幾何證明題集-R9

1、第四章立體幾何軌跡1834.1基本軌跡命題1834.2較復(fù)雜的軌跡命題185解題示例187203第四章立體幾何軌跡在生產(chǎn)過(guò)程中，為了保證規(guī)格，經(jīng)常要先找到空心的圓盤或圓柱形工件的中心線，使其與機(jī)器主軸的中心線重合。一般使用劃針或千分表，轉(zhuǎn)動(dòng)工件，觀察劃針與工件表面的接觸情況或千分表指針的擺動(dòng)情況，以判斷這時(shí)的旋轉(zhuǎn)軸是否重合于工作自身的中心線。這時(shí)，我們運(yùn)用了軌跡的原理?，F(xiàn)在，讓我們來(lái)對(duì)立體幾何軌跡作系統(tǒng)的介紹。和平面幾何里的軌跡一樣，我們把滿足給定條件的一切點(diǎn)所構(gòu)成的圖形，稱為由條件所規(guī)定的點(diǎn)的軌跡。在此必須特別注意軌跡命題兩面證法的必要性，這是由定義所規(guī)定的。首先，構(gòu)成圖形的點(diǎn)，必須滿足條件

2、，即是說(shuō)，不滿足的點(diǎn)就不在上。這樣，軌跡上的點(diǎn)便不會(huì)濫竽充數(shù)，這叫做軌跡的純粹性。其次，滿足條件的點(diǎn)都要在上，即是說(shuō)，不在上的點(diǎn)就不滿足，因?yàn)槎x中明白要求：是滿足的一切點(diǎn)所構(gòu)成的。這樣，軌跡上的點(diǎn)便不會(huì)有遺漏，這叫做軌跡的完備性。解決軌跡問(wèn)題時(shí)，倘若和都已經(jīng)告訴了我們，問(wèn)題就比較簡(jiǎn)單，我們只要證明在上的點(diǎn)合于條件（或證明它的等效命題：不合于的點(diǎn)不在上），并且合于條件的點(diǎn)在上（或證明它的等效命題：不在上的點(diǎn)不合于）。倘若只告訴了條件，要我們求，那末就要首先分析應(yīng)有的性質(zhì)從而確定之，然后加以證明。必要時(shí)還要加以討論。當(dāng)然，一望而知的問(wèn)題，可以略去一些步驟。4.1基本軌跡命題下面所介紹的軌跡命題應(yīng)

3、用甚廣。它們的正確性或者是顯然的，或者是平面幾何軌跡在空間的推廣。圖4-1軌跡1與一定點(diǎn)有定距離的點(diǎn)的軌跡是一球面。軌跡2距兩定點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是一平面，在該兩點(diǎn)聯(lián)線段的中點(diǎn)垂直于此線，稱為線段的中垂面或垂直平分面。證明：設(shè)月為兩定點(diǎn)，為空間動(dòng)點(diǎn)滿足條件。從作的垂線，為垂足（圖4-1）。那末直角三角形和有斜邊及一腰對(duì)應(yīng)相等，因而合同，。即是說(shuō)，凡滿足條件的點(diǎn)在通過(guò)的中點(diǎn)而與垂直的平面上。反之，在中垂面上的任一點(diǎn)滿足條件：因直角三角形和有兩腰對(duì)應(yīng)相等因而合同。因此所求軌跡是平面。軌跡3與定直線有定距離的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓柱面，以為其軸面以為其半徑。軌跡4與一定平面有定距離的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)平行于的平

4、面，各在的一側(cè)。圖4-2軌跡5距兩相交平面等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)互相垂直的平面，各平分兩已知平面所成的二面角。證明：設(shè)為空間任一點(diǎn)，到兩相交平面的距離滿足條件（圖4-2）。相交直線和決定一平面，垂直于和，因而也垂直于和的交線。以表示和的交點(diǎn)，那么，在平面上，在距兩相交線和等遠(yuǎn)，于是是二面角()的平面角的平分線。以表示點(diǎn)和直線所決定的平面，那末(因?yàn)樗鼈兊钠矫娼窍嗟?，即是合于條件的點(diǎn)在平分和夾角的一個(gè)平面上。反之，設(shè)為和夾角的一個(gè)平分面上任一點(diǎn)，作。我們很容易倒回來(lái)證明。由于和有兩個(gè)互補(bǔ)的夾角，所以有兩個(gè)互相垂直的平分面作為所求的軌跡。軌跡6距兩平行平面等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是與它們平行的一個(gè)平面。軌跡

5、7距兩相交直線等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)互相垂直的平面。事實(shí)上，容易證明，若一點(diǎn)距平面上兩相交直線等遠(yuǎn)，則M在上的射影也距等遠(yuǎn)，反之亦真。所求軌跡是通過(guò)夾角的平分線所作垂直于的兩個(gè)平面。軌跡8距兩平行線等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是這兩直線公垂線段的中垂面。軌跡9一點(diǎn)到兩已知點(diǎn)的聯(lián)線段互相垂直，這點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球面，以兩已知點(diǎn)的聯(lián)線段為直徑。在平面幾何里我們知道，若一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離成定比，即則其軌跡為一圓周；若兩點(diǎn)內(nèi)分、外分線段成定比，即，則點(diǎn)滿足，從而軌跡就是以做直徑的圓周。如果通過(guò)作一群共軸面，在每一面上運(yùn)用這個(gè)平面幾何命題，就得到下面的推廣：軌跡10到兩定點(diǎn)的距離成定比的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)中心在線上的球面。若

6、仍舊代表上述意義，這就是以做直徑的球面。當(dāng)時(shí)，軌跡是的中垂面。因此，倘若把平面看作半徑趨于無(wú)窮大的球面，就可以把軌跡2看作軌跡10的特殊情形。在平面幾何中，給定兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足條件（為一給定線段)，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓周，以的中點(diǎn)為圓心，以為半徑，有解的條件是。推廣到空間便得：軌跡11到兩定點(diǎn)距離之平方和為常量的點(diǎn)的軌跡（倘若存在）是一個(gè)球面（可能退縮為一點(diǎn)）。在平面幾何中，設(shè)為定點(diǎn)，若點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是垂直于的一條直線。推廣到空間便得：軌跡12到兩定點(diǎn)距離之平方差為常量的點(diǎn)的軌跡是垂直于該兩點(diǎn)聯(lián)線的一個(gè)平面。在平面幾何中，對(duì)于兩個(gè)不同心的定圓有等冪軸的點(diǎn)的軌跡，是一條稱為等冪的直線，垂直于

7、兩圓心的聯(lián)線。在空間便有：軌跡13對(duì)于兩個(gè)不同心的定球有等冪的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)平面，垂直于兩球的聯(lián)心線。這平面稱為兩球的等冪面，倘若兩球相交，等冪面就是相交點(diǎn)所組成的圓周所在的平面，每一交點(diǎn)對(duì)于兩球的冪同等于零。倘若兩球相切，等冪面就是它們?cè)谶@切點(diǎn)的公切面。當(dāng)兩球同心時(shí)，在有限空間軌跡不存在，因?yàn)榫捅厝粚?dǎo)致；我們有時(shí)候也說(shuō)軌跡是無(wú)窮遠(yuǎn)面，這樣的概念最好利用解析幾何將坐標(biāo)齊次化才能解釋清楚。4.2較復(fù)雜的軌跡命題在平面上，兩個(gè)軌跡交截，通?？梢缘贸鲇邢迋€(gè)點(diǎn)，應(yīng)用軌跡交截法解作圖問(wèn)題，就是根據(jù)這個(gè)道理。在空間，兩個(gè)軌跡交截，在多數(shù)情況下帶來(lái)新的軌跡。我們舉幾個(gè)例。軌跡14與三角形三頂點(diǎn)等距離的點(diǎn)的軌

8、跡是一條直線，垂直于三角形所在的平面并且通過(guò)三角形的外心。證明：設(shè)為已知三角形，距兩頂點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面（軌跡2），這平面垂直于AB因而垂直于平面。同理，距兩頂點(diǎn)等遠(yuǎn)的點(diǎn)的軌跡是線段的中垂面，也垂直于平面。這兩平面都通過(guò)的外接圓心（因?yàn)榫嗟冗h(yuǎn)，也距等遠(yuǎn)），所以它們相交于通過(guò)的一直線，并且垂直于平面。所以距等遠(yuǎn)的點(diǎn)必在通過(guò)的外心面與平面垂直的直線上。反之，顯然上任一點(diǎn)距三頂點(diǎn)等遠(yuǎn)。所以命題證明了。這軌跡還可用另一法得到。假定一點(diǎn)距三頂點(diǎn)等遠(yuǎn)，則在平面上的射影亦必距等遠(yuǎn)，而且反過(guò)來(lái)也成立。就是的外心，于是所求軌跡是垂直平面于點(diǎn)的直線。軌跡15與三角形三頂點(diǎn)距離之比等于三已知線段之比的點(diǎn)

9、的軌跡（倘若存在），是一圓周（可能退縮為一點(diǎn)）或一直線。證明：這是上題的推廣。設(shè)是已知三角形，而是三已知線段，要求滿足條件的點(diǎn)的軌跡。滿足的點(diǎn)的軌跡當(dāng)時(shí)是一球面（軌跡10），而當(dāng)時(shí)，則是一個(gè)平面（軌跡2）。同理，滿足條的點(diǎn)的軌跡也是一個(gè)球面或平面。所求軌跡是球面與球面，或球面與平面，或平面與平面的交線。所以倘若軌跡存在，就是一圓周或一直線。軌跡16與三角形三邊等距離的點(diǎn)的軌跡是通過(guò)三角形的內(nèi)心和傍心并垂直于其所在平面的四條直線。證明：設(shè)點(diǎn)距的三邊等遠(yuǎn)，以表示在平面上的射影，則也距三邊等遠(yuǎn)，因而只能是的內(nèi)切圓心或傍切圓心，即只能在所說(shuō)四直線之一上。反之，這四直線上的任一點(diǎn)到三邊有等距離。證明時(shí)要

10、用三垂線定理或其逆定理。所以命題證明了。注意這四直線中任一條都不是所求軌跡，因?yàn)榈饺呌械染嚯x的點(diǎn)并不都在其中某一直線上。這四直線合在一起才是所求軌跡。軌跡17與共點(diǎn)而不共軸的三平面等距離的點(diǎn)的軌跡是通過(guò)這點(diǎn)的四直線。證明：設(shè)三平面相交于點(diǎn)，點(diǎn)及等距離的點(diǎn)的軌跡是兩個(gè)互相垂直的平面（即夾角的兩個(gè)平分面）；與及等距離的點(diǎn)的軌跡也是兩個(gè)互相垂直平面。距三平面等遠(yuǎn)的點(diǎn)便應(yīng)該在或上，并且也在或上，因之只能在與，或與，或與，或與的交線上。反過(guò)來(lái)，這四線上任一點(diǎn)到三已知平面有等距離。軌跡18與共點(diǎn)面不共面的三直線等距離的點(diǎn)的軌跡是通過(guò)這點(diǎn)的四條直線。這命題留給讀者自證（應(yīng)用軌跡7）。軌跡19給定互相垂直的

11、兩條不共面直線，一定長(zhǎng)線段兩端在此兩線上移動(dòng)，求其中點(diǎn)的軌跡。解：是互相垂直的兩條異面直線的公垂線，為其中點(diǎn)，動(dòng)線段的長(zhǎng)為定值，則中點(diǎn)軌跡是，證略。解題示例題圖4-14.1求作定直線與定球面的交點(diǎn)所謂給定了一個(gè)球面，只是說(shuō)知道了它的中心和半徑。題設(shè)：定球，定直線。求作：與的交點(diǎn)。作圖：（1）作平面。（2）在平面作，設(shè)與相交于，則就是所求的點(diǎn)。證明：，討論：設(shè)到的距離為，若：（1），則有兩交點(diǎn)；（2），則有一交點(diǎn)；（3），則無(wú)交點(diǎn)。4.2求作定平面與定球面相交的圓周。已知：平面，定球題圖4-2求：平面與相交的圓周。分析：假若所求的圓已作出。作于，則為定點(diǎn)。為確定。（定長(zhǎng)），可作出。作圖：（1）作

12、；（2）作一線段；（3）在平面上，作。則就是球與相交的圓周。證明：在上任取一點(diǎn)，連。，在上。又，。討論：若（1），有一相交的圓周；（2），圓周退縮為一點(diǎn)；（3），無(wú)解。4.3證明與定球相交成半徑有定長(zhǎng)的圓周的一切平面，切于該球的一個(gè)同心球。題圖4-3題設(shè)：定球，一動(dòng)平面與相交得，且長(zhǎng)一定。題斷：平面與相切（長(zhǎng)一定）。證明：作平面于，則易得為的圓心，在任取一點(diǎn)。，。即（定長(zhǎng)）。動(dòng)平面到的距離總是等于，題圖4-4平面切于球，。證畢。4.4通過(guò)一定直線求作一平面使切于定球。題設(shè)：一定球，一直線。求作：平面，使過(guò)且切于球。分析：假設(shè)平面已做成，設(shè)切球于，連，過(guò)作于。，因此平面于。確定，因此，平面可確定

13、，隨之得，爾后便得。于是，平面平面為可作。作圖：（1）過(guò)作平面；（2）設(shè)，在平面上作切于；（3）過(guò)作平面；則平面就是所求。證明：，平面，即。因此平面到的距離為。平面切球于。又平面，合于所求。討論：設(shè)到的距離，若：（1），則無(wú)解；（2），則有一解；（3），則有二解。4.5通過(guò)一條直線求作一平面使截定球于給定半徑的圓周。題圖4-5題設(shè)：定球，定直線和一線段。求作：過(guò)的平面，使截定球得圓周。分析：假定圖已做成。連，則平面。，切球。又，此時(shí)，問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成上題。作圖：（1）作一球；（2）由4.4題，過(guò)作一平面切球于。則平面就是所求。證明：切球于，截球得圓周為，在上取任意一點(diǎn)，。的半徑為。又平面過(guò)，合于所

14、求。討論：設(shè)點(diǎn)到的距離為。（1）當(dāng)時(shí)，若：，則無(wú)解；，則有一解；，則有二解。（2）當(dāng)時(shí)，無(wú)解。4.6通過(guò)一定點(diǎn)求作定球的切線使平行于定平面。題圖4-6題設(shè)：一定點(diǎn)，定球，定平面。求作：球過(guò)的切線，使平面。分析：假定圖已作成。過(guò)作平面平面，則平面且球。設(shè)球，連，則，。又，平面。因此，。就是的切線，由此便知做法。作圖：（1）過(guò)作平面，使平面。（2）設(shè)平面。在平面上，過(guò)引的切線，為切點(diǎn)，則就是所求。證明：，即，平面。，因此切球于。又平面平面，平面。故合于所求。討論：（1）當(dāng)在球外部時(shí)，若：平面與球相交，則有二解；題圖4-7平面與球相切，則有一解；平面與球相離，則無(wú)解。（2）當(dāng)球在上時(shí)，若：平面，則有

15、一解；平面，則有無(wú)限多解。（3）當(dāng)在球內(nèi)部時(shí)，無(wú)解。4.7給定平面，其上一點(diǎn)及其外一點(diǎn)，求在上通過(guò)作一直線，使距有已知距離。題設(shè)：一平面，點(diǎn)及點(diǎn)，為定長(zhǎng)。求作：直線，使且。分析：假定已作出，作于，于，連，則，（定長(zhǎng)）。,，。由此可得就是的切線，故得作法。作圖：（1）作平面于O；（2）在平面作；（3）過(guò)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為。則直線為所求。證明：，。故合于所求。討論：若：（1），則無(wú)解；（2），則有一個(gè)解；（3），則有二個(gè)解。4.8過(guò)球內(nèi)一定點(diǎn)任作兩兩互垂的三弦，證明：題圖4-8為常數(shù)。題設(shè)：是過(guò)球（）內(nèi)一定點(diǎn)任作的兩兩互垂的三弦。題斷：，為常數(shù)。證明：設(shè)決定圓面，作于。由面，面得為矩形，因而知。又

16、由平面幾何定理得，（常數(shù)）4.9證明從球外一點(diǎn)向球所引的切線等長(zhǎng)。題圖4-10題圖4-9題設(shè)：（i=1，2，3，）是從球外一點(diǎn)向球所引的切線。題斷：等長(zhǎng)。證明：連，則。均等于，均等于，故等長(zhǎng)。4.10設(shè)四面體各棱切于同一球，證明三雙對(duì)棱之和都相等。題設(shè)：四面體的棱題圖4-11-1各切球于。題斷：。證明：由上題可設(shè)：，；，。因此。同理可得；。故。4.11設(shè)一平面多邊形內(nèi)接于一球，證明在多邊形各頂點(diǎn)所作球的切面通過(guò)同一點(diǎn)或同平行于同一直線。題設(shè)：一平面多邊形內(nèi)接于一球，過(guò)頂點(diǎn)。作球的切面。題斷：平面平面平面平面點(diǎn)或平面、平面、平面平面同平行于一直線。題圖4-11-2證明：（1）當(dāng)平面多邊形所在平面

17、不過(guò)點(diǎn)時(shí)（題圖4-11-1），過(guò)作直線平面于點(diǎn)。設(shè)，連，、，則。由平面幾何中的射影定理可得：，即。因此（定值）。合于一點(diǎn)，故平面都過(guò)點(diǎn)。（2）當(dāng)平面多邊形所在平面過(guò)點(diǎn)時(shí)（題圖4-11-2），過(guò)作直線平面。則，。故平面同平行于直線。題圖4-124.12求作兩定球的交線。題設(shè)：兩球，。求作：兩球的交線。分析：所謂交線，就是公共點(diǎn)組成的線。球與球形狀是一定的（但位置不定），由此可見(jiàn)，球與球的交線就是一公共點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)可得。故得作法。作圖：（1）連，在上取一點(diǎn)，使，則點(diǎn)一定；（2）過(guò)點(diǎn)作一平面，使；（3）在平面上，以為圓心，以為半徑畫(huà)，則就是兩球與的交線。證明：在上任取一點(diǎn)，連。在和中，有：，。，。因此，

18、為球與球的交點(diǎn)。故為球與球的交線。討論：（1）當(dāng)或時(shí)，無(wú)交線；（2）當(dāng)或時(shí)，交線退縮為一點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，有一交線。4.13證明不共面二直線上各點(diǎn)所連線段中點(diǎn)的軌跡是一個(gè)平面。題設(shè)：是不共面的二直線，是的中點(diǎn)，。題斷：點(diǎn)的軌跡是一平面。探求：由1.24題知，點(diǎn)共一平面。只要設(shè)法證明：平面上任一點(diǎn)合條件即可。證明：（1）完備性：由1.24題知點(diǎn)共平面，點(diǎn)均在平面上。（2）在平面上任取一點(diǎn)，不共面，由1.23題知：過(guò)能可作出一線段，使，。設(shè)中點(diǎn)為，由1.24題知在平面上。與只有一交點(diǎn)，必合。題圖4-14因此平面上任一點(diǎn)合條件。由（1）、（2）知，點(diǎn)的軌跡就是平面。注：平面就是與的公垂線的垂直平分面。

19、4.14異面直線上各取一點(diǎn)，按定比內(nèi)分，求分點(diǎn)的軌跡。探求：由上題不難判斷所求軌跡為一平面。證明：在上取定兩點(diǎn)；在上取定兩點(diǎn)月。設(shè)是的內(nèi)分點(diǎn)（比為），過(guò)作平面。（1）完備性：因?yàn)椋簿€，且。（2）純粹性：在上任取一點(diǎn)，作平面，設(shè)交于。異面，或。不妨設(shè)，令交于。若，則，。與矛盾。故于一點(diǎn)。由完備性知為內(nèi)分點(diǎn)（比為）。由（1）、（2）知軌跡為。4.15求球內(nèi)平行弦中點(diǎn)的軌跡。題設(shè)：是球內(nèi)有定向的弦，是中點(diǎn)，2，3題圖4-15求：點(diǎn)的軌跡。探求：設(shè)定直線。（，為已定），在過(guò)且垂直于的平面上。又在球內(nèi)，的軌跡可能是平面與球的公共面，即截球所得截面。證明：過(guò)作平面，使與定向垂直，設(shè)平面球面。（1）完備性

20、，題圖4-16平面，因此。又在球內(nèi)，面內(nèi)。（2）純粹性在面內(nèi)任取一點(diǎn)，過(guò)作球弦。，平面，平面。又，再。為的中點(diǎn)。故面內(nèi)任一點(diǎn)合條件。由（1）、（2）可知：點(diǎn)的軌跡就是面，圓周為臨界線。4.16求球的一組平行截面中心的軌跡。題設(shè)：定平面。在球中，平面且截于圓，求：點(diǎn)的軌跡。探求：面，面定面，定平面。由此可知：在過(guò)定點(diǎn)且垂直于這平面的定直線上。又在球內(nèi)，的軌跡可能是直線在球內(nèi)的部分。證明：這作直線上平面，設(shè)球。（1）完備性：面，面，。又過(guò)且，因此。在內(nèi)，在上。（2）在上任取一點(diǎn)，過(guò)作一平面平面，設(shè)球。，。又，面于。故為的中心。因此上任一點(diǎn)合條件。綜合（1）、（2）所證，知點(diǎn)的軌跡就是線段（球直徑）

21、，但為臨界點(diǎn)。4.17求球內(nèi)定長(zhǎng)之弦中點(diǎn)的軌跡。題設(shè)：是球內(nèi)定長(zhǎng)之弦的中點(diǎn)，1，2，3求：點(diǎn)的軌跡。探求：我們知道在平面幾何中有：定圓內(nèi)定長(zhǎng)弦的中點(diǎn)的軌跡是與已定圓同心的一圓。把這一命題推廣到立體幾何，自然想到點(diǎn)的軌跡或許是球同心的一球。題圖4-17連，則有，因而得（定長(zhǎng)）。由此可見(jiàn)，的軌跡可能是與球同心的一球。證明：（1）完備性，在球上。（2）純粹性：在球上任取一點(diǎn)、過(guò)作的弦，使其切于球。切球于，于。又，且為的中點(diǎn)。故合條件。由（1）、（2）知：點(diǎn)的軌跡是球。討論：（1）時(shí)，軌跡為一球；（2）時(shí)，軌跡為一點(diǎn)（球心）；（3）時(shí)，無(wú)軌跡。4.18通過(guò)一定點(diǎn)作定球的各截面，求所截圓心的軌跡。題圖4

22、-18題設(shè)：是一定點(diǎn)，過(guò)作定球的截面，是所截圓面的中心，1，2，3。求：點(diǎn)的軌跡。探求：在平面幾何中，與本題相應(yīng)的命題是：通過(guò)一定點(diǎn)作定圓的割線，求所截弦的中點(diǎn)軌跡。這軌跡我們已知道，是以定點(diǎn)與定圓中心連線為直徑的圓在已知圓內(nèi)的那段圓弧。把這命題推廣到立體幾何中，應(yīng)有的軌跡是以為直徑的球在球內(nèi)的那部分球面，即那個(gè)球冠。是否真切，有待于下面證明。證明：（1）完備性：連，則平面，即，因此在以為直徑的球上。又在球內(nèi)，在“以為直徑的球在球內(nèi)的那個(gè)球冠”上。（2）純粹性：在球冠上任取一點(diǎn)，連，過(guò)直線作一平面，使平面（由于，因此其是可作的）。平面于，是的中心。又平面，點(diǎn)合乎條件。由（1）、（2）知：點(diǎn)的軌

23、跡是球冠，但球冠的底（截圓）是臨界線。討論：若合于，則球冠退縮為一點(diǎn)。4.19通過(guò)二定點(diǎn)（或一定直線）作定球的各截面，求所截圓心的軌跡。題設(shè)：是二定點(diǎn)，過(guò)作定球的截面，是截圓的中心，1，2，題圖4-193。求：點(diǎn)的軌跡。探求：連，則平面。，因此在過(guò)且垂直于的平面上。過(guò)作平面，使，連，則。由此可見(jiàn)，點(diǎn)軌跡可能是在平面上，以為直徑的圓在球內(nèi)的那段圓弧。證明：過(guò)O作平面,使。在平面上，以為直徑作圓，設(shè)交球于。（1）完備性，。因此。又平面，在球內(nèi)，。（2）在上任取一點(diǎn)，過(guò)作平面。，即，又，即。因此，平面，即平面。為過(guò)的截面，所作球所得圓面的中心。故是合乎所求條件的點(diǎn)。由（1）、（2）得點(diǎn)的軌跡是，但為

24、臨界點(diǎn)。討論：若點(diǎn)合于點(diǎn)，則退縮于一點(diǎn)。4.20求一定點(diǎn)在通過(guò)另一定點(diǎn)的動(dòng)平面上射影的軌跡。題圖4-20題設(shè)：是兩定點(diǎn)，是在過(guò)之平面上的射影。1，2，3。求：點(diǎn)的軌跡。探求：連，則，。因此，。由此可見(jiàn)：的軌跡或許是以為直徑的球。證明：設(shè)以為直徑的球。（1）完備性，因此，球。（2）純粹性在球上任取一點(diǎn)，連，過(guò)作平面，又過(guò)和作平面。球，。又平面，。因此平面于，即于。由此可見(jiàn)，合條件。故，所求點(diǎn)的軌跡是以為直徑的球。4.21求一定點(diǎn)在通過(guò)另一定點(diǎn)的直線上的射影的軌跡。題設(shè)：是兩定點(diǎn)，是在過(guò)的直線上的射影，1，2，3題圖4-21求：點(diǎn)的軌跡。探求：于，。由此不難想到點(diǎn)軌跡很可能是以為直徑的球。證明：（1）完備性，球。（2）在上任取一點(diǎn)，過(guò)作直線。球，。因此，即于。是合條件的點(diǎn)。由（1）、（2）知的軌跡是以為直徑的球。4.22求一定點(diǎn)在通過(guò)另兩定點(diǎn)的動(dòng)平面上射影的軌跡。題圖4-22題設(shè)：是定點(diǎn)在過(guò)兩定點(diǎn)的平面上的射影。1，2，3求：點(diǎn)的軌跡。探求：，因此在過(guò)且垂直于的平面上。設(shè)，則，因此。的軌跡可能是在平面上，以為直徑的。證明：過(guò)作平面，使于，在平面上，又以為直徑作。（1）完備性，即。因此。（2）純粹性在上任取一點(diǎn)，過(guò)作平面，即。又，即。因此平面即平面于。是合條件的點(diǎn)。根據(jù)（1）、（2）可知，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的。討論：當(dāng)重合，即共線時(shí)，退縮為一點(diǎn)。