二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用---曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)

1、二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)與要求通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)在某一區(qū)間上凹凸性的方法，為更好地描繪函數(shù)圖形打好基 礎(chǔ)，同時(shí)，理解拐點(diǎn)的定義和意義。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線(xiàn)的凹凸性與拐點(diǎn)。教學(xué)難點(diǎn)：理解拐點(diǎn)的定義和意義。教學(xué)方法與建議證明曲線(xiàn)凹凸性判定定理時(shí)，除了利用"拉格朗日中值定理”證明外，還可用"泰勒定理”來(lái)證明；如果利用“拉 格朗日中值定理”證明，則要配合函數(shù)圖形來(lái)分析講解如何想到需要兩次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脫 離圖形，機(jī)械證明，讓學(xué)生領(lǐng)悟不到思想，摸不著頭腦。在講函數(shù)的凹凸性和曲線(xiàn)拐點(diǎn)的定義

2、時(shí)，要強(qiáng)調(diào)凹凸性并不是曲線(xiàn)的固有性質(zhì)，而是函數(shù)的性質(zhì)，與所選的坐標(biāo) 系有關(guān)；而拐點(diǎn)是曲線(xiàn)的固有性質(zhì)，與所選的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)1問(wèn)題提出與定義函數(shù)的單調(diào)性對(duì)于描繪函數(shù)圖形有很大作用，但僅僅由單調(diào)性還不能準(zhǔn)確描繪出函數(shù)的圖形。 比如，如果在區(qū)間弘切上丿,一鞏町®則我們知道°）在區(qū)間切上單調(diào)增，但作圖（參見(jiàn)圖1）的時(shí)fj候，我們不能判斷它增加的方式（是弧ROB,還是弧衛(wèi)盜），即不能判斷曲線(xiàn)的凹凸性，所以研究曲線(xiàn)的凹凸性對(duì)于把握函數(shù)的性0工態(tài)、作圖等是很有必要的！在圖1中，對(duì)于上凸的曲線(xiàn)弧 /DE,取其上任意兩點(diǎn)，不妨取作割線(xiàn)，我們總會(huì)發(fā)現(xiàn)不論兩點(diǎn)的位置，害V線(xiàn)段總位于弧段

3、的下方，這種位置關(guān)系可以用不等式二丄（可）+/（%）來(lái)描述。同理，對(duì)于上凹的曲線(xiàn)弧匸：壬，總可用不等式I 2來(lái)描述。由此，我們想到對(duì)曲線(xiàn)的凹凸性做如下定義：I上任意兩點(diǎn)-，:，恒有凹凸性定義設(shè)1 -在區(qū)間I上連續(xù)，如果對(duì)則稱(chēng) r i 上的圖形是（向上）凹的，簡(jiǎn)稱(chēng)為凹弧；如果恒有則稱(chēng)在I上的圖形是（向上）凸的，或簡(jiǎn)稱(chēng)為凸弧。如果沿曲線(xiàn)從左向右走，則圖形是（向上）凸的曲線(xiàn)的幾何意義相當(dāng)于右轉(zhuǎn)彎，圖形是（向上）凹的曲線(xiàn)相當(dāng)于 左轉(zhuǎn)彎，而有切線(xiàn)的凹凸弧的分界點(diǎn)正是曲線(xiàn)轉(zhuǎn)向的點(diǎn)，我們把這樣的點(diǎn)稱(chēng)為拐點(diǎn)。2.凹凸性判定定理的引入yx宀的,于是得到曲線(xiàn)凹凸性的定義自然能判別曲線(xiàn)的凹凸性，但實(shí)際使用起來(lái)需要取

4、兩個(gè)點(diǎn)，且兩個(gè)不等式對(duì)于一些表達(dá)式較復(fù) 雜的函數(shù)來(lái)說(shuō)判斷起來(lái)也不容易。因此，我們就想能否用其它方法來(lái)判定曲線(xiàn)的凹凸性。函數(shù)的單調(diào)性能由符號(hào)確定，而對(duì)于凹凸性它束手無(wú)策，所以我們猜想凹凸性是否和1 有關(guān)？經(jīng)過(guò)分析，并利用泰勒公式，可證實(shí)我們的猜想是正確的，函數(shù)圖形的凹凸性的確和的符號(hào)有關(guān)了判斷曲線(xiàn)凹凸性的定理。定理4.3設(shè)廠(chǎng);在-'-上連續(xù)，在、丁、內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么：（1）若在二：內(nèi)；"，；>0，則在-亠-上的圖形是凹的；（2） 若在匚內(nèi)-' <0，則-在-'1 上的圖形是凸的。3. 判別凹凸性和拐點(diǎn)舉例例1判斷曲線(xiàn)y x3的凹凸性解 y 3

5、x 2 y 6x由 y 0 得 x 0因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí)y <0所以曲線(xiàn)在（0內(nèi)為凸的因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)y >0所以曲線(xiàn)在0）內(nèi)為凹的例2 求曲線(xiàn)y 2x 3 3x 2 2x 14的拐點(diǎn)1 1解 y 6x 2 6x 12 y 12x 6 12（x -）令 y 0 得 x -因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí)y0當(dāng)x 2時(shí)y°所以點(diǎn)（220*）是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)例3求函數(shù)y 3x4 4x31的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?222且 y 12x3 12x2 , y 36x2 24x 36x(x),30，得 X!0, x2列表:x(,0)0(0,2)23(t,)y+0一0+y有拐點(diǎn)有拐點(diǎn)22 11由表可知，當(dāng)xi Ox時(shí)，曲線(xiàn)有拐點(diǎn)A(0,1 )和B(,),33 27I表中表示曲線(xiàn)是凹的，-表示曲線(xiàn)是凸的函數(shù)的圖像如圖(示4. 確定曲線(xiàn)y f(x)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟(1)確定函數(shù)y f(x)的定義域求出在二階導(dǎo)數(shù)f'(3) 求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(4) 判斷或列表判斷確定出曲線(xiàn)凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)注根據(jù)具體情況(1) (3)步有時(shí)省略5學(xué)生黑板練習(xí)練習(xí)1.判定下列曲線(xiàn)的凹凸性及拐點(diǎn)232(1) y 4x x , (2) y x 6x x 1 , (3)6.小結(jié)1 在講授函數(shù)單調(diào)性時(shí)要注意借助幾何圖形進(jìn)行直觀(guān)說(shuō)明