談“數(shù)形結(jié)合”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、談“數(shù)形結(jié)合“在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用曾紅蘭摘要：數(shù)與學(xué)是密切相關(guān)的兩個表象，它們的有機(jī)結(jié)合是一種重要的思想方法，重視數(shù)形結(jié)合的 思想方法，是優(yōu)化思維品質(zhì)的有效途徑，在教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)形問題相互轉(zhuǎn)化，使學(xué)生看到形 能想到數(shù)而看到數(shù)貝能想至'j形。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；知識記憶；思維能力引言系數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。數(shù)和形是客觀事物不可分離的 兩個數(shù)學(xué)表象，兩者既能是對立的又是統(tǒng)一的。數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)缺形是少直觀， 形少數(shù)吋難入微。”數(shù)與形的對立統(tǒng)一主要表現(xiàn)在數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化和互相結(jié)合上。數(shù)形 結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)就是抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形結(jié)合起來，使抽象思

2、維和形象 思維有機(jī)結(jié)合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具 體形象、表象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀。本人在教學(xué)中通過不斷探索和相 關(guān)的實(shí)踐，深深地體會到在數(shù)學(xué)教學(xué)中用“數(shù)形結(jié)合”的思想引導(dǎo)學(xué)生思考，用“數(shù)形結(jié) 合（借數(shù)解形與以形助數(shù)）”的技巧去訓(xùn)練學(xué)生解題，能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提 高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。1. 應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合s激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣數(shù)學(xué)的客觀存在的美感，在數(shù)與形的結(jié)合上表現(xiàn)得十分和諧、完美。例如：在數(shù)與形 的關(guān)系中特別引人注目的著名的“黃金分割率”，它被世人稱之為和諧性的最完美的表現(xiàn)。“0. 618”被譽(yù)為黃金數(shù)、神圣的比例、宇宙的美神

3、。在日常生活中，人們習(xí)慣用“黃金 分割” 一一審美的觀念看世界。在繪畫和建筑藝術(shù)中，如達(dá)芬奇的名畫最后的晚餐, 法國的建筑埃菲爾鐵塔等，都用到了 “黃金分割率”，所以，它們才有經(jīng)久不衰的藝術(shù)魅 力。我們教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，要充分運(yùn)用這些材料，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的美，使學(xué)生 對數(shù)學(xué)產(chǎn)生強(qiáng)烈的情感、濃厚的興趣和探討的欲望。誘發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)美的追求心理，從而 消除對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到單調(diào)、枯燥、負(fù)擔(dān)和懼怕的心理，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極追求 的欲望。偉大的科學(xué)家愛因斯坦說'興趣是最好的老師?！迸囵B(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是克服數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)困難的內(nèi)在動力。所以，所學(xué)材料或研究對象的生動趣味有助于把學(xué)生從“要我學(xué)

4、”轉(zhuǎn)變成“我要學(xué)”的良好的學(xué)習(xí)心理，從而有可能獲得最佳的教學(xué)效果。將美感滲透融合 于數(shù)學(xué)教學(xué)的過程，這種審美心理活動能啟迪和推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動，觸發(fā)智慧的美感, 使學(xué)生的聰明才智得以充分發(fā)揮?！皵?shù)形結(jié)合”就能起到這方面的作用。2. 應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，提高學(xué)生的能力對大腦的科研成果表明，大腦的兩個半球具有不同的功能，左半腦功能偏重于抽象的 邏輯思維，講究規(guī)范嚴(yán)謹(jǐn)，穩(wěn)定封閉，如數(shù)運(yùn)算、代數(shù)式的運(yùn)算、邏輯推理、歸納演繹等。 右半球功能則偏重于形象思維，講究直覺想象，自由發(fā)散，如猜想、假設(shè)、構(gòu)思開拓、奇 異創(chuàng)造等。左、右半腦的功能各有特征，如果互相補(bǔ)充就會使大腦功能更加健全和發(fā)達(dá)。 “數(shù)形結(jié)合”思想

5、就同時綜述運(yùn)用了左、右半大腦的功能，在培養(yǎng)形象思維能力的同時, 也促進(jìn)了抽象邏輯思維能力的發(fā)展。2. 1 “數(shù)形結(jié)合”有助于對數(shù)學(xué)知識的記憶“記憶是智慧的倉庫”，人的知識、經(jīng)驗(yàn)的積累、技能的形成、技巧的熟練、思維能 力的培養(yǎng)、事業(yè)的成就等都離不開良好的記憶能力。中學(xué)的數(shù)學(xué)知識是基礎(chǔ)性知識，需要 牢固地記憶并掌握這些基礎(chǔ)知識并在此基礎(chǔ)上做到靈活運(yùn)用，在整個教學(xué)過程中，這二者 是相輔相成的。記憶正是掌握知識的基本手段，記憶的過程也就是知識積累的過程，同時 有助于知識的深化，知識水平的提高更是要以記憶為前提。有的學(xué)生面對一些數(shù)學(xué)問題束 手無策，找不到解題的思路與方法，這與腦子里記憶的數(shù)學(xué)知識太少。只

6、有對數(shù)學(xué)的基礎(chǔ) 知識記憶準(zhǔn)確牢固，才能做到溫故而知新，應(yīng)用時熟能生巧，才能進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維, 提高數(shù)學(xué)能力。教學(xué)悴用形彖記憶的特點(diǎn)，使抽彖的數(shù)學(xué)盡可能地形彖化、具體化，對 學(xué)生輸入的數(shù)學(xué)信息知識和印彖就更加深刻，在學(xué)生的腦海中形成數(shù)學(xué)的模型，可以形彖 地幫助學(xué)生理解和記憶例如：在研究函數(shù)時，可以利用函數(shù)圖形來記憶有關(guān)函數(shù)的知識 爲(wèi)f列函數(shù)的定以期、值域、彎調(diào)性只奇偶枕2周期性、有界性秋i凸性等。這樣，材料 的組成方式較好，內(nèi)容的組織結(jié)構(gòu)較嚴(yán)密，記時可以提綱挈領(lǐng)地在大腦屮儲存，今后可以 隨時綱舉目張地提，達(dá)到非常良好的記憶效果。圖1如圖1是余弦函數(shù)y=cosx的圖象.，從屮我們知道余弦函數(shù)的定

7、義域是(-°°, 4-00), 值域是t, 1,函數(shù)在區(qū)間(2k兀，2k ji + ji ) (kez)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(2kn + n, 2k +2) (kez)內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)的最小正周期是2兀，|cosx|wl,函數(shù)有界，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間(2k兀-兀/2, 2k n + n /2) (kez)上是下凹，在區(qū)間(2kn + ji/2, 2k ji+3 ji/2) (kez)上是上凹的。2. 2應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”，訓(xùn)練學(xué)oj直覺思維能力在數(shù)學(xué)里，彳寸扇是人們在求解問題時，運(yùn)用已有的知識，從 整體上對數(shù)學(xué)對象及結(jié)構(gòu)迅速識別、判斷,薩而作出大膽的滋b,合理的假設(shè)并作出試探

8、性的結(jié)論。它具有頓悟、飛躍、-1-i靈感的特征。用數(shù)形結(jié)合的方法解題，能最肓接提示問題的木質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果，只需稍 加計算或推導(dǎo)，就能得到確切的答案。如：若復(fù)數(shù)z滿足|z+i | + |z-i i二2,則i z+i+11的最小值是（）a） 1 b） v2 c） 2 d） v5對此題的分析可知，由于i z+i |和| z-i丨分別表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)至i和-i 的距離，且有|z+i| + |z-i|二2,所以表示復(fù)數(shù)z的點(diǎn)的集合是虛軸上點(diǎn)i到-i之間的線段 （含端點(diǎn)）。另外，|z+i+l |二|z-（t-i）丨為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)到-1-i距離，由 圖2可以看到，當(dāng)z二-i

9、時，|z+i+l|取得最小值1,所以選a。此題的常規(guī)解法是根據(jù)已 知條件，尋求變量x和y的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，按照求二次函數(shù)的最值的方法求解。 這個解法雖有可遵循的操作程序，但對解題過程中出現(xiàn)的情況難以預(yù)料，對可能發(fā)牛的疏漏不易察覺且解程冗長。而用數(shù)形結(jié)合的方法，則通過圖形宜接提示出問題的木質(zhì)面貌,只要思考正確，形象清晰，往往很快就能看到問題的結(jié)果。又如：解不等式vx+2>xy2= x常規(guī)解法：原不等式等價于（i） 或（ii材lxi+2解（i ）,得 0wx2；解（ii）rw-2x<0綜上可知，原不等式的解集為x |-2x<0或0wx二x i-2wx數(shù)形焚合解法：令yi=j

10、x + 2 , y2=x,則4等式厶曲q的風(fēng) 就是使yi=jx + 2的圖象在y2=x的上方的那段對應(yīng)的橫坐標(biāo),如右圖，不等式的解集為x|xawxxj而xb可由jx+2二x,解得xb二2, xa=-2,故 不等式的解集為x|-2x<2）o在日常的教學(xué)中，教師要注意用數(shù)形結(jié)合的方法訓(xùn)練直覺思維，讓學(xué)牛養(yǎng)成整體觀察、 檢索信息、把握問題實(shí)質(zhì)的好習(xí)慣。2. 3應(yīng)用"數(shù)形結(jié)合”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力發(fā)散思維是從同一來源的材料或同一個問題，探求不同思路和方法的思維過程，其思維方向是從不同角度、不同方面看待同一個問題。在教學(xué)屮常借助豺一題多解”或“一題多變”的形式，突出已知與未知z間的矛

11、盾聯(lián)系，來引發(fā)學(xué)生提出新馬皿想、新的方比/ /曠加-a 新的問題，達(dá)到知識融會貫通，發(fā)展思維的廣闊性和靈活性，激勵兮生的好奇心和求知欲, 提高解決問題的應(yīng)變能力。/筆者在教學(xué)中曾問過學(xué)生這樣一個問題：圖3如何判斷直線與圓的位置關(guān)系？大多數(shù)學(xué)生直線的距離與半徑的大小關(guān)系來判定并能計算。筆者在給出如圖3后，學(xué)生能從1、叭n三條；直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)判定直線與圓的位置關(guān)系。筆者進(jìn)而設(shè)問：如何求圓與直線的交點(diǎn)？學(xué)生能答出聯(lián)立方程。筆者列出方程組，把直線方程代入圓方程，得到一個關(guān)于x的二次方程。這時，學(xué)生一般能知道考察這個方程的根的判別式，由判別式的正負(fù)可以知道x的解的情況，進(jìn)而知道交點(diǎn)的情況,從而判定直

12、線與圓的位置關(guān)系。這樣就用另一種方法解答了這個問題，學(xué)生對于解析幾何的核心一一形與數(shù)的結(jié)合，用代數(shù)方法來研究幾何問題有了更深一步的理解。教師在教學(xué)屮要注意學(xué)生思維的橫向推廣和縱向深入，使二者有機(jī)結(jié)合以利于保證思維的流暢性，做到反應(yīng)靈皺，思路暢通，聯(lián)想豐富，在短時間內(nèi)匯集、檢索與所研究問題有關(guān)的概念與性質(zhì)，隨機(jī)應(yīng)變，巧妙運(yùn)用有關(guān)公式與定理，綜合運(yùn)用各模塊知識。2. 4應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合"，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。目前，推行素質(zhì)教育己成為教育發(fā)展的主流。對學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，是 建立新世紀(jì)創(chuàng)造性人才隊伍的需要。創(chuàng)造性思維是思維的最高境界。只有具有創(chuàng)造性思維 能力的人，才能在各自的

13、領(lǐng)域中有所創(chuàng)造發(fā)明，才能推動科學(xué)技術(shù)、人類社會的向前發(fā)展。 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可通過編選一些探索性的題目，讓學(xué)牛去研究，去探討，去發(fā)現(xiàn)。 讓他們不是從頭腦中己有的思維形式和思維方法中去找答案,而是從問題的木身進(jìn)行具體 的分析，進(jìn)行一系列探索思維活動，將己有的思維方式進(jìn)行大跨度地遷移，從而供選擇的 途徑中篩選出解決問題的新方法。如：若a2+b2=l, a、b均不為零，求證：(a+1/a) 2+ (b+1/b) 09此題要從幾何圖形 入手，由題設(shè)a2+b2=l聯(lián)想到點(diǎn)(a, b)在圓x'+yjl上而得到一種解題思路；也可以聯(lián)想 到點(diǎn)(a,b)在直線ax+by二1上，又得到一種解題思路，解答

14、過程更為簡捷。事實(shí)上由(a+1/a) 2+ (b+1/b)彳聯(lián)想到兩點(diǎn)b), (-1/a, -1/b)間的距離。顯然由于點(diǎn)(a, b)在直線 ax+by二1上，則點(diǎn)(-1/a, -1/b)到點(diǎn)(a, b)的距離不少于它到直線的距離。故(a+1/a) 2+ (b+1/b)成立。又如：求函數(shù)y二曲+ 2的值域。cos x-2（代數(shù)法）：則y二的兀+ 2得 ycosx-2y二sinx+2, cosx-2sinx-ycosx=-2y-2, jy2 +1 sin （x+0）二-2y-22 ,而 sin （x評）w1 j站杲等式餐土° wy w 土庁 -4-v7-4 + 7 .3/.sin (x

15、+0 )=-| _2*_2 | 予蕊誦域?yàn)橥烈补?數(shù)形結(jié)合法人y二哪+ 2的式類似于余雀公式y(tǒng)二上121 _c cbk x-2啟 _ 旳y=一 表示旦兩點(diǎn)po (2, -2), p (cosx, sinx)直線斜率xi xi由于點(diǎn)p在單位圓x +yi匕(見下圖)p(2,-2)顯然,kp()a w y w kpob設(shè)過p。的圓的切線方程為y+2二k (x-2)則有薦琴印=1,解得k = 土"即k疋土土庁.-4-77?丫三-4 + 街3函括直域?yàn)橥翓?，土?3教師要引導(dǎo)學(xué)生通過一些典型題口最佳解法的尋求，增強(qiáng)學(xué)生的求新、求異意識，培 養(yǎng)創(chuàng)新、求異思維，激發(fā)他們不甘滿足，勇于創(chuàng)新的激情。

16、3.應(yīng)用"數(shù)形結(jié)合s培養(yǎng)學(xué)生的良好情操31樹立現(xiàn)代思維意識在數(shù)學(xué)教育中，通過數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，把形彖思維與抽象思維有機(jī)的結(jié)合起來，盡 可能地先形彖后抽彖，不但能促進(jìn)這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學(xué)生初步形成辯證思維 能力創(chuàng)造了條件。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，通過數(shù)與形的結(jié)合，能夠有的放矢地幫助學(xué)生多角度、多層次地 思考問題，可以養(yǎng)成多向性思維的好習(xí)慣。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師引導(dǎo)學(xué)生變靜態(tài)思維方式為動態(tài)思維方式，也就是以運(yùn)動、 變化、聯(lián)系的觀點(diǎn)考慮問題，把數(shù)與形分別視為運(yùn)動事物在某一瞬間的取值或某一瞬間的 相對位置。運(yùn)用動態(tài)思維方式處理教材，研究問題，能揭示前后知識的聯(lián)系與變化，培養(yǎng) 學(xué)生的辯證

17、思維能力，更好地把握事物的本質(zhì)。3. 2樹立辯證唯物主義世界觀客觀世界是一個普遍聯(lián)系的整體，每一個事物都不孤立的存在，它和其他事物以各種 方式相互依賴著，相互制約著，相互作用著。我們從數(shù)學(xué)的發(fā)展即可揭示出：事物無不處 于普遍聯(lián)系z屮。例如：解析幾何是由代數(shù)的內(nèi)容（如代數(shù)中函數(shù)圖象就是借助于形的直 觀性來研究的）。代數(shù)和幾何，數(shù)和形兩方面的聯(lián)系、變化、發(fā)展而來的。幾何圖形的研 究，要借助于代數(shù)對方程研究（如上文提到的借助于代數(shù)式子變換來的黃金率可用于黃金 分割作圖）。而對幾何的研究同時亦豐富了代數(shù)的內(nèi)容（如代數(shù)屮函數(shù)圖象就是借助于形 的直觀性來研究的）。代數(shù)和幾何，數(shù)和形是對立的，但又是相互聯(lián)系的，可以互相轉(zhuǎn)化 的。當(dāng)引入坐標(biāo)后，它們就統(tǒng)一于解析幾何屮。這樣，數(shù)學(xué)教師就能用鮮活的事例，引導(dǎo) 學(xué)生用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)、物質(zhì)統(tǒng)一性的觀點(diǎn)、對立統(tǒng)一的觀點(diǎn)來全面的認(rèn)識客觀事物的運(yùn) 動、變化、規(guī)律，從