三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識點(diǎn)匯總

1、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、知識網(wǎng)絡(luò) 三、知識要點(diǎn)（一）三角函數(shù)的性質(zhì)1、定義域與值域2、奇偶性（1）基本函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)：ysinx，ytanx；偶函數(shù)：ycosx.（2） 型三角函數(shù)的奇偶性（）g（x） （xR）g（x）為偶函數(shù) 由此得 ；同理， 為奇函數(shù) .（） 為偶函數(shù) ； 為奇函數(shù) .3、周期性（1）基本公式（）基本三角函數(shù)的周期ysinx，ycosx的周期為 ；ytanx，ycotx的周期為 .（） 型三角函數(shù)的周期 的周期為 ； 的周期為 .（2）認(rèn)知（） 型函數(shù)的周期 的周期為 ； 的周期為 .（） 的周期 的周期為； 的周期為 .均同它們不加絕對值時的周期相同，即對y 的解析式

2、施加絕對值后，該函數(shù)的周期不變.注意這一點(diǎn)與（）的區(qū)別.（）若函數(shù)為 型兩位函數(shù)之和，則探求周期適于“最小公倍數(shù)法”.（）探求其它“雜”三角函數(shù)的周期，基本策略是試驗(yàn)猜想證明.（3）特殊情形研究（）ytanxcotx的最小正周期為 ；（） 的最小正周期為 ；（）ysin4xcos4x的最小正周期為 .由此領(lǐng)悟“最小公倍數(shù)法”的適用類型，以防施錯對象.4、單調(diào)性（1）基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（族）依從三角函數(shù)圖象識證“三部曲”：選周期：在原點(diǎn)附近選取那個包含全部銳角，單調(diào)區(qū)間完整，并且最好關(guān)于原點(diǎn)對稱的一個周期；寫特解：在所選周期內(nèi)寫出函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間）；獲通解：在中所得特解區(qū)間兩端加上有關(guān)

3、函數(shù)的最小正周期的整數(shù)倍，即得這一函數(shù)的增區(qū)間族（或減區(qū)間族）循著上述三部曲，便可得出課本中規(guī)范的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間族.揭示：上述“三部曲”也適合于尋求簡單三角不等式的解集或探求三角函數(shù)的定義域.（2）y 型三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間此類三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的尋求“三部曲”為換元、分解：令u ，將所給函數(shù)分解為內(nèi)、外兩層：yf（u），u ；套用公式：根據(jù)對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)知，確定出f（u）的單調(diào)性，而后利用（1）中公式寫出關(guān)于u的不等式；還原、結(jié)論：將u 代入中u的不等式，解出x的取值范圍，并用集合或區(qū)間形成結(jié)論.（二）三角函數(shù)的圖象1、對稱軸與對稱中心（1）基本三角函數(shù)圖象的對稱性（）正弦曲線ysin

4、x的對稱軸為 ；正弦曲線ysinx的對稱中心為（ ，0） .（）余弦曲線ycosx的對稱軸為 ；余弦曲線ycosx的對稱中心 （）正切曲線ytanx的對稱中心為 ；正切曲線ytanx無對稱軸.認(rèn)知：兩弦函數(shù)的共性：x 為兩弦函數(shù)f（x）對稱軸 為最大值或最小值；（ ，0）為兩弦函數(shù)f（x）對稱中心 0.正切函數(shù)的個性：（ ，0）為正切函數(shù)f（x）的對稱中心 0或 不存在.（2） 型三角函數(shù)的對稱性（服從上述認(rèn)知）（）對于g（x） 或g（x） 的圖象x 為g（x）對稱軸 為最值（最大值或最小值）；（ ，0）為兩弦函數(shù)g（x）對稱中心 0.（）對于g（x） 的圖象（ ，0）為兩弦函數(shù)g（x）的對稱

5、中心 0或 不存在.2、基本變換（1）對稱變換（2）振幅變換（縱向伸縮）（3）周期變換（橫向伸縮）（4）相位變換（左右平移）（5）上、下平移3、y 的圖象（1）五點(diǎn)作圖法（2）對于A，T， ， 的認(rèn)知與尋求：A：圖像上最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）到平衡位置的距離； 2A：圖像上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)在y軸上投影 間的距離. ：圖象的相鄰對稱軸（或?qū)ΨQ中心）間的距離； ：圖象的對稱軸與相鄰對稱中心間的距離. ： 由T 得出. ：解法一：運(yùn)用“代點(diǎn)法”求解，以圖象的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）坐標(biāo)代入為上策，若以圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)式求 ，則須注意檢驗(yàn)，以防所得 值為增根；解法二：逆用“五點(diǎn)作圖法”的過程（參見經(jīng)典例題

6、）.四、經(jīng)典例題例1、求下列函數(shù)的值域：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：對于形如（1）（2）（3）的函數(shù)求值域，基本策略是（）化歸為 的值域；（）轉(zhuǎn)化為sinx（或cosx）的二次函數(shù)；對于（4）（5）（6）之類含有絕對值的函數(shù)求值域，基本策略則是（）在適當(dāng)?shù)臈l件下考察y2；（）轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理；（）運(yùn)用其周期性、奇偶性或函數(shù)圖象對稱性轉(zhuǎn)化.解：（1） ，即所求函數(shù)的值域?yàn)?.（2）由 注意到這里xR， ， 所求函數(shù)的值域?yàn)?，1.（3）這里 令sinxcosxt則有 且由 于是有 因此，所求函數(shù)的值域?yàn)?.（4）注意到這里y>0，且 即所求函數(shù)的值域?yàn)?.（5

7、）注意到所給函數(shù)為偶函數(shù)，又當(dāng) 此時 同理，當(dāng) 亦有 .所求函數(shù)的值域?yàn)?.（6）令 則易見f（x）為偶函數(shù)，且 是f（x）的一個正周期.只需求出f（x）在一個周期上的取值范圍.當(dāng)x0， 時， 又注意到 ，x 為f（x）圖象的一條對稱軸只需求出f（x）在0， 上的最大值.而在0， 上， 遞增. 亦遞增由得f（x）在0， 上單調(diào)遞增. 即 于是由、得所求函數(shù)的值域?yàn)?.點(diǎn)評：解（1）（2）運(yùn)用的是基本化歸方法；解（3）運(yùn)用的是求解關(guān)于sinxcosx與sinxcosx的函數(shù)值域的特定方法；解（4）借助平方轉(zhuǎn)化；解（5）（6）則是利用函數(shù)性質(zhì)化繁為簡，化暗為明.這一點(diǎn)在解（6）時表現(xiàn)得淋漓盡致.例

8、2、求下列函數(shù)的周期：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 分析：與求值域的情形相似，求三角函數(shù)的周期，首選是將所給函數(shù)化為 k的形式，而后運(yùn)用已知公式.對于含有絕對值的三角函數(shù)，在不能利用已有認(rèn)知的情況下，設(shè)法轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來處理.解：（1） 所求最小正周期 .（2） 所求周期 .（3） .注意到 的最小正周期為 ，故所求函數(shù)的周期為 .（4） 注意到3sinx及-sinx的周期為2 ，又sinx0（或sinx<0）的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期為2 .所求函數(shù)的周期為2 .（5） 注意到sin2x的最小正周期 ，又sinx0（或sinx<0）的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期

9、 ，這里 的最小公倍數(shù)為 .所求函數(shù)的周期 .點(diǎn)評：對于（5），令 則由 知， 是f（x）的一個正周期.又 不是f（x）的最小正周期. 于是由知，f（x）的最小正周期為 .在一般情況下，探求上述一類分段函數(shù)的周期，僅考慮各段函數(shù)的最小正周期的最小公倍數(shù)是不夠的，還要考慮各分支中的條件區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期.雙方結(jié)合，方可能獲得正確結(jié)果.請大家研究 的最小正周期，并總結(jié)自己的有關(guān)感悟與經(jīng)驗(yàn).例3、已知函數(shù)的部分圖象，（1）求 的值；（2）求函數(shù)圖象的對稱軸方程和對稱中心坐標(biāo).解：（1）令 ，則由題意得f（0）1 注意到函數(shù)圖象在所給長度為一個周期的區(qū)間的右端點(diǎn)橫坐標(biāo)為 ，故逆用“五點(diǎn)作圖法”得

10、： 由此解得 所求 ， .（2）由（1）得 令 ，解得 ，函數(shù)f（x）圖象的對稱軸方程為 ；令 解得 ，函數(shù)f（x）圖象的對稱中心坐標(biāo)為 .點(diǎn)評：前事不忘，后事之師.回顧運(yùn)用“五點(diǎn)作圖法”作出所給三角函數(shù)在一個周期內(nèi)圖象的列表、描點(diǎn)過程，便可從中悟出所給函數(shù)圖象上的五個關(guān)鍵點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足的等式： 例4、（1）函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 。（2）若函數(shù) 上為單調(diào)函數(shù)，則a的最大值為 。（3）函數(shù) 的圖象的對稱中心是 。函數(shù) 的圖象中相鄰兩條對稱軸的距離為 。（4）把函數(shù) 的圖象向左平移m（m>0）個單位，所得的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小正值為 。（5）對于函數(shù) ，給出四個論斷：它的圖象關(guān)于直線

11、x 對稱；它的圖象關(guān)于點(diǎn)（ ,0）對稱；它的周期為 ；它在區(qū)間 ，0上單調(diào)遞增.以其中的兩個論斷作為條件,余下的兩個論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的命題,它是。分析：（1）這里 的遞增區(qū)間 的正號遞減區(qū)間 遞增且 應(yīng)填 （2）由f（x）遞增得 易見， 由f（x）遞減得 當(dāng)k0時， 注意到 而不會屬于其它減區(qū)間，故知這里a的最大值為 .（3）（）令 所給函數(shù)圖象的對稱中心為（ ，0） ；（） 解法一（直接尋求）在中令 則有又在中令k0得 ，令k1得 所求距離為 解法二（借助轉(zhuǎn)化）：注意到所求距離等于函數(shù)的最小周期的一半，又由得這一函數(shù)的最小正周期為T ，故所求距離為 .（4）這里 將這一函數(shù)圖象向

12、左平移m（m>0）個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為 令 則由題設(shè)知f（x）為偶函數(shù) f（x）f（x） 所求m的最小值為 .（5）為使解題的眉目清晰，首先需要認(rèn)定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷只能作為結(jié)論，哪個論斷既可作為條件，又可作為結(jié)論；一般地，獨(dú)自決定圖象形狀的論斷必須作為條件，既不能決定形狀，也不能確定位置的論斷只能作為結(jié)論.在這里，必須作為條件，而只能作為結(jié)論.于是這里只需考察、 、與、 、這兩種情形.（）考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此時、成立.（）考察、 、是否成立.由得 ，故 ；又由得 注意到 .在、之下， ，易知此時、成立.于是綜合（

13、）（）得正確的命題為、 、與、 、.點(diǎn)評：對于（4）利用了如下認(rèn)知： ； .對于（5），認(rèn)定哪個論斷必須作為條件，哪個論斷必須作為結(jié)論是認(rèn)知問題和簡化解題過程的關(guān)鍵，請大家注意領(lǐng)悟和把握這一環(huán)節(jié).例5、已知 的最小正周期為2，當(dāng) 時，f（x）取得最大值2.（1）求f（x）的表達(dá)式；（2）在閉區(qū)間 上是否存在f（x）圖象的對稱軸？如果存在，求出其方程；如果不存在，說明理由.分析：出于利用已知條件以及便于考察f（x）的圖象的對稱軸這兩方面的考慮，先將f（x）化為k的形式，這是此類問題的解題的基礎(chǔ).解：（1）去 令 ， ，即 則有由題意得又由知 ，注意到這里A>0且B>0，取輔助角 ，則

14、由得（2）在中令 解得xk 解不等式注意到 ，故由得k5.于是可知，在閉區(qū)間 上有且僅有一條對稱軸，這一對稱軸的方程為 .點(diǎn)評：對于最值，對稱軸和對稱中心等問題，f（x）一經(jīng)化為 k的形式，解題便勝券在握.例6、已知點(diǎn) 的圖象上.若定義在非零實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)g（x）在（0，）上是增函數(shù)，且g（2）0.求當(dāng)gf（x）<0且x0， 時，實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：由點(diǎn)A、B都在函數(shù) 的圖象上得： ，ba，c1a. 此時，由gf（x）<0且x0， 解出a的范圍，一方面需要利用g（x）的單調(diào)性脫去“f”，另一方面又要注意借助換元進(jìn)行轉(zhuǎn)化：化生為熟，化繁為簡.因此，下一步的首要工作是考察并利用g

15、（x）的單調(diào)性.解：由分析得 定義在非零實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)g（x）在（0，）上是增函數(shù)，且g（2）0， g（x）在（，0）上是增函數(shù)，且g（2）0由知，當(dāng)x<-2或0<x<2時，g（x）<0又設(shè) .則 h（t）at（1a）， .gf（x）<0且x0， gh(t)<0，且 .由得，當(dāng) 時，h（t）<2或0<h(t)<2注意到h（t）at（1a）由h（t）<2得h（1）<2(a<0)或h( )<-2(a>0),由0<h(t)<2得 ，解得 .于是綜上可知，所求a的取值范圍為 .點(diǎn)評：在這里，由到的轉(zhuǎn)化，是

16、由“抽象”向“具體”的轉(zhuǎn)化，此為解題關(guān)鍵環(huán)節(jié).在下面的求解中，對0<h(t)<2亦可通過分類討論來完成.對于h（t）at（1a） ，0<h(t)<2 h（t）>0且h（t）<2（1）h(t)>0， 當(dāng)a>0時，h(t)在 上遞增，由得，h(1)>0，顯然成立；當(dāng)a<0時，h(t)在 上遞減由得，h( )>0 （ 1）a1>0 ；當(dāng)a0時，h（t）顯然滿足1<h(t)<2.因此由h(t)>0， 得 1<a0 （2）h(t)<2， 當(dāng)a>0時，h(t)在 上遞增，由得，h( )<2 ；

17、當(dāng)a<0時，h(t)在 上遞減由得，h(1)<2,顯然滿足條件；當(dāng)a0時，h（t）1，顯然滿足條件.因此由得 于是綜合（1）（2）知，由0<h(t)<2推出 五、高考真題（一）選擇題1、（湖北卷）若 （ ）A. B. C. D. 分析：注意到我們對 的熟悉，故考慮從認(rèn)知 的范圍入手，去了解 的范圍.由 ， 應(yīng)選C.2、函數(shù) 的部分圖象如圖，則（ ）A. B. C. D. 分析：由圖象得 . ， 又f(1)=1， 注意到 ， 應(yīng)選C.（二）、填空題1、（湖北卷）函數(shù) 的最小正周期與最大值的和為 。分析：對于含有絕對值的三角函數(shù)的周期或值域，基本策略是化為分段函數(shù)，分段尋求

18、周期或范圍，而后綜合結(jié)論. （1）注意到sin2x的最小正周期 ，而sinx0的解區(qū)間重復(fù)出現(xiàn)的最小正周期 ，而 的最小公倍數(shù)為 ，故所求函數(shù)的最小正周期為 .（2）由分段函數(shù)知，y的最大值為 ，于是由（1）（2）知應(yīng)填 .2、（遼寧卷） 是正實(shí)數(shù)，設(shè) .若對每個實(shí)數(shù)a， 的元素不超過兩個，且有a使 含2個元素，則 的取值范圍是 。分析： 注意到有a使 含有兩個元素，相鄰兩 值之差注意到 的元素不超過兩個，相間的兩個 值之差由、得 .點(diǎn)評：對于（1），在考察了各個分支中三角函數(shù)的最小正周期后，還要考察各分支中“不等式的解區(qū)間”重復(fù)出現(xiàn)的周期，二者結(jié)合才能得出正確結(jié)論.對于（2），這里的 決定于

19、f（x）在一個周期圖象的左端點(diǎn)橫坐標(biāo)，由此便于認(rèn)識相鄰兩個 值之差 的意義.（三）解答題1、若函數(shù) 的最大值為2，試確定常數(shù)a的值.分析：鑒于過去的經(jīng)驗(yàn)，首先致力于將f（x）化為 k的形式，而后便會一路坦途.解： 由已知得 .點(diǎn)評：本題看似簡單，但考察多種三角公式，亦能體現(xiàn)考生的基本能力.2、設(shè)函數(shù) yf（x）圖象的一條對稱軸是直線 .（1）求 ；（2）求函數(shù)yf（x）的單調(diào)增區(qū)間；（3）證明直線5x2yc0與函數(shù)yf（x）的圖象不相切.分析：對于（3），由于f（x）為三角函數(shù)，故需要利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義來解決直線與圖象的相切或不相切問題.其中，要證直線與（x）的圖象不相切，只需證直線的斜率不屬

20、于yf（x）圖象上點(diǎn)的切線斜率的取值集合.解：（1） 為函數(shù) 圖象的對稱軸， 即 又 .（2）由（1）知 ，當(dāng) 時，yf（x）遞增，所求函數(shù)f（x）的增區(qū)間為 .（3） yf（x）圖象上點(diǎn)的切線的斜率范圍為2，2.而直線5x2yc0 ，直線5x2yc0與函數(shù) 的圖象不相切.點(diǎn)評：有導(dǎo)數(shù)及其幾何意義奠基，便可引出諸多不同直線與不同函數(shù)圖象的相切或不相切問題.此題（3）的解題思路，值得大家仔細(xì)領(lǐng)會與品悟.3、已知函數(shù) 是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（ ）對稱，且在區(qū)間 上是單調(diào)函數(shù)，求 的值.分析：在此類三角函數(shù)問題中，已知函數(shù)的周期可直接確定 的值；已知函數(shù)圖象關(guān)于某直線（或某點(diǎn)）對稱，則只能導(dǎo)出關(guān)于 的可能取值，此時要進(jìn)一步確定 的值，還需要其它條件的輔助；而已知函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)的條件，一般只在利用函數(shù)圖象對稱性尋出 的可能取值之后，用它來進(jìn)行認(rèn)定或篩選.解：由f（x）為偶函數(shù)得