最新振動理論基礎(chǔ)精品課件ppt教學(xué)內(nèi)容

1、振動理論基礎(chǔ)機(jī)械系統(tǒng)在其平衡位置附近所作的往復(fù)運(yùn)動稱為振動振動。振動現(xiàn)象普遍存在于自然界和工程技術(shù)中，如地震。本章僅研究單自由度系統(tǒng)的微振動，討論振動的基本特征。 談?wù)劚緦I(yè)內(nèi)有關(guān)振動問題??？頻率頻率和周期周期只與系統(tǒng)本身所固有的慣性和彈性有關(guān)，而與運(yùn)動的初始條件無關(guān)，是描述振動系統(tǒng)基本性質(zhì)的重要物理量。 質(zhì)量m=0.5kg的物塊，沿光滑斜面無初速滑下，如圖所示。當(dāng)物塊下落高度h=0.1m時撞于無質(zhì)量的彈簧上并不再分離。彈簧剛度k=0.8kN/m，傾角300，求系統(tǒng)振動的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運(yùn)動方程。 例16-1解：解：物塊在平衡位置時，彈簧靜變形 以此位置為原點(diǎn)以此位置為原點(diǎn)O，建立

2、圖示，建立圖示坐標(biāo)。坐標(biāo)。物塊受力如圖，其運(yùn)動微分方程為 化簡后得 系統(tǒng)的固有頻率 當(dāng)物塊碰上彈簧時，取時間t=0，作為振動的起點(diǎn)。則運(yùn)動的初始條件：初位移 初速度 得振幅及初位相 mm物塊的運(yùn)動方程 如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為如圖所示。在無重彈性梁的中部放置質(zhì)量為m的物塊，其的物塊，其靜撓度（靜變形）為靜撓度（靜變形）為2mm。若將物塊在梁未變形位置處無。若將物塊在梁未變形位置處無初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。初速釋放，求系統(tǒng)的振動規(guī)律。 例16-2解：解：此無重彈性梁相當(dāng)于彈簧，其剛性系數(shù) 取重物平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸方向鉛直向下，運(yùn)動微分方程為: 式中圓頻率 在初瞬時t0，物

3、塊位于未變形的梁上，其坐標(biāo)x0st= 2mm，初速v0=0，則初位相 振幅系統(tǒng)的振動規(guī)律 mmmm等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧等效彈簧并聯(lián)和串聯(lián)彈簧 并聯(lián)彈簧 下圖表示剛度分別為k1和k2的兩個彈簧并聯(lián)的兩種形式，其分析方法相同。 由平衡方程得 式中為并聯(lián)彈簧的等效彈簧剛度。n個并聯(lián)彈簧的等效剛度 串聯(lián)彈簧 圖示為串聯(lián)彈簧。靜平衡時，變形分別為 和 。 彈簧總伸長 等效彈簧剛度 n個彈簧串聯(lián)，則有 圖為一擺振系統(tǒng)。桿重不計，球質(zhì)量為m ，擺對軸O的轉(zhuǎn)動慣量為J，彈簧剛度為k，桿于水平位置平衡，尺寸如圖。求系統(tǒng)微小振動的運(yùn)動微分方程及振動頻率。 例16-3解：解：擺處于平衡位置時，彈簧已壓縮 由平衡方

4、程 有 以平衡位置為角坐標(biāo)原點(diǎn)，擺繞軸O的轉(zhuǎn)動微分方程 得系統(tǒng)自由振動微分方程 固有頻率 可見，只要以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程具有標(biāo)準(zhǔn)形式。 16-2 計算系統(tǒng)固有頻率的能量法 對于單自由度的保守系統(tǒng)，固有頻率可簡便地由機(jī)械能守恒定律求出，稱為能量法。 設(shè)圖示系統(tǒng)作簡諧振動，則有 若以平衡位置為勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)勢能 系統(tǒng)動能 由機(jī)械能守恒，即T+V常數(shù)，則 系統(tǒng)固有頻率 表明；如取平衡位置為勢能零點(diǎn)，則可以彈簧在平衡位置的長度為原長計算彈性勢能，而不考慮重力勢能。只要寫出系統(tǒng)的只要寫出系統(tǒng)的動能和以平衡位置為零點(diǎn)的勢能，即可確定系統(tǒng)的固有頻率，動能和以平衡位置為零點(diǎn)的勢能，即可確

5、定系統(tǒng)的固有頻率，而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。而不必列寫系統(tǒng)的微分方程。 圖示為兩個相同的塔輪。齒輪半徑皆為R，半徑為r 的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪上連一鉛直彈簧，輪上掛一重物。塔輪對軸的轉(zhuǎn)動慣量皆為J ，彈簧剛度為k ，重物質(zhì)量為m 。求系統(tǒng)振動的固有頻率。 例16-4解：解：以系統(tǒng)平衡時重物的位置為原點(diǎn)，取 x 為廣義坐標(biāo)。 設(shè)系統(tǒng)振動的規(guī)律為 則 塔輪角速度 系統(tǒng)動能 取平衡位置為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)的勢能為 由 得系統(tǒng)的固有頻率 在如圖示的振動系統(tǒng)中，擺桿AO對鉸鏈O的轉(zhuǎn)動慣量為J，在A水平位置處于平衡，求系統(tǒng)微振動的固有頻率。 例16-5解：解：取擺角 為廣義坐標(biāo)，設(shè)其變化規(guī)律為 系統(tǒng)動能 以平衡

6、位置為勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)勢能 由 得固有頻率 2222122)(2121dklkJn如圖所示，質(zhì)量為m ，半徑為r 的圓柱體，在半徑為R 的圓弧槽上作無滑動的滾動。求圓柱體在平衡位置附近作微小振動的固有頻率。 例16-6解：解：取擺角 為廣義坐標(biāo)，設(shè)其微振動規(guī)律為 圓柱體中心O1的速度 由運(yùn)動學(xué)知，當(dāng)圓柱體作純滾動時，角速度 系統(tǒng)動能 整理后得 系統(tǒng)的勢能為重力勢能，取圓柱在最低處時的圓心位置C 為勢能零點(diǎn)，則系統(tǒng)勢能 圓柱體作微振動 由 得 2222)(21)(43rRmgrRmn16-3 單自由度系統(tǒng)有阻尼的自由振動 由于阻力作用，自由振動的振幅將逐漸衰減，最后趨于靜止。產(chǎn)生阻尼的原因很多，不

7、同的阻尼具有不同的性質(zhì)。以下僅討論阻力與速度成正比的粘性阻尼或稱線性阻尼線性阻尼。即 式中負(fù)號表明阻力與速度方向相反，阻尼系數(shù)c 取決于阻尼介質(zhì)的性質(zhì)和物體的形狀。 1、有阻尼自由振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式圖（a）為一有阻尼的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，受力如圖（b）。 阻力 微分方程為 或化簡得 代入上式得衰減振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 令2、微分方程的解 設(shè) ，代入式中，得特征方程 方程的兩個根 通解 有三種可能情形： 小阻尼情形 當(dāng) 或 時，稱為小阻尼小阻尼。 此時 令 則 得運(yùn)動方程 如圖所示。由于振幅隨時間不斷衰減，故稱為衰減振動衰減振動。衰減振動的周期 令 稱為阻尼比阻尼比。 周

8、期Td較無阻尼自由振動的周期T 略有增加。阻尼對周期的阻尼對周期的影響很小影響很小，可忽略不計，取TdT。 則 阻尼對振幅的影響 為描述振幅 Ai 的衰減，引入減幅系數(shù)（或稱振幅縮減率振幅縮減率）。由圖示得 上式表明：衰減振動的振幅按幾何級數(shù)遞減。阻尼對自阻尼對自由振動的振幅影響較大由振動的振幅影響較大。 例如：0.05時，Td1.00125T而經(jīng)過10個周期后，振幅只及原振幅的4.3%。初始幅值 A 和初位相取決于初始條件。 對上式兩邊取對數(shù)得對數(shù)縮減率對數(shù)縮減率所以設(shè)t0時， ， ，則有 臨界阻尼情形 當(dāng) 或 時，稱為臨界阻尼臨界阻尼。 此時， 。微分方程的解為 不具有振動的特點(diǎn)不具有振動

9、的特點(diǎn)，積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運(yùn)動圖如圖所示。 大阻尼情形 當(dāng) 或 時，稱為大阻尼大阻尼。 此時微分方程的解為 積分常數(shù)C1、C2由初始條件定。運(yùn)動圖如圖所示。 圖為一彈性桿支持的圓盤，彈性桿扭轉(zhuǎn)剛度為k1，圓盤對桿軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。如圓盤外緣受到與轉(zhuǎn)動速度成正比的切向阻力，其衰減扭振的周期為Td。求圓盤所受阻力偶的矩與轉(zhuǎn)動角速度的關(guān)系。 例16-7解：解：盤外緣切向阻力與轉(zhuǎn)動速度成正比，則此阻力偶矩M 與角速度成正比，且轉(zhuǎn)向相反。 設(shè) ，為阻力偶系數(shù)，則圓盤繞桿軸轉(zhuǎn)動的微分方程為 或 由此得衰減振動周期 則阻力偶系數(shù) 得 16-4 單自由度系統(tǒng)的受迫振動 振動系統(tǒng)在外加持續(xù)激勵下的

10、振動稱為受迫振動受迫振動。下面僅討論簡諧激勵情形。圖示為三種類型的簡諧激勵，分別是：激勵力直接作用；彈簧端點(diǎn)運(yùn)動引起的激勵和偏心轉(zhuǎn)子引起的激勵。 1、激振力直接作用下的受迫振動 振動微分方程 圖為受迫振動系統(tǒng)的簡化模型。激振力 其中，H為最大激振力，為激振力的圓頻率。 以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ： 令 整理化簡后，得單自由度系統(tǒng)受迫振動微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 微分方程的解 方程的通解由兩部分構(gòu)成：對應(yīng)的齊次方程的通解和該方程的一個特解。 上式右端第一項(xiàng)為衰減振動，經(jīng)過短暫時間，即趨于衰減，稱瞬態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)。最后得到持續(xù)的等幅振動，稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，即系統(tǒng)的受迫振動 由式可知，受迫振動的頻率等于

11、激振力的頻率受迫振動的頻率等于激振力的頻率。 將上式代入微分方程式，化簡后得到受迫振動的振幅振幅和位相差位相差 式中 分別稱為頻率比頻率比、阻尼比阻尼比和由最大激振力引起的彈簧的靜變形。 受迫振動的振幅與靜變形之比稱放大系數(shù)放大系數(shù)，即 當(dāng)一定，與間的關(guān)系如圖所示，稱為幅頻特性曲線幅頻特性曲線。由圖可知： 幅頻特性當(dāng)1時，阻尼對振幅的影響很小，可忽略不計。共振區(qū)共振區(qū) =0.751.25。在此區(qū)域內(nèi)阻尼對振幅有顯著影響，1時，振幅急劇增加出現(xiàn)峰值的現(xiàn)象，稱為共振共振。對應(yīng)曲線峰值的頻率，稱為系統(tǒng)的共振頻率。 當(dāng) 1時，阻尼對振幅影響可忽略不計。 小阻尼時，共振頻率近似等于固有頻率，共振振幅近似

12、與阻尼比成反比，即 相頻特性曲線如圖所示。由圖可知，當(dāng)有阻尼時，隨頻率比/n連續(xù)變化。當(dāng)1時，0，受迫振動位移與激振力接近同位相。當(dāng) 1時，受迫振動與激振力接近反位相。當(dāng)1時， ，與阻尼大小無關(guān)，這是共振時的一個重要特征。2 相頻特性工程上利用此特點(diǎn)，通過實(shí)驗(yàn)測定系統(tǒng)固有頻率n。2、彈簧端點(diǎn)作簡諧運(yùn)動引起的受迫振動 振動系統(tǒng)的簡化模型如圖所示。設(shè)臺面光滑，端點(diǎn)A 的運(yùn)動規(guī)律 則彈簧恢復(fù)力 微分方程 令 得 與激振力直接作用下的受迫振動形式相同。前述有關(guān)受迫振動的討論適用于此。 3、偏心轉(zhuǎn)子引起的受迫振動 電機(jī)安裝在基礎(chǔ)上，如圖所示，彈性地基簡化為剛度為k的彈簧。設(shè)基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電機(jī)定子質(zhì)量為

13、m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m ，偏心距e 。轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動。由于偏心，系統(tǒng)將沿鉛垂方向作受迫振動。建立圖示坐標(biāo)軸Ox 。系統(tǒng)在平衡位置時，有 轉(zhuǎn)子質(zhì)心的加速度 由質(zhì)心運(yùn)動定理，得 得 令 得微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 與激振力直接作用下的受迫振動微分形式相同。令 則 代入 注意到激振力幅值與其頻率有關(guān)，得系統(tǒng)受迫振動的振幅 放大系數(shù) 幅頻特性曲線如圖所示 當(dāng)0時，b 0 ， 0 ；當(dāng)1時， 又逐漸減少，當(dāng)很大時，1；當(dāng)=1時發(fā)生共振，此時轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速。 圖示為一測振儀的簡圖，其中物塊質(zhì)量為m ，彈簧剛度為k 。測振儀放在振動物體表面，并隨物體而運(yùn)動。設(shè)物體的振動規(guī)律為求測振儀中物塊的運(yùn)動微

14、分方程及其受迫振動規(guī)律。 例16-8解：解：測振儀隨物體振動，則其彈簧懸掛點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為 取 t=0 時物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x 軸如圖。在任一瞬時t ，彈簧的變形為 物塊的運(yùn)動微分方程注意到 ， ，上式整理后，得 受迫振動規(guī)律為 此時激振力的力幅為H=ke，由式得 由于測振儀殼體也在運(yùn)動，其振幅為e ，因而圖中記錄紙上畫出的振幅為物塊相對于測振儀的振幅 。由式可知，當(dāng) 時， ，有 ，物塊幾乎不動，記錄紙上畫出的振幅也就接近于被測物體的振幅。 例16-9圖為一無重剛桿。一端鉸支，距鉸支端 l 處有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)，距 2l 處有一阻尼器，其阻尼系數(shù)為c，A 端有一剛度為k 的彈簧，并作

15、用一簡諧激振力 。剛桿在水平位置平衡，試列出系統(tǒng)的振動微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率n，以及當(dāng)激振力頻率 等于n 時質(zhì)點(diǎn)的振幅。 解：解：取擺角為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。整理后得 令 當(dāng) 時，得振幅（最大擺角） 質(zhì)點(diǎn)的振幅 受力如圖示。由剛體轉(zhuǎn)動微分方程得57 電動機(jī)安裝在基礎(chǔ)上，基礎(chǔ)下面是彈性基地，如圖所示。已知地基的彈性系數(shù)為k，基礎(chǔ)質(zhì)量為m1，電動機(jī)定子質(zhì)量為m2，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)子有偏心距e，轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動。求：（1）基礎(chǔ)的強(qiáng)迫振動的振幅；（2）基礎(chǔ)對電動機(jī)的鉛直動約束力。例16-10581. 將電動機(jī)和基礎(chǔ)看成一質(zhì)點(diǎn)系分析它的運(yùn)動和受力情況s21kmggmgmtemkyy

16、mmm sin)(221 )()(ssykykF彈性力(a)e(yCiiFym (b)()() sin()(21s221mggmgmykteymymm (c)應(yīng)用得因?yàn)槠胶鈺r則有59 （2） temmmmymmmky sin22121 (d)根據(jù)振動理論，系統(tǒng)的固有頻率為強(qiáng)迫振動的規(guī)律為其振幅為mmmk210(e)tBy sin(f)22n221emmmmB(g)或60tmmmmmemmggmF sin 122n221222NtemymmmggmF sin)(222N 2. 求地基對電動機(jī)的鉛直動約束力。由此求出動約束力mggmFteymym2N22) sin( (h)將式(f)對t微分兩次，

17、并將式(g)代入后，有tBy sin(f)22n22 1 emmmmB(g)取電動機(jī)為研究對象，由質(zhì)心運(yùn)動定理得16-5 隔振的概念減輕振動的危害，在工程上是一個重要的研究課題。通常有以下的減振措施： 抑制振源強(qiáng)度例如，對高速轉(zhuǎn)子進(jìn)行靜平衡和動平衡試驗(yàn)，以消除不平衡的慣性力；為減小車輛振動提高路面或軌道的質(zhì)量；減小高層建筑的迎風(fēng)面積以降低風(fēng)載等。 消振采用多種形式的消振器，如動力消振器，阻尼消振器等。 隔振將振源與減振體隔開，隔斷振動的傳播，降低振源的影響。 本節(jié)只討論隔振的理論基礎(chǔ)。按照研究對象的不同，分為主動隔振和被動隔振。其隔振效果均以隔振系數(shù)表示。主動隔振主動隔振 主動隔振是將振源與支

18、承它的基礎(chǔ)隔開。研究的對象是振源本研究的對象是振源本身身。如電機(jī)、水泵、鑄壓機(jī)械等。為減小機(jī)器的振動對周圍環(huán)境的影響，墊上橡膠、枕木等彈性支承，以降低振動傳到基礎(chǔ)上的強(qiáng)度。 圖為主動隔振的簡化模型，激振力 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動規(guī)律 振幅 物塊振動時，通過彈簧和阻尼器傳到地基上的力分別為 它們以相同的頻率作簡諧變化，但相位差。用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖所示。 隔振之后傳給地基的力的最大值 和主動隔振系數(shù)（力的傳遞率） 圖是在不同阻尼情況下的曲線。由圖可知，只有當(dāng)時才有意義。即以后才有隔振效果。 當(dāng) 時，加大阻尼反而會使增大，降低隔振效果。但阻尼太小，又會使機(jī)器起動時通過共振區(qū)的振幅過大，因此采取隔振措施時，要選擇適當(dāng)?shù)淖枘?，使隔振效果良好，而振幅又在?guī)定范圍內(nèi)，以保證機(jī)器的正常運(yùn)轉(zhuǎn)。 2被動隔振被動隔振 將需要保護(hù)的儀器設(shè)備與振源隔開，稱為被動隔振。研究的研究的對象是減振體對象是減振體，振源是周圍環(huán)境。例如，在儀器底部墊上軟墊；將放置在車輛上的測量儀器用彈簧吊起來等。圖為被動隔振的簡化模型。 設(shè)地基振動規(guī)律 彈簧力 阻力 被隔振對象的運(yùn)動微分方程： 其中 受迫振動規(guī)律 振幅 被動隔振系數(shù)（或稱位移的傳遞率） 曲線如圖