備考2022年中考數(shù)學(xué)專題20 半角模型（解析版）

1、中考?？紟缀文Ｐ蛯ｎ}20 半角模型倍長中線或類中線（與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形如圖：（1）2=aob；（2）oa=ob。如圖：連接 fb，將fob 繞點 o 旋轉(zhuǎn)至foa 的位置，連接 fe、fe，可得oefoef。 模型精練1（2019秋九龍坡區(qū)校級月考）如圖在四邊形abcd中，b+adc180°，abad，e、f分別是邊bc、cd延長線上的點，且eaf=12bad，求證：efbefd【點睛】在be上截取bg，使bgdf，連接ag根據(jù)saa證明abgadf得到agaf，bagdaf，根據(jù)eaf=12bad，可知gaeeaf，可證明aegaef，egef，那么efgebebgb

2、edf【解析】證明：在be上截取bg，使bgdf，連接agb+adc180°，adf+adc180°，badf在abg和adf中，ab=adb=adfbg=df，abgadf（sas），bagdaf，agafbag+eaddaf+eadeaf=12badgaeeaf在aeg和aef中，ag=afgae=eafae=ae，aegaef（sas）egef，egbebgefbefd2（2020錦州模擬）問題情境：已知，在等邊abc中，bac與acb的角平分線交于點o，點m、n分別在直線ac，ab上，且mon60°，猜想cm、mn、an三者之間的數(shù)量關(guān)系方法感悟：小芳的思

3、考過程是在cm上取一點，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；小麗的思考過程是在ab取一點，構(gòu)造全等三角形，從而解決問題；問題解決：（1）如圖1，m、n分別在邊ac，ab上時，探索cm、mn、an三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，m在邊ac上，點n在ba的延長線上時，請你在圖2中補全圖形，標出相應(yīng)字母，探索cm、mn、an三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明【點睛】（1）在ac上截取cdan，連接od，證明cdoano，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到odon，codaon，證明dmonmo，得到dmmn，結(jié)合圖形證明結(jié)論；（2）在ac延長線上截取cdan，連接od，仿照（1）的方法解答【解析】解：（1）cma

4、n+mn，理由如下：在ac上截取cdan，連接od，abc為等邊三角形，bac與acb的角平分線交于點o，oacoca30°，oaoc，在cdo和ano中，oc=oaocd=oancd=an，cdoano（sas）odon，codaon，mon60°，cod+aom60°，aoc120°，dom60°，在dmo和nmo中，od=ondom=nomom=om，dmonmo，dmmn，cmcd+dman+mn；（2）補全圖形如圖2所示：cmmnan，理由如下：在ac延長線上截取cdan，連接od，在cdo和ano中，cd=anocd=oan=150

5、°oc=oa，cdoano（sas）odon，codaon，domnom，在dmo和nmo中，od=ondom=nomom=om，dmonmo（sas）mndm，cmdmcdmnan3（2020章丘區(qū)模擬）如圖，在正方形abcd中，m、n分別是射線cb和射線dc上的動點，且始終man45°（1）如圖1，當(dāng)點m、n分別在線段bc、dc上時，請直接寫出線段bm、mn、dn之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點m、n分別在cb、dc的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論，并證明；（3）如圖3，當(dāng)點m、n分別在cb、dc的延長線上時，若cn

6、cd6，設(shè)bd與am的延長線交于點p，交an于q，直接寫出aq、ap的長【點睛】（1）在mb的延長線上，截取bedn，連接ae，則可證明abeadn，得到aean，進一步證明aemanm，得出memn，得出bm+dnmn；（2）在dc上截取dfbm，連接af，可先證明abmadf，得出amaf，進一步證明manfan，可得到mnnf，從而可得到dnbmmn；（3）由已知得出dn12，由勾股定理得出an=ad2+dn2=65，由平行線得出abqndq，得出bqdq=aqnq=abdn=12，aqan=13，求出aq25；由（2）得出dnbmmn設(shè)bmx，則mn12x，cm6+x，在rtcmn中，

7、由勾股定理得出方程，解方程得出bm2，由勾股定理得出am=ab2+bm2=210，由平行線得出pbmpda，得出pmpa=bmda=13，求出pm=12am=10，得出apam+pm310【解析】解：（1）bm+dnmn，理由如下：如圖1，在mb的延長線上，截取bedn，連接ae，四邊形abcd是正方形，abad，badabcd90°，abe90°d，在abe和adn中，ab=adabe=dbe=dn，abeadn（sas），aean，eabnad，eanbad90°，man45°，eam45°nam，在aem和anm中，ae=aneam=na

8、mam=am，aemanm（sas），memn，又mebe+bmbm+dn，bm+dnmn；故答案為：bm+dnmn；（2）（1）中的結(jié)論不成立，dnbmmn理由如下：如圖2，在dc上截取dfbm，連接af，則abm90°d，在abm和adf中，ab=adabm=dbm=df，abmadf（sas），amaf，bamdaf，bam+bafbaf+dafbad90°，即mafbad90°，man45°，manfan45°，在man和fan中，am=afman=fanan=an，manfan（sas），mnnf，mndndfdnbm，dnbmmn（

9、3）四邊形abcd是正方形，abbcadcd6，adbc，abcd，abcadcbcd90°，abmmcn90°，cncd6，dn12，an=ad2+dn2=62+122=65，abcd，abqndq，bqdq=aqnq=abdn=612=12，aqan=13，aq=13an25；由（2）得：dnbmmn設(shè)bmx，則mn12x，cm6+x，在rtcmn中，由勾股定理得：62+（6+x）2（12x）2，解得：x2，bm2，am=ab2+bm2=62+22=210，bcad，pbmpda，pmpa=bmda=26=13，pm=12am=10，apam+pm3104（2019麒麟

10、區(qū)模擬）已知，正方形abcd中，man45°，man繞點a順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交cb、dc（或它們的延長線）于點m、n，ahmn于點h（1）如圖，當(dāng)man繞點a旋轉(zhuǎn)到bmdn時，請你直接寫出ah與ab的數(shù)量關(guān)系：ahab；（2）如圖，當(dāng)man繞點a旋轉(zhuǎn)到bmdn時，（1）中發(fā)現(xiàn)的ah與ab的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖，已知man45°，ahmn于點h，且mh2，nh3，求ah的長（可利用（2）得到的結(jié)論）【點睛】（1）由三角形全等可以證明ahab，（2）延長cb至e，使bedn，證明aemanm，能得到ahab，（3）分別沿am、

11、an翻折amh和anh，得到abm和and，然后分別延長bm和dn交于點c，得正方形abce，設(shè)ahx，則mcx2，ncx3，在rtmcn中，由勾股定理，解得x【解析】解：（1）如圖ahab（2）數(shù)量關(guān)系成立如圖，延長cb至e，使bednabcd是正方形，abad，dabe90°，在rtaeb和rtand中，ab=adabe=adnbe=dn，rtaebrtand，aean，eabnad，dan+bam45°，eab+bam45°，eam45°，eamnam45°，在aem和anm中，ae=aneam=namam=am，aemanmsaemsa

12、nm，emmn，ab、ah是aem和anm對應(yīng)邊上的高，abah（3）如圖分別沿am、an翻折amh和anh，得到abm和and，bm2，dn3，bdbad90°分別延長bm和dn交于點c，得正方形abcd，由（2）可知，ahabbccdad設(shè)ahx，則mcx2，ncx3，在rtmcn中，由勾股定理，得mn2mc2+nc252（x2）2+（x3）2（6分）解得x16，x21（不符合題意，舍去）ah65（2019秋東臺市期末）在等邊abc的兩邊ab、ac所在直線上分別有兩點m、n，d為abc外一點，且mdn60°，bdc120°，bddc探究：當(dāng)m、n分別在直線ab

13、、ac上移動時，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系及amn的周長q與等邊abc的周長l的關(guān)系（1）如圖1，當(dāng)點m、n邊ab、ac上，且dmdn時，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系是bm+ncmn；此時ql=23；（2）如圖2，點m、n在邊ab、ac上，且當(dāng)dmdn時，猜想（ i）問的兩個結(jié)論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結(jié)論；若不成立請說明理由（3）如圖3，當(dāng)m、n分別在邊ab、ca的延長線上時，探索bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明【點睛】（1）由dmdn，mdn60°，可證得mdn是等邊三角形，又由abc是等邊三角形，cdbd，易證得rtbdmrtcdn，然后由直角三角形的

14、性質(zhì)，即可求得bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系 bm+ncmn，此時 ql=23；（2）在cn的延長線上截取cm1bm，連接dm1可證dbmdcm1，即可得dmdm1，易證得cdnmdn60°，則可證得mdnm1dn，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在cn上截取cm1bm，連接dm1，可證dbmdcm1，即可得dmdm1，然后證得cdnmdn60°，易證得mdnm1dn，則可得ncbmmn【解析】解：（1）如圖1，bm、nc、mn之間的數(shù)量關(guān)系 bm+ncmn此時 ql=23 （2分）理由：dmdn，mdn60°，mdn是等邊三角形，abc是等

15、邊三角形，a60°，bdcd，bdc120°，dbcdcb30°，mbdncd90°，dmdn，bdcd，rtbdmrtcdn，bdmcdn30°，bmcn，dm2bm，dn2cn，mn2bm2cnbm+cn；aman，amn是等邊三角形，abam+bm，am：ab2：3，ql=23；（2）猜想：結(jié)論仍然成立 （3分）證明：在nc的延長線上截取cm1bm，連接dm1（4分）mbdm1cd90°，bdcd，dbmdcm1，dmdm1，mbdm1cd，m1cbm，mdn60°，bdc120°，m1dnmdn60

16、6;，mdnm1dn，mnm1nm1c+ncbm+nc，amn的周長為：am+mn+anam+bm+cn+anab+ac，ql=23；（3）證明：在cn上截取cm1bm，連接dm1（4分）可證dbmdcm1，dmdm1，（5分）可證m1dnmdn60°，mdnm1dn，mnm1n，（7分）ncbmmn（8分）6請閱讀下列材料：已知：如圖（1）在rtabc中，bac90°，abac，點d、e分別為線段bc上兩動點，若dae45°探究線段bd、de、ec三條線段之間的數(shù)量關(guān)系小明的思路是：把aec繞點a順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到abe，連接ed，使問題得到解決請

17、你參考小明的思路探究并解決下列問題：（1）猜想bd、de、ec三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫出你的猜想；（2）當(dāng)動點e在線段bc上，動點d運動在線段cb延長線上時，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明；（3）已知：如圖（3），等邊三角形abc中，點d、e在邊ab上，且dce30°，請你找出一個條件，使線段de、ad、eb能構(gòu)成一個等腰三角形，并求出此時等腰三角形頂角的度數(shù)【點睛】（1）de2bd2+ec2，將adb沿直線ad對折，得afd，連fe，容易證明afdabd，然后可以得到afab，fddb，fadbad，afdabd，再利

18、用已知條件可以證明afeace，從而可以得到dfeafdafe135°45°90°，根據(jù)勾股定理即可證明猜想的結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的思路一樣可以解決問題；（3）當(dāng)adbe時，線段de、ad、eb能構(gòu)成一個等腰三角形如圖，與（1）類似，以ce為一邊，作ecfecb，在cf上截取cfcb，可得cfecbe，dcfdca，然后可以得到addf，efbe由此可以得到dfe1+2a+b120°，這樣就可以解決問題【解析】解：（1）de2bd2+ec2；（2）關(guān)系式de2bd2+ec2仍然成立證明：將adb沿直線ad對折，得afd，連feafdabd，afab，f

19、ddb，fadbad，afdabd，又abac，afac，faefad+daefad+45°，eacbacbae90°（daedab）45°+dab，faeeac，又aeae，afeace，feec，afeace45°，afdabd180°abc135°dfeafdafe135°45°90°，在rtdfe中，df2+fe2de2，即de2bd2+ec2；（3）當(dāng)adbe時，線段de、ad、eb能構(gòu)成一個等腰三角形如圖，與（2）類似，以ce為一邊，作ecfecb，在cf上截取cfcb，可得cfecbe，dc

20、fdcaaddf，efbedfe1+2a+b120°若使dfe為等腰三角形，只需dfef，即adbe，當(dāng)adbe時，線段de、ad、eb能構(gòu)成一個等腰三角形，且頂角dfe為120°7（2019夏津縣二模）如圖1，在正方形abcd中，e、f分別是bc，cd上的點，且eaf45度則有結(jié)論efbe+fd成立；（1）如圖2，在四邊形abcd中，abad，bd90°，e、f分別是bc，cd上的點，且eaf是bad的一半，那么結(jié)論efbe+fd是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請說明理由（2）若將（1）中的條件改為：如圖3，在四邊形abcd中，abad，b+d180

21、76;，延長bc到點e，延長cd到點f，使得eaf仍然是bad的一半，則結(jié)論efbe+fd是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明【點睛】（1）結(jié)論仍然成立延長cb到g，使bgfd，根據(jù)已知條件容易證明abgadf，由此可以推出bagdaf，agaf，而eaf=12bad，所以得到daf+baeeaf，進一步得到eafgae，現(xiàn)在可以證明aefaeg，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明結(jié)論成立；（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為efbedf，如圖在cb上截取bgfd，由于b+adc180°，adf+adc180°，可以得到badf，再利用已知條件可以證明abga

22、df，由此可以推出bagdaf，agaf，而eaf=12bad，所以得到eafgae，現(xiàn)在可以證明aefaeg，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明efegebbgebdf【解析】解：（1）延長cb到g，使bgfd，連接ag，abgd90°，abad，abgadf，bagdaf，agaf，eaf=12bad，daf+baeeaf，eafgae，aefaeg，efegeb+bgeb+df（2）結(jié)論不成立，應(yīng)為efbedf，證明：在be上截取bg，使bgdf，連接agb+adc180°，adf+adc180°，badfabad，abgadfbagdaf，agafbag+eaddaf+eadeaf=12badgaeeafaeae，aegaefegefegbebgefbefd8（1）如圖1，將eaf繞著正方形abcd的頂點a順時針旋轉(zhuǎn)，eaf的兩邊交bc于e，交cd于f，連接ef若eaf45°，be、df的長度是方程x25x+60的兩根，請直接寫出ef的長；（2）如圖2，將eaf繞著四邊形abcd的頂點a順時