)數(shù)的乘積、自變量t直接到達函數(shù)z、因此該項只有一個偏導(dǎo)數(shù)，該例表面上是多元復(fù)合函數(shù)，但分別將x、y的表達式帶入函數(shù)z后，函數(shù)z實質(zhì)是t的一元函數(shù)，這是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是一個一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為全導(dǎo)數(shù)，

6、也就是說，全導(dǎo)數(shù)實際上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只是求導(dǎo)的過程是借助于偏導(dǎo)數(shù)來完成的。例6求二階偏導(dǎo)數(shù)，解：函數(shù)結(jié)構(gòu)圖注意：本例是求多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)（二階），比多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)多了一個二階混合偏導(dǎo)數(shù)。在求二階偏導(dǎo)數(shù)前，首先把一階偏導(dǎo)數(shù)求出，這是難點，如果把一階偏導(dǎo)數(shù)表達式中的y看成是常量后對x求導(dǎo)，就求出了函數(shù)對x的二階偏導(dǎo)數(shù)，如果把x看成常量后對y求導(dǎo)，就求出了二階混合偏導(dǎo)數(shù)。3多元函數(shù)的復(fù)合可以是多種多樣的，這里不在一一列舉，通過以上實例，我們不難看出：對于一個多元復(fù)合函數(shù)，它的一階偏導(dǎo)數(shù)的個數(shù)取決于復(fù)合函數(shù)本身自變量的個數(shù)，而每一個一階偏導(dǎo)數(shù)公式中，項數(shù)的多少取決于與此自變量有關(guān)的中間變量的個數(shù)，且每一項相乘因子的個數(shù)，取決于該函數(shù)復(fù)合的層數(shù)，在求多元復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)時，首先求出低階偏導(dǎo)數(shù)，再在低階偏導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上求偏導(dǎo)，就可以求出高階偏導(dǎo)數(shù)，如（例6）。俗語：要想給學(xué)生一杯水，老師應(yīng)首先有一桶水的功力。教師在授課時，自己應(yīng)該思路清晰，講解準(zhǔn)確、細致，學(xué)生上課時認真聽講，掌握方法，善于分析函數(shù)間的復(fù)合關(guān)系，不要死記硬背，做練習(xí)時首先摸清函數(shù)變量之間的關(guān)系，然后寫出結(jié)構(gòu)圖，再寫出求導(dǎo)公式，以后再遇見此類習(xí)題時，思路就不會混亂，無論是多么復(fù)雜，怎么變化的題型均能迎刃而解了。參考文獻1 侯風(fēng)波