平面向量練習(xí)題集答案

1、平面向量練習(xí)題集答案典例精析題型一向量的有關(guān)概念【例 1】 下列命題：向量 AB 的長度與 BA 的長度相等；向量 a 與向量 b 平行，則a 與 b 的方向相同或相反；兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同；向量 AB 與向量 CD 是共線向量，則A、 B、 C、D 必在同一直線上.其中真命題的序號是.【解析】 對；零向量與任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故錯；顯然錯；AB 與 CD是共線向量， 則 A、B、C、D 可在同一直線上，也可共面但不在同一直線上，故錯 .故是真命題的只有.【點撥】 正確理解向量的有關(guān)概念是解決本題的關(guān)鍵，注意到特殊情況，否定某個命題只要舉出一個反例即可 .

2、【變式訓(xùn)練1】下列各式： |a| a ? a ； (a ? b) ? c a ? (b ? c)；OAOB BA；在任意四邊形ABCD 中， M 為 AD 的中點， N 為 BC 的中點，則AB DC 2 MN ； a (cos ， sin )， b (cos ， sin )，且 a 與 b 不共線，則 (a b) (ab) .其中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【解析】 選 D.| a |a ? a 正確； (a ? b)? ca ?(b ? c)；OA OB BA 正確；如下圖所示，MN =MD +DC +CN 且MN =MA+AB+BN ，兩式相加可得2 MN AB DC ，即命

3、題正確；因為 a， b 不共線，且 |a|b| 1，所以 a b， a b 為菱形的兩條對角線，即得 (ab)( a b).所以命題正確.題型二與向量線性運算有關(guān)的問題【例 2】如圖， ABCD 是平行四邊形，AC 、BD 交于點 O，點 M 在線段 DO上，且 DM =1DO，點 N在線段 OC 上,且ON=1 OC ,設(shè) AB =a,AD = b, 試用33a、b 表示 AM ， AN ， MN .【解析】 在 ?ABCD 中， AC ，BD 交于點 O，所以DO11ABAD )1 ，2 DB2(2( a b)111AOOC2AC2(ABAD) 2(a b).又 DM1DO ，ON 1OC

4、 ，33所以 AMADDM b13 DO1115 b × (a b) a b，3266AN 43OCAO ON OC 31OC412(a b).× (a b)323所以MN ANAM21511 3(a b) (6a 6b) 2a 6b.【點撥】 向量的線性運算的一個重要作用就是可以將平面內(nèi)任一向量由平面內(nèi)兩個不共線的向量表示，即平面向量基本定理的應(yīng)用，在運用向量解決問題時，經(jīng)常需要進行這樣的變形.【變式訓(xùn)練2】O 是平面 上一點， A、B、C是平面 上不共線的三點， 平面 內(nèi)的動點 P 滿足 OP OA ABAC )，若 1時，則 PA?(PBPC )的值為.(2【解析】

5、由已知得 OP OA ( AB AC )，即 AP ( AB AC )，當(dāng) 1時，得 AP 1(AB AC)，22所以 2AP AB AC，即 APABACAP，所以 BP PC，所以 PB PC PBBP0，所以 PA ? ( PB PC ) PA ?00，故填 0.題型三向量共線問題【例3】設(shè)兩個非零向量a 與b 不共線.(1)若 AB a b，BC 2a 8b， CD 3(a b)，求證： A， B， D 三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使 ka b 和 akb 共線 .【解析】 (1) 證明：因為AB a b，BC 2a 8b， CD 3(a b)，所以 BD BC CD 2a 8b3(

6、a b) 5(a b) 5 AB ，所以 AB ，BD 共線 .又因為它們有公共點B，所以 A， B，D 三點共線 .(2)因為 ka b 和 a kb 共線，所以存在實數(shù)，使 ka b (a kb)，所以 (k )a(k1)b.因為 a 與 b 是不共線的兩個非零向量，所以 k k 1 0，所以 k2 1 0，所以 k ±1.【點撥】 (1) 向量共線的充要條件中，要注意當(dāng)兩向量共線時，通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法的運用和方程思想.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三

7、點共線.【變式訓(xùn)練3】已知 O 是正三角形BAC 內(nèi)部一點， OA +2 OB +3 OC =0，則OAC 的面積與 OAB 的面積之比是（）32A. 2B. 31C.2D. 3【解析】 如圖，在三角形 ABC 中， OA 2OB 3 OC 0，整理可得 OA OC 2( OB OC ) 0.1令三角形 ABC 中 AC 邊的中點為 E， BC 邊的中點為 F，則點 O 在點F與點 E連線的3處，即 OE 2OF .設(shè)三角形 ABC 中 AB 邊上的高為 h，則 S S S 2?OE?(22)2OE· h，OACOAEOEC1hh 1111SOAB 2AB ? 2h 4AB·

8、; h，由于 AB22EF ，OE EF ，所以 AB 3OE，3S1OE ? hOAC2所以O(shè)AB 1SAB ? h42 3.故選 B.總結(jié)提高1.向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線(即重合 )的情形，而向量平行則包括共線 (即重合 )的情形 .2.判斷兩非零向量是否平行，實際上就是找出一個實數(shù)，使這個實數(shù)能夠和其中一個向量把另外一個向量表示出來.3.當(dāng)向量 a 與 b 共線同向時，|a b| |a| |b|；當(dāng)向量 a 與 b 共線反向時， |a b| |a| |b|；當(dāng)向量 a 與 b 不共線時， |ab| |a| |b|.典例精析題型一平面向量基本定理的應(yīng)用【

9、例 1】如圖 ?ABCD 中 ,M,N 分別是 DC ，BC 中點 .已知 AM =a, AN =b,試用 a，b 表示 AB ， AD 與 AC【解析】 易知 AM AD DM1 AD 2AB，1AN AB BN AB2AD ，AD1 ABa,即21ABADb.所以AB2，AD 23(2b a)3( 2a b).2所以 AC AB AD 3( a b).【點撥】 運用平面向量基本定理及線性運算，平面內(nèi)任何向量都可以用基底來表示.此處方程思想的運用值得仔細(xì)領(lǐng)悟 .【變式訓(xùn)練 1】已知 D 為 ABC 的邊 BC 上的中點， ABC 所在平面內(nèi)有一點P，滿足 PA BP CP0，則 |PD|等于

10、()|AD |1B. 1C.1D.2A. 32【解析】 由于 D 為 BC 邊上的中點，因此由向量加法的平行四邊形法則，易知PBPC2PD，因|PD |此結(jié)合 PA BP CP 0 即得 PA 2 PD ，因此易得P，A， D 三點共線且D 是 PA 的中點，所以|AD| 1，即選 C.題型二向量的坐標(biāo)運算【例 2】 已知 a (1， 1)， b (x， 1)，u a 2b， v 2ab.(1)若 u 3v，求 x； (2)若 uv，求 x.【解析】 因為 a (1， 1)， b (x， 1)，所以 u (1， 1) 2(x， 1) (1， 1) (2x， 2) (2x 1， 3)，v 2(1

11、， 1) (x，1) (2 x， 1).(1)u 3v? (2x1， 3) 3(2 x， 1)? (2x 1，3) (6 3x， 3)，所以 2x 1 63x，解得 x1.(2)u v ? (2x1， 3) (2 x， 1)2x 1(2 x),?3? (2x 1) 3(2 x)0?x 1.【點撥】 對用坐標(biāo)表示的向量來說，向量相等即坐標(biāo)相等，這一點在解題中很重要，應(yīng)引起重視.【變式訓(xùn)練2】已知向量nnan (cos， sin)( nN * )， |b| 1.則函數(shù) y |a1 b|2 |a2 b|2 |a3 b|2 77 |a1412 的最大值為. b|【解析】 設(shè) b (cos ， sin

12、)，所以 y |a1 b|2 |a2b|2 |a3 b|2 |a141 b|2 (a1 )2 b2 2(cos ，7)2 b2 2(cos141 141 sin7)(cos ， sin ) (a1417，sin7 )(cos ， sin ) 282 2cos(7 )，所以 y 的最大值為 284.題型三平行 (共線 ) 向量的坐標(biāo)運算【例 3】已知 ABC 的角 A，B，C 所對的邊分別是a， b，c，設(shè)向量 m(a，b)，n (sin B， sin A)， p(b2， a 2).(1)若 m n，求證： ABC 為等腰三角形；(2)若 m p，邊長 c 2，角 C ，求 ABC 的面積 .3

13、【解析】 (1) 證明：因為m n ，所以 asin A bsin B.由正弦定理，得a2 b2，即 ab.所以ABC 為等腰三角形 .(2)因為 m p，所以 m· p 0，即a(b 2) b(a2) 0，所以 a b ab.由余弦定理，得4 a2 b2 ab(a b)2 3ab，所以 (ab)2 3ab 4 0.所以ab 4 或ab 1(舍去 ).所以113SABC 2absin C2×4×2 3.【點撥】 設(shè) m (x1， y1)， n (x2， y2)，則 m n? x1 y2 x2y1； m n? x1 x2y1 y2 0.【變式訓(xùn)練3】已知 a，b，c

14、 分別為 ABC 的三個內(nèi)角 A，B， C 的對邊，向量 m(2cosC1， 2)， n(cos C， cos C 1).若 m n ，且 a b10，則 ABC 周長的最小值為 ()A.10 53B.10 53C.10 23D.10 231【解析】由 m n 得 2cos2C 3cos C 2 0，解得 cos C 或 cos C 2(舍去 )，所以 c2 a2 b2 2abcos2C a2 b2 ab (a b)2 ab 100 ab，由 10a b 2 ab? ab 25，所以 c275，即 c 53，所以 a b c 10 53，當(dāng)且僅當(dāng) a b5 時，等號成立 .故選 B.典例精析題

15、型一利用平面向量數(shù)量積解決模、夾角問題【例 1】 已知 a， b 夾角為 120°，且 |a| 4， |b| 2，求：(1)|a b|；(2)( a 2b) · (a b)；(3)a 與 (a b)的夾角 .【解析】 (1)(a b)2 a2 b2 2a· b1 164 2×4×2× 12，2所以 |a b| 23.(2)( a 2b) · (a b) a2 3a· b 2b21 163×4×2× 2×4 12.221(3)a· (a b) a a·b 1

16、6 4 ×2 × 12.2所以 cos a ?ab) 12(3，所以 .| a | a b |4×2 326【點撥】 利用向量數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律可以解決向量的模、夾角等問題.【變式訓(xùn)練1】已知向量 a，b，c 滿足：|a|1，|b| 2，c a b，且 c a，則 a 與 b 的夾角大小是.【解析】 由 c a? c· a 0?a2 a· b 0，1所以 cos 2，所以 120 .°題型二利用數(shù)量積來解決垂直與平行的問題【例 2】 在 ABC 中， AB (2， 3)， AC (1，k)，且 ABC 的一個內(nèi)角為直角，求k

17、的值 .【解析】 當(dāng)A 90°時，有 AB · AC 0，所以 2 ×1 3· k0，所以 k 23；當(dāng)B 90 °時，有 AB · BC 0，又 BC AC AB (1 2， k 3) ( 1， k 3)，11所以 2 ×(1) 3 ×(k 3) 0? k 3 ；當(dāng)C 90 °時，有 AC · BC 0，所以 1 k· (k 3) 0，所以 k2 3k 1 0? k 3± 13.22 113±13所以 k 的取值為 3， 3 或2.【點撥】 因為哪個角是直角尚未確

18、定，故必須分類討論 .在三角形中計算兩向量的數(shù)量積，應(yīng)注意方向及兩向量的夾角.【變式訓(xùn)練2】 ABC 中， AB 4， BC 5，AC 6，求 AB·BC BC·CACA· AB.【解析】 因為 2 AB · BC 2BC · CA2CA· AB (AB· BCCA·AB)(CA· ABBC·CA)(BC·CABC· AB) AB·(BC CA)CA·( AB BC ) BC·(CA AB) AB·BACA· AC BC

19、83;CB 426252 77.77所以 AB· BC BC· CACA· AB 2.題型三平面向量的數(shù)量積的綜合問題e1，e2 分別是與 Ox，Oy 同向【例 3】數(shù)軸 Ox，Oy 交于點 O，且 xOy ，構(gòu)成一個平面斜坐標(biāo)系，3的單位向量，設(shè) P 為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且OP xe12，則點 P 的坐標(biāo)為 (x， y)，已知 Q( 1，2). ye(1)求 | OQ |的值及 OQ 與 Ox 的夾角；(2)過點 Q 的直線 l OQ ，求 l 的直線方程 (在斜坐標(biāo)系中).1且 OQ e1 2e2，所以 OQ 2 ( e1 2e2)2 1 4 4e1· e2 3.所以 |OQ |3.2又 OQ ·e1 ( e1 2e2) · e1 e1 2e1 ? e2 0.所以 OQ e1，即 OQ 與 Ox 成 90°角 .(2)