Mathematica微積分運(yùn)算命令與例題

1、第四章 微積分運(yùn)算命令與例題極限、導(dǎo)數(shù)和積分是高等數(shù)學(xué)中的主要概念和運(yùn)算，如果你在科研中遇到較復(fù)雜的求極限、求導(dǎo)數(shù)或求積分問題，Mathematica 可以幫你快速解決這些問題。 Mathematica 提供了方便的命令使這些運(yùn)算能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，使一些難題迎刃而解。4.1 求極限運(yùn)算極限的概念是整個(gè)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行極限分析也是數(shù)學(xué)里很重要的計(jì)算分析。Mathematica提供了計(jì)算函數(shù)極限的命令的一般形式為：Limit函數(shù), 極限過程具體命令形式為命令形式1:Limitf, x->x0功能:計(jì)算 , 其中f是x的函數(shù)。命令形式2:Limitf, x->x0, Dire

2、ction->1功能:計(jì)算，即求左極限, 其中f是x的函數(shù)。命令形式3:Limitf, x->x0, Direction->-1功能:計(jì)算，即求右極限，其中f是x的函數(shù)。注意:在左右極限不相等或左右極限有一個(gè)不存在時(shí)，Mathematica的默認(rèn)狀態(tài)為求右極限。例題：例1. 求極限解：Mathematica 命令為In1:=Limit1/(x Logx2)-1/(x-1)2, x->1Out1=此極限的計(jì)算較難，用Mathematica 很容易得結(jié)果。例2. 求極限解：Mathematica 命令為In2:=Limit(1+1/n)n, n->InfinityOu

3、t2=E例3 寫出求函數(shù)在x->0的三個(gè)極限命令解：Mathematica 命令為1.LimitExp1/x, x->0 2.LimitExp1/x, x->0, Direction->13.LimitExp1/x, x->0, Direction->-1讀者可以比較其結(jié)果，觀察區(qū)別。例4.求解：Mathematica 命令為In3:=LimitIntegrateExpt2, t,0,x2/Integratet Expt22,t,0,x, x->0Out3=2 命令中的“Integrate”表示求定積分（見4.4節(jié)）例5求極限解:若輸入命令 In4:=

4、Limit IntegrateArcTant2, t,0,x / Sqrt1+x2 , x->+Infinity 屏幕會(huì)出現(xiàn)如下的紅色英文提示信息: On:none: Message SeriesData:csa not found. ComplexInfinity + <<1>> encountered.說明不能得出正確結(jié)果。此時(shí)可以借助人工處理，如用一次洛必達(dá)法則后再求極限:In5:=LimitArcTanx2/(x/Sqrt1+x2), x->InfinityOut5=4.2 求導(dǎo)數(shù)與微分4.2.1 求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之

5、比的極限，一元函數(shù)求導(dǎo)有顯函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)，Mathematica 對(duì)應(yīng)的命令有：l 顯函數(shù)求導(dǎo)命令形式1: Df, x 功能:求函數(shù)f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)。命令形式2: Df, x, n 功能:求函數(shù)f對(duì)x的n階偏導(dǎo)數(shù)。例6:變上限函數(shù)求導(dǎo)解：Mathematica 命令為In6:=DIntegrateSqrt1-t2, t,0,x2, x Out6= In7:=Simplify% Out7= l 參數(shù)方程求導(dǎo)對(duì)參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)公式和命令形式1，可用三個(gè)Mathematica命令實(shí)現(xiàn)對(duì)參數(shù)方程的求導(dǎo): r=Dx, t； s=Dy,t； Simplifys/r或

6、用Mathematica自定義一個(gè)函數(shù)：pDx_, y_, t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/r來實(shí)現(xiàn)。例7.求參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)。解:Mathematica命令I(lǐng)n8:=x=t*(1-Sint);y=t*Cost; s=Dy,t; r=Dx,t; Simplifys/r Cost - t SintOut8= - 1 - t Cost - Sint或In9:= pDx_,y_,t_:=Modules=Dy,t, r=Dx,t, Simplifys/rIn10:= pDt*(1-Sint ), t*Cost, t Cost - t SintOut10= -

7、1 - t Cost - Sintl 隱函數(shù)求導(dǎo)由方程f(x, y) = 0所確定的函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)可用一個(gè)自定義函數(shù)完成，這個(gè)函數(shù)為 impDeqn_,y_,x_:=Modules, r, t, s=Deqn, x, NonConstants->y; r=Solves, Dy, x, NonConstants->y; t=Dy,x, NonConstants->y/.r; Simplifyt 注：這里NonConstants->y指出y不是常數(shù)，eqn為f(x, y) = 0，但等號(hào)要雙寫。例8. 求所確定的函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)。解:Mathematica命令

8、In11:= impDeqn_, y_, x_:=Modules,r,t, s=Deqn,x,NonConstants->y; r=Solves,Dy,x, NonConstants->y; t=Dy,x, NonConstants->y/.r;Simplifyt In12:=impDExpy+x*y-E=0, y, x Out12= l 微分 微分是函數(shù)增量的線性主部，函數(shù)y=f(x)的微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為dy = df =f ¢ (x)dx，Mathematica命令為： 命令形式：Dtf 功能:對(duì)函數(shù)f(x)求微分df例9. 求和y=sinv的微分.解:Math

9、ematica命令I(lǐng)n13:=DtSinx2 Out13=2 x Cosx2 DtxIn14:=DtSinv Out14=Cosv Dtv4.2.2 求多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分l 偏導(dǎo)數(shù)對(duì)多元函數(shù)f(x1,x2,xn)的求導(dǎo)數(shù)的命令有如下幾個(gè)：命令形式1: Df, x 功能:求函數(shù)f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)；命令形式2: Df, x1, x2, 功能:求函數(shù)f高階混合偏導(dǎo)數(shù)；命令形式3: Df, x, NonConstants->v1,v2,功能:求函數(shù)f對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，其中v1,v2,是關(guān)于x的函數(shù)。例題例10: 求z=asin(xy)對(duì)y和對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù).解:Mathematica命令I(lǐng)n15:=Da

10、*Sinx*y, yOut15=axCosx yIn16:=DExpx+y+z2, zOut16=例11:對(duì)函數(shù),求解:Mathematica命令I(lǐng)n17:=Dx3 *y2+Sinx*y, x, yOut17=例12: 對(duì)函數(shù), 求解:Mathematica命令 In18:=Dx3 *y2+Sinx y, x,3 Out18=例13. ，其中y，z是x的函數(shù)。解:Mathematica命令I(lǐng)n19:=Dx2+y2+z2, x, NonConstants->y, zOut19=2 x + 2 y Dy, x, NonConstants -> y, z + 2 z Dz, x, Non

11、Constants -> y, z其中:Dy, x, NonConstants -> y, z和Dz, x, NonConstants -> y, z分別表示y對(duì)x和的z對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。l 全微分多元函數(shù)f(x,y,z,)的全微分命令同一元函數(shù)的微分，其命令為：命令形式: Dtf 功能:求函數(shù)f的全微分。例14:求的全微分dz。解:Mathematica命令I(lǐng)n20:=Dtx2+y2Out20=2 x Dtx + 2 y Dty 如果多元函數(shù)的變量都是或部分是某一個(gè)變量的函數(shù)，則該函數(shù)關(guān)于此變量的導(dǎo)數(shù)稱為的全導(dǎo)數(shù)，Mathematica有如下兩個(gè)求全導(dǎo)數(shù)的命令： 命令形式1: D

12、tf, x 功能:求函數(shù)f的全導(dǎo)數(shù)。命令形式2:Dtf, x, Constants->c1,c2,功能:求函數(shù)f的全導(dǎo)數(shù)，其中f中的變?cè)cx無關(guān)。注意:Df, x與Dtf, x的區(qū)別。例15:求的全導(dǎo)數(shù)，其中y是x的函數(shù)。解:Mathematica命令I(lǐng)n21:=Dtx2+y2,xOut21=2 x + 2 y Dty, x例16:求，其中y是與x無關(guān)的獨(dú)立變量。解:Mathematica命令I(lǐng)n22:=Dtx2+Sinx y+z2, x, Constants->yOut22=2 x + y Cosx y + 2 z Dtz, x, Constants -> y4.3求不定積

13、分 高等數(shù)學(xué)中求不定積分是較費(fèi)時(shí)間的事情，在Mathematica中，只要輸入一個(gè)命令就可以快速求出不定積分來。命令形式:Integratef, x功能:計(jì)算不定積分。例17:計(jì)算解:Mathematica命令I(lǐng)n23:=Integrate1/(Sinx2 Cosx2),xOut23=-(Cos2 x Cscx Secx)4.4求定積分 定積分的計(jì)算是實(shí)際問題中經(jīng)常遇到的問題，定積分計(jì)算同樣也是較費(fèi)時(shí)間的事情，而且有時(shí)還會(huì)遇到因求不出原函數(shù)而積不出結(jié)果的情況，這些在Mathematica中，也只要輸入一個(gè)命令就可以快速求出定積分值來。命令形式1: Integratefx,x,xmin,xmax

14、功能:計(jì)算定積分，xmin，xmax分別表示積分變量的下限和上限。命令形式2: NIntegratefx,x,xmin,xmax功能:計(jì)算定積分的數(shù)值積分，xmin，xmax必須是數(shù)字，不能是字母。命令形式3:Integratefx,y, x, xmin, xmax, y, ymin, ymax功能:計(jì)算重積分,xmin,xmax ,ymin,ymax表示積分限。注意：命令形式2主要用于用命令形式1求不出結(jié)果的定積分問題或高等數(shù)學(xué)中的沒有原函數(shù)的定積分問題。例題例18.計(jì)算定積分解:Mathematica命令I(lǐng)n24:=Integrate(1+x-1/x)*Expx+1/x, x, 1/2,

15、2Out24= 例19.計(jì)算廣義積分解:Mathematica命令 In25:=Integrate1/x4, x, 1, +Infinity Out25:= 例20.計(jì)算瑕積分解:Mathematica命令I(lǐng)n26:=Integratex/Sqrt1-x2, x, 0, 1Out26=1例21.計(jì)算定積分解:本題用定積分基本公式是積不出來的，用上面命令2可以計(jì)算出結(jié)果： Mathematica命令I(lǐng)n27:=NIntegrateExpx2, x, 0, 1Out27= 1.46265例22.計(jì)算,D由y=1,x=4,x=2y所圍解: 對(duì)二重積分要先化為累次積分，定好積分限后，再使用命令形式3。

16、本題的Mathematica命令為In28:=Integratex*y, x, 2, 4, y, 1, x/2 Out28=例23.計(jì)算解:Mathematica命令I(lǐng)n29:=Integratex2+y, x, 0, 1, y, x2, SqrtxOut29=4.5函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算和研究函數(shù)在一點(diǎn)的性態(tài)時(shí)，有時(shí)需要將函數(shù)在一點(diǎn)展開為冪級(jí)數(shù)形式。對(duì)應(yīng)的Mathematica命令有：命令形式:Seriesf, x, x0, n功能:把函數(shù)f在x=x0點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù)，最高項(xiàng)為n次。命令形式:Normalexpr功能:去掉冪級(jí)數(shù)表達(dá)式expr中的截?cái)嗾`差項(xiàng)，獲得剩余的多項(xiàng)式。例題例24.將函數(shù)展開為x的最高次為6的冪級(jí)數(shù)。解:Mathematica命令I(lǐng)n30:=Seriesx*ArcTanx-LogSqrt1+x2, x, 0, 6Out30=例25.將函數(shù)展開為關(guān)于(x-2)的最高次為4的冪級(jí)數(shù)。解:Mathematica命令I(lǐng)n31:=Series1/x2, x, 2, 4Out31= In32:= Normal%Out32=l 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)： 用正弦函數(shù)sin x的不同Taylor展式觀察函數(shù)的Taylor逼近特點(diǎn)。 本實(shí)驗(yàn)的Mathematica