函數(shù)的微分運(yùn)算實(shí)用教案

1、一、函數(shù)的極限一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)三、函數(shù)的極值三、函數(shù)的極值四、函數(shù)的積分四、函數(shù)的積分第1頁(yè)/共13頁(yè)第一頁(yè)，共14頁(yè)。一一. 函數(shù)函數(shù)(hnsh)極限極限的實(shí)現(xiàn)的實(shí)現(xiàn)格式格式(g shi)：limit(F,x,a) 計(jì)算當(dāng)計(jì)算當(dāng)xa時(shí)時(shí),F(x)的的極限值，極限值， limit(F,x,a,right) 計(jì)算當(dāng)計(jì)算當(dāng)xa+時(shí)時(shí), F的右極限，的右極限， limit(F,x,a,left) 計(jì)算當(dāng)計(jì)算當(dāng)xa-時(shí)時(shí), F的左極限，的左極限，特別特別(tbi)地，當(dāng)?shù)?，?dāng)a=0時(shí)時(shí)有：有：解：解： syms x %定義變量定義變量 limit(1-cos(x

2、)*x(-2)注意：注意：求極限時(shí)，先要定義自變量，然后直接將函求極限時(shí)，先要定義自變量，然后直接將函數(shù)放入數(shù)放入limit的括號(hào)內(nèi)，不用引號(hào)的括號(hào)內(nèi)，不用引號(hào).ans =1/2省略了自變量的變化過(guò)程省略了自變量的變化過(guò)程第2頁(yè)/共13頁(yè)第二頁(yè)，共14頁(yè)。1.一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)：計(jì)算：計(jì)算y = f(x) 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(do sh)的命令為的命令為:diff(y)例例2.計(jì)算計(jì)算(j sun)下列函數(shù)下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y=sym(1+x)*log(1+x+sqrt(2*x+x2)-sqrt(2*x+x2);dy=diff(y); b=simplify(dy); 解解:sy

3、ms x結(jié)果結(jié)果(ji gu)為：為：二二. 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)現(xiàn)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的實(shí)現(xiàn)第3頁(yè)/共13頁(yè)第三頁(yè)，共14頁(yè)。例例2.計(jì)算下列計(jì)算下列(xili)函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)y=sym(asin(x)/sqrt(1-x2)+0.5*log(1-x)/(1+x);dy=diff(y); b=simplify(dy);解解:syms x高階導(dǎo)數(shù)可直接高階導(dǎo)數(shù)可直接(zhji)計(jì)算：計(jì)算：diff(S,v,n) 求求S對(duì)對(duì)v的的n階階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 第4頁(yè)/共13頁(yè)第四頁(yè)，共14頁(yè)。2. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)的的計(jì)算計(jì)算計(jì)算計(jì)算 z=f(x,y) 的偏導(dǎo)數(shù)的方法為：的偏導(dǎo)數(shù)的方法為：首先定義首先定義(dngy

4、)自變量：自變量： syms x y; 然后建立函數(shù)：然后建立函數(shù)：z=sym(f(x,y)用用diff求導(dǎo)：求導(dǎo)：dzdx=diff(z,x) ，dzdy=diff(z,y)例例3. 求求 的一階偏導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)(do sh) 解：解：syms x y;z=sym(exp(x/y); dzdx=diff(z,x) ,dzdy=diff(z,y)第5頁(yè)/共13頁(yè)第五頁(yè)，共14頁(yè)。三三. 求函數(shù)的極大值與極小值求函數(shù)的極大值與極小值 在在Matlab中有求函數(shù)極小值的命令中有求函數(shù)極小值的命令(mng lng)：計(jì)算計(jì)算(j sun)F在在a, b之間取極小值時(shí)的之間取極小值時(shí)的x與與y(即即

5、fval). 命令命令(mng lng)：x,fval = fminbnd(F,a,b)解：解：f=inline(2*x.3-6*x.2-18*x+7) 例例4. 求求 在區(qū)間在區(qū)間(-2,4)內(nèi)極內(nèi)極小值小值 718x-6x2x f(x)23 x,fval = fminbnd(f, -2, 4) 故故 函數(shù)在函數(shù)在x=3時(shí)，有極小值時(shí)，有極小值- -47輸出結(jié)果為：輸出結(jié)果為：x = 3.0000 fval = - -47.0000第6頁(yè)/共13頁(yè)第六頁(yè)，共14頁(yè)。注意注意(zh y)：如果計(jì)算極大值，可將：如果計(jì)算極大值，可將f(x)前面添負(fù)號(hào)，前面添負(fù)號(hào)，則則-f(x)的極小值點(diǎn)，即的極

6、小值點(diǎn)，即f(x)的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn).極大值為極大值為-fval例例5. 求求 在區(qū)間在區(qū)間(- -2,4)內(nèi)極內(nèi)極大值大值 718x-6x2x f(x)23 解：解：f=-2*x.3+6*x.2+18*x-7 ;x,fval = fminbnd(f, -2, 4) x = - -1.0000fval = - -17.0000故故f(x)在在x= - -1時(shí)有極大值時(shí)有極大值17注意：計(jì)算函數(shù)注意：計(jì)算函數(shù)(hnsh)極值時(shí)，不能用極值時(shí)，不能用sym(f(x)表示法表示法但是可以用：但是可以用：y=f(x)注意注意(zh y)符符號(hào)！號(hào)！第7頁(yè)/共13頁(yè)第七頁(yè)，共14頁(yè)。四、不定積分四、不

7、定積分(b dn j fn)、定積分與廣義、定積分與廣義積分的計(jì)算積分的計(jì)算1.符號(hào)符號(hào)(fho)函數(shù)的積分函數(shù)的積分 格式格式 : int(s,v,a,b)其中其中(qzhng)，s積分表達(dá)式；積分表達(dá)式； v積分變量；積分變量； a積分下限，積分下限，b積分上限積分上限如果求不定積分，無(wú)窮積分請(qǐng)大家猜想格式如何？如果求不定積分，無(wú)窮積分請(qǐng)大家猜想格式如何？ 例例6. 計(jì)算計(jì)算解：解：s=x*exp(-x)g=int(s,x)ans =-x*exp(-x)-exp(-x) 注意：計(jì)算結(jié)果只給出一個(gè)原函數(shù)，沒(méi)有任意常數(shù)注意：計(jì)算結(jié)果只給出一個(gè)原函數(shù)，沒(méi)有任意常數(shù)C第8頁(yè)/共13頁(yè)第八頁(yè)，共14

8、頁(yè)。2.梯形梯形(txng)法數(shù)值積分法數(shù)值積分 格式格式 : I=trapz(x,y)其中其中(qzhng)，x是積分區(qū)間是積分區(qū)間a,b的取值的取值(向量向量),y是相應(yīng)的函數(shù)值是相應(yīng)的函數(shù)值3.辛普森法辛普森法 格式格式(g shi) : I=quadl(fun,a,b)注意：注意：quadl最后是字母最后是字母l, 不是數(shù)字不是數(shù)字1 例例7. 計(jì)算計(jì)算方法方法1:1:輸入輸入 y=(1+sin(x)*exp(x)/(1+cos(x);I1=int(y,x,0,pi/2)符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算, ,不要點(diǎn)乘不要點(diǎn)乘除除第9頁(yè)/共13頁(yè)第九頁(yè)，共14頁(yè)。例例7. 計(jì)算計(jì)算(j sun)方法方法

9、(fngf)2:(fngf)2:輸入輸入 x=0:0.01:pi/2; x=0:0.01:pi/2; y=(1+sin(x).y=(1+sin(x).* *exp(x)./(1+cos(x);exp(x)./(1+cos(x); I2=trapz(x,y) I2=trapz(x,y)方法方法(fngf)3:(fngf)3:輸入輸入 x=0:0.01:pi/2; x=0:0.01:pi/2;I3=quadl(1+sin(x).I3=quadl(1+sin(x).* *exp(x)./(1+cos(x),0,exp(x)./(1+cos(x),0,pi/2)pi/2)結(jié)果為結(jié)果為:I1=exp(1

10、/2:I1=exp(1/2* *pi) I2=4.8030 I3 =4.8105pi) I2=4.8030 I3 =4.8105第10頁(yè)/共13頁(yè)第十頁(yè)，共14頁(yè)。五五 . 函數(shù)函數(shù)(hnsh)的級(jí)數(shù)展開(kāi)式的級(jí)數(shù)展開(kāi)式格式：格式：taylor(F,a) 功能功能(gngnng)：F在在x=a處的泰勒處的泰勒級(jí)數(shù)前級(jí)數(shù)前5項(xiàng)項(xiàng)格式：格式：taylor(F,v) 功能功能(gngnng)：F對(duì)變量對(duì)變量v的泰勒的泰勒展式前展式前5項(xiàng)項(xiàng)格式：格式：taylor(F,v,n) 功能功能(gngnng)：求：求F的的n 階泰勒階泰勒展式展式,且且 (n缺省時(shí)默認(rèn)為缺省時(shí)默認(rèn)為 5）例例8. 求求 的麥克

11、勞林級(jí)的麥克勞林級(jí)數(shù)數(shù)xxey 解：解：syms x, y=x*exp(-x), taylor(y,9)ans=x-x2+1/2*x3+1/6*x4+1/24*x5+1/120*x6+1/720*x7+1/5040*x8第11頁(yè)/共13頁(yè)第十一頁(yè)，共14頁(yè)。simplify(y)，simple(y)化簡(jiǎn)函數(shù)y=f(x)diff(y), diff(z,x)計(jì)算y = f(x) 導(dǎo)數(shù), 偏導(dǎo)數(shù)diff(y,n)計(jì)算y = f(x) n階導(dǎo)數(shù)x,fval = fminbnd(F,a,b)曲線F在a,b內(nèi)極小值點(diǎn)(x,y)limit(F,x,a) 計(jì)算xa時(shí),F(x)的極限值int(s,v,a,b)計(jì)算a,b定積分格式 taylor(F,v,n)求F的n 階泰勒展式命令功能y=sym(f(x)或y=f(x)建立函數(shù)f(x)進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算Fun=inline(f(x)建立函數(shù)f(x)用于曲線擬合第12頁(yè)/共13頁(yè)第十二頁(yè)，共14頁(yè)。感謝您的觀看(gunkn)！第13頁(yè)/共13頁(yè)第十三頁(yè)，共14頁(yè)。No