高等代數(shù)最重要的基本概念匯總

1、第一章基本概念1.5數(shù)環(huán)和數(shù)域定義1設(shè)S是復(fù)數(shù)集C的一個非空子集，如果對于S中任意兩個數(shù)a、b來說，a+b,a-b,ab 都在S內(nèi)，那么稱S是一個數(shù)環(huán)。定義2 設(shè)F是一個數(shù)環(huán)。如果(i) F是一個不等于零的數(shù)；(ii)如果a、bF,并且b¥ 0 , aw F ,那么就稱F是一個數(shù)域。b定理任何數(shù)域都包含有理數(shù)域，有理數(shù)域是最小的數(shù)域。第二章多項式2.1一元多項式的定義和運算定義1數(shù)環(huán)R上的一個文字的多項式或一元多項式指的是形式表達(dá)式(1 )a0 +a(x + a2x2 +| +a°xn ,是非負(fù)整數(shù)而a0,a1,a2JI|an都是R中的數(shù)。項式(1 )中，a0叫作零次項或常

2、數(shù)項，ai xi叫作一次項，一般，ai叫作i次項的系數(shù)。定義2若是數(shù)環(huán)R上兩個一元多項式 f (x)和g (x )有完全相同的項，或者只差一些系數(shù)為零的項，那么就說 f (x戶口 g(x )就說是相等f x =g x定義3 anxn叫作多項式a。+a1x+ a2x2+anxn, an00的最高次項，非負(fù)整數(shù)n叫作多項式 為+ax+a2x2十|+anxn , an 00的次數(shù)。定理2.1.1設(shè)f (x)和g(x)是數(shù)環(huán)R上兩個多項式，并且f(x)#0, g(x)#0,那么(i )當(dāng) f (x )+g(x)00時，-：0 f x g x < max f° f x ,：:°

3、 g x iii;(ii )文 f (x)g(x)=40(f (x)+40(g(x)。多項式的加法和乘法滿足以下運算規(guī)則：1)加法交換律：f (x -g(x)=g(x)+ f (x)；2)加法結(jié)合律:(f(x)+g")+h(x)= f(x)+(g(x)十h(x)；3)乘法交換律：f (x )g(x)=g(x )f (x);4)乘法結(jié)合律：(f (x)g(x)h(x)=f (x)(g(x)h(x)；5) 乘法對加法的分配律：f (xXg(x)+h(x)= f (x)g(x)+f (x)h(x)。推論2.1.1 f(x)g(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)f (x )和g(x)中至少有一個是零多項式推論

4、 2.1.2 若 f (x )g (x )= f (x )h(x ),且 f (x )¥0 ,那么 g( x )= h(x)2.2多項式的整除性設(shè)F是一個數(shù)域。f lx 是F上一元多項式環(huán)定義 令f (x )和g(x尾數(shù)域F上多項式環(huán)f 的兩個多項式。如果存在f lx的多項式h(x ),使 g (x)= f (x )h(x),我們說,f (x )整除(能除盡)g(x)。多項式整除的一些基本性質(zhì)：1)如果 f(x)lg(x), g(x)lh(x),那么 f(x)lh(x)2)如果 h(x)lf (x), h(x)lg(x),那么 h(x)l(f (x )±g(x)3)如果h(

5、x)lf(x )，那么對于fix】中的任意多項式g(x )來說，h(x)lf (x)g(x)4)果 h(x)lfi(x)i =1,2,3|,t,那么對于 f /】中任意 gi(x).i =1,2,3,|1,t,h x f x1g1 x 一 f x 2g2 x HI f x i gi x5)次多項式，也就是 F中不等于零的數(shù)，整除任意多項式。6)每一個多項式f (x )都能被Cf (x )整除,這里c是F中任意一個不等于零的數(shù)。7)如果f(x)lg(x), g(x)lf(x ),那么f (x )=Cg(x ),這里C是F中的一個不等于 零的數(shù)設(shè)f(x), g(x)是兩個任意的多項式，并且g(x)

6、#0。那么f(x)可以寫成以下形式f (x )=g(x)q(x )+r(x),這里r(x)=0,或者r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)。定理2.2.1設(shè)f (X )和g (X )是f儀的任意兩個多項式，并且g(X)¥0。那么在fix中可以找到多項式q(x"Dr(x),使(3)f x)=g x q x r x這里或者r(x)=0,或者r(x)的次數(shù)小于 g(x)的次數(shù)，滿足以上條件的多項式q(x爐口r (x尸有一對。設(shè)數(shù)域F含有數(shù)域F而f(x)和g(x)是f x的兩個多項式，如果在fx里g(x)不能 整除f(x),那么在F R里g(x )也不能整除f(x)。1) 定義1假定h(

7、x)是f (x)和g(x)的任一公因式，那么由r- x)=r- x q。x ,鼠x , r x：rrk_i x qk x rk x , 心 x =r x qki x中的第一個等式，h(x)也一定能整除r1(x)o同理，由第二個等式，h(x)也一定能整除R(x)。如此逐步推下去，最后得出h(x)能整除k(x),這樣，k(x)的確是f(x)和g(x )的一個最大公因式，這種求最大公因式的方法叫做展轉(zhuǎn)相除法。定義 2 設(shè)以 g(x)=xa f (x) = anxn +anxn'+|" + 3乂 + 20 時，所得 的商 q(x ) = bnxn，+bn“xn"+|&quo

8、t; + 匕乂 + 及余式 r( )x ° c 比較 f(x)=g(x)q(x)+r(x)兩端同次哥的系數(shù)得bn=an, b=an,+abn，b0 = a1 + ab1 ,c0=a0+ab0 , 這種計算可以排成以下格式ananani111ala 0a+)abn.十20 2III +)ab+ ab 0bn4 =anbn_2bn_3 HI b ° c °用這種方法求商和余式(的系數(shù))稱為綜合除法。2.3多項式的最大公因式設(shè)F是一個數(shù)域。f【x】是F上一元多項式環(huán)定義1令設(shè)f(x獷Dg(x唐f氏的任意兩個多項式，若是fix的一個多項式h(x) 同時整除f(xg(x),

9、那么h(x)叫作f (x卉g(x)的一個公因式。定義2設(shè)d(x *多項式f(x)與g(x)的一個公因式。若是d(x)能被f ( x)與g(x) 的每一個公因式整除，那么d(x)叫彳f(x)與g(x )的一個最大公因式。定理2.3.1 f lx 的任意兩個多項式 f(x戶g(x )一定有最大公因式。除一個零次因 式外，f(x*g(x)的最大公因式是唯一確定的，這就說，若 d(x)是f(x)與g(x) 的一個最大公因式，那么數(shù)域 F的任何一個不為零的數(shù) c與d(x)的乘積cd(x)也是 f(xg(x)的一個最大公因式； 而且當(dāng)f(xg(x )不完全為零時，只有這樣的乘 積才是f(x步g(x)的最大

10、公因式。從數(shù)域F過度渡到數(shù)域 F時，f (x )與g (x )的最大公因式本質(zhì)上沒有改變。定理2.3.2若d(x)是f的多項式f (x)與g(x)的最大公因式，那么在fix里可以求得多項式u(x五口v(x),使以下等式成立：(2) f (x)u(x)+g(x )v(x 尸d(x)。注意：定理 2.3.2的逆命題不成立。例如，令 f (x )= x, g(x )=x+1 ,那么以下等式成 立：x(x +2 )+(x+1 x x-1 ) = 2x2 +2x1 但 2x2 +2x -1 顯然不是 f (x )與 g(x )的最 大公因。定義3如果f lx的兩個多項式除零次多項式外不在有其他的公因式，

11、我們就說，這 兩個多項式互素。定理2.3.3 fix】的兩個多項式f (x)與g(x)互素的充要條件是：在 fix】中可以求 得多項式u(x刑v(x ),使(4)fxux gxvx=1從這個定理我們可以推出關(guān)于互素多項式的以下重要事實：若多項式f (x)與g(x )都與多項式h(x )互素，那么乘積 f (x )g(x)也與h(x)互素。若多項式h(x)整除多項式f(x*g(x)的乘積，而h(x)與f (x)互素，那么h(x) 一定整除g ( x )。2) 若多項式g (x)與h(x )都整除多項式f (x ),而g(x )與h(x)互素，那么乘積 g ( X ) h x)也整除 f ( x

12、)最大公因式的定義可以推廣到n( n A 2 )個多項式的情形：若是多項式h(x)整除多多項式f1(x), f2(x),|, fn(x )中的每一個，那么h(x)叫作這n個多項式的一個公因式。若是fi(x), f2(x),|, fn(x)的公因式d(x)能被這n個多項式的每一個公因式整除，那么 d(x)叫作fi(x), f2(x ),|, fn(x)的一個最大公因式。若d0(x)是多項式f1(x), f2(x)J|, fn(x)的一個最大公因式，那么d0(x)是多項式fn (x )的最大公因式也是多項式fi(x), f2(x)J|, fn,(x)的最大公因式。若多項式f1(x), f2(x),

13、|,fn(x )除零次多項式外，沒有其他的公因式，就是說這一組多 項式互素。2.4 多項式的分解定義1 f a】的任何一個多項式 f (x),那么F的任何不為零的元素 C都是f(x)的因式，另一方面，c與f (x)的乘積cf (x也總是f(x)的因式。我們把f(x)這樣的因式 叫作它的平凡因式，定義2令f (x )是f x的一個次數(shù)大于零的多項式。若是 f (x )在f x只有平凡因式， f (x晚是在數(shù)域F上(或在f lx】中)不可約。若f (x賒平凡因式外，在f lx】中 還有其他因式，f(x )就說是在 F上(或在fix】中)可約。如果f k】的一個n (n>0)次多項式能夠分解成

14、f【x中兩個次數(shù)小于n的多項式g(x歸h(x )的乘積：1) )f (x 尸g(x )h(x),那么f (x )在F上可約。若是f (x心f【x】中的任一個形如(1)的分解式總含有一個零次因式，那么 f (x )在F上不可約。不可約多項式的一些重要性質(zhì)：1)如果多項式p(x汴可約，那么F中任一不為零的元素c與p(x )的乘積cp(x也不可約。2) 設(shè)p(X謾一個不可約多項式而f(X )是一個任意多項式，那么或者 p(X彩f(X)互素，或者p(x惟除f(X )。3)如果多項式f(X )與g(X )的乘積能被不可約多項式p(x )整除，那么至少有一個因式被整除。4)如果多項式fi(x ), f2(

15、x ),|H, fs(xXs>2 )的乘積能被不可約多項式p(x)整除，那么至少有一個因式被 p(x)整除。定理2.4.1 f IX的每一個n(n>0)次多項式f(X可以分解成f【X 的不可約多項式的乘積。定理2.4.2令f(X )是f lx】的一個次數(shù)大于零的多項式，并且f x )=pi x p2 x 1也 x)=qi x q2 x x此處c與qj(x)i=1,2, |",r,j =1,2,|,s)都是f Ixl的不可約多項式,那么r =s,并且適當(dāng)調(diào)換qj(x )的次序后可使qj (x)=G (x)p (x),i =1,2,|,r,此處G (x )是F上的不為零的元素

16、。換句話說，如果不計零次因式的差異，多項式f (x )分解成不可約因式乘積的分解式是唯一的。形如一k1k2 ,，.kt一f(x)=ap(x) p2(x) 111Pt(x)的多項式叫作多項 f (x)的典型分解式，每一個 典型分解式都是唯一確定的。2.5 重因式定義 f IX】的多項式f x =a0 alx a2x2anxn的導(dǎo)數(shù)或一階導(dǎo)數(shù)指的是f lx】的多項式f'(x) = a+2a2x+HI + nanxn4一階導(dǎo)數(shù)f'(x)的導(dǎo)數(shù)叫作f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f "(x ), f "(x )的導(dǎo)數(shù)叫作f(x)的 三階導(dǎo)數(shù)，記作f%x),等等。f(x)的k

17、階導(dǎo)數(shù)也記作f(x)。關(guān)于和與積的導(dǎo)數(shù)公式仍然成立：(1)f (x )+g(x )j= f (x j +g(x)f (x )g(x = f (x )g (x ) +g(x )f (x )一k7'kf(3)f (x )= kf (x ) f (x )定理2.5.1設(shè)p(x )是多項式f (x )的一個k(k21)重因式。那么 p(x)是f (x)的導(dǎo)數(shù)的 一個k-1重因式。定理2.5.2多項式f(x )沒有重因式的充要條件是f(x)與它的導(dǎo)數(shù)f'(x)互素。2.6 多項式函數(shù) 多項式的根設(shè)給定了 1WR的一個多項式f x =a° ax a2x2 IH anxn和一個數(shù)C

18、WR,那么在f(x)的表示式里，把 x用c來代替，就得到 R的一個數(shù)ao - aic - a2C2 III' ancn這個數(shù)叫作當(dāng)x=c時，f(x)的值，并且用f(c)來表示。對于 R上的每一個數(shù)c,就有R中唯一確定的數(shù) f (c用它對應(yīng)。就得到 R與R的一個影射。這個影射是由多項式 f (x ) 所確定的，叫作R上的一個多項式函數(shù)。定理2.6.1設(shè)f(x)WRlxlcWR,用xc除f (x )所得的余式等于當(dāng) x = c時f (x )的值f c定義 令f(x磔R【x】的一個多項式而 c是R中的一個數(shù)，若是當(dāng) x = c時f(x)的值f (c ) = 0,那么c叫作f(x近數(shù)環(huán)R中的一

19、個根。定理2.6.2數(shù)c是f (x)的根的充要條件是f(x)能被x-c整除。定理2.6.3設(shè)xc是R【x】中一個n之0次多項式。那么f (x械R中至多有n個不同的根。定理2.6.4設(shè)f (x跖g(x)是Rix】的兩個多項式，它們的次數(shù)都不大于no若是以R中n+1個或更多不同的數(shù)來代替 x時，每次所得f(x)與g(x)的值都相等，那么f (x尸g(x卜定理2.6.5 R lx 的兩個多項式f (x yWg (x )相等，當(dāng)且僅當(dāng)她們所定義的R上多項式函數(shù)相等。n*bi( x- a)iik x 占' -x +ain( x*af x =x i 1 a-ai 111 a i - a _li a

20、 -ra-iilll a-a-ni這個公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。2.7 復(fù)數(shù)和實數(shù)域上多項式定理2.7.1(代數(shù)基本定理)任彳sj n(n>0)次多項式在復(fù)數(shù)域中至少有一個根。定理2.7.2任彳Sjn(n0 )次多項式在復(fù)數(shù)域中有 n個根(按重根重數(shù)計算)。復(fù)數(shù)域C上任一 n(n:>0 )次多項式可以在 C 1x1里分解為一次因式的乘積。負(fù)數(shù)域上任一 次大于1的多項式都是可約的。定理2.7.6若實數(shù)多項式f(x 2一個非實的復(fù)數(shù)根 口，那么的共軻數(shù) &也是f(x)的根，并且支與肩有同一重數(shù)。換句話說，實系數(shù)多項式的非實的非實的復(fù)數(shù)根兩兩 成對。定理2.7

21、.4實數(shù)域上不可約多項式，除一次多項式外，只含非實共軻復(fù)數(shù)根的二次多項式。定理2.7.5每一個次數(shù)大于 0的實系數(shù)多項式都可以分解為實系數(shù)的一次和二次不可約因 式的乘積。2.8 有理數(shù)域上多項式令f (x )是整數(shù)環(huán)Z上的一個n(>0)次多項式。如果存在 g(x ),h(x產(chǎn)Z , (x),它們的次數(shù)都小于n,使得f (x )= g (x )h(x ),(1)那么f (x卜g(x )、h(x)自然可以看成有理數(shù)域 Q上的多項式。等式(1)表明，f(x )在Qx 1中是可約的。定義 若是一個整系數(shù)多項式f (x )的系數(shù)互素，那么 f (x )叫作一個原本多項式。引理2.8.1兩個原本多項

22、式的乘積仍然是一個原本多項式。定理2.8.1若是一個整系數(shù) n(>0)次多項式f(x )在有理數(shù)域上可約，那么f(x)總可以分解成次數(shù)都小于 n的兩個整系數(shù)多項式的乘積。定理2.8.2(艾森斯坦(Eisenstein)判別法)設(shè)f x )=ao ax a2x2 IH anxn是一個整系數(shù)多項式。若是能夠找到一個素數(shù)p,使得(i)最高次項系數(shù)an不能被p整除；(ii)其余各項都能被 p整除；(iii)常數(shù)項ao不能被p2整除，那么多項式f (x戶有理數(shù)域上不可約。有理數(shù)域上任意次的不可約多項式都存在。定理2.8.3設(shè)f(X)=%Xn +3,X1+111+4是一個整系數(shù)多項式。若是有理數(shù)u是

23、f(x)v的一個根，這里u和v是互素的整數(shù)，那么(i) v整除f (x )的最高次項系數(shù)ao,而u整除f (X )的常數(shù)項an ；(ii) f (x)=(x-u iq(x),這里q(x )是一個整系數(shù)多項式。 v2.9多元多項式在這一節(jié)里，R總表示一個數(shù)環(huán)，且 1W Rk1 k2 kn令xi,x2,x3,|,xn是n個文字，形如axi x2 III xn的表示式。其中a之RkiRj| kn是非負(fù)整數(shù)，叫作 R上xi,x2*l,xn的一個單項式。數(shù) a叫作這個單項式的系數(shù)，如果某一kik1 h "0 ki* i H knk1 i i i ki _1 ki+ i i i knK =o,那

24、么 x 可以不寫，約定 ax, III xx xi+|"xn = ax, IHx-xi+ |xn 。 因此，m(m <n )個文字的單項式總可以看成n個文字的單項式。特別，當(dāng) ki =k2 =k3 =IHkn =0時，我們有 axi°x0| x° = a w Ro形式表達(dá)式 aid；12 Hlx：1n+a2xik21xk22|xnk2n+11!+asxiks1xks2| xksna w R , kij 是 非負(fù)整數(shù)(i =1,2,3, |",s;j =1,2,|,n ),叫作R上n個文字為？2?3,川，小的一個多項式， 或簡稱R上一個n元多項式。我

25、們通常用符號f (xi,x2,|,xn ) , g(xi,x2,1|,xn )等來表示R上n個文字xi, x2, x31M ,x的多項式。定理2.9.1數(shù)環(huán)R上的兩個n元多項式f (。乂2,111劣)與g(x1,x2JH,xn )的乘積是首項等于這兩個多項式首項的乘積。特別，兩個非零多項式的乘積也不等于零。定理2.9.2 數(shù)環(huán)R上兩個不等于零的n元多項式的乘積的次數(shù)等于這兩個多項式次數(shù)的和。定理2.9.3設(shè)f (x1,x2J|, xn )是數(shù)環(huán)R上的一個n元多項式，如果對于任意(Cl,C2,|Cn . Rn 都有 f (Ci,C2,|)|Cn )=0,那么 f (Xi,X2,|,Xn )=0推

26、論2.9.1設(shè)f (Xi, X2,"|,Xn )與g(Xi,X2,|,Xn )是數(shù)環(huán)R上n元多項式，如果對于任意(G,C2,|cn 產(chǎn) Rn 都 有 f(G,c u,|cn)=g(c c Hicn2,那 么 f(Xi，x U，|xnh=g(c c 1|cn2 換句話說.，如果由 f (Xi，X2，|,Xn)與 g(xi,x2,|,xn)確定的多項式函數(shù) f與g相等，那么這兩個多項式相等。2.I0對稱多項式定義I 設(shè)f(Xi, X2|,Xn )是數(shù)環(huán) R上的一個 n元多項式，如果對于這n個文字x1，x2,X3JII,xn 的指標(biāo)集i,2|,n施行任意一個置換后，f (xi,x2,|,x

27、n )都不改變，那么就稱 f (為，乂2，|,乂口)是R上一個n元對稱多項式。定義2(i)二n=X1X2 川xnXiX2 HlxnXnIII X2X3|l|xn, rn=XiX2MXn,這里。k 表示Xi, X2,X31|, Xn中k個所作的一切可能乘積的和，這樣的n個多項式顯然都是n元對稱多項式。我們稱這n個多項式 叫,。2MLe為n元對等對稱多項 式。引理2.10.i設(shè)f (%?2, |"xn )=z a叼也xiM lllxn1是數(shù)環(huán)R上一個n元對稱多項式,以叼代替為，i <i <n ,得到關(guān)于i,2,IH,an的一個多項式 fBifJIQn 尸工 aiMwEGlgn

28、n。如果 f (仃i產(chǎn)2,111 0 n )=0,那么 一切系數(shù) aw = 0 ,即 f (Xi，X2，|,xn )=0定理2.i0.i數(shù)環(huán)R上一 n元對稱多項式f (XhXjILxn )都可以表示成初等對稱多項式<Ti,<l2jM,On的系數(shù)在R中的多項式，并且這種表示法是唯一的。推論2.i0.i設(shè)f(X )是數(shù)域F上的一個一元n次多項式，它的最高次項系數(shù)是io令%產(chǎn)2,III尸n是f(X )是復(fù)數(shù)域內(nèi)的全部根(按重根重數(shù)計算)。那么仃i,仃2,111仃n的每一個系數(shù)取自F的對稱多項式都是f(x)的系數(shù)的多項式（它的系數(shù)在F內(nèi)）因而是F的一個數(shù)。第三章行列式3.2 排列定義1 n

29、個數(shù)碼1, 2,，n的一個排列指的是由這 n個數(shù)碼組成的一個有序組，叫做數(shù)碼 的排列。定義2 一般的在一個排列里，如果某一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼前面，就說這兩 個數(shù)碼構(gòu)成一個反序，在一個排列里出現(xiàn)的反序總數(shù)的總和叫做這個排列的反 序數(shù)（逆序數(shù)）。一個排列的逆序數(shù)可能是偶數(shù)也可能是奇數(shù)，有偶數(shù)個逆序數(shù)的排列叫作一個偶排列；有奇數(shù)個逆序數(shù)的排列叫作一個奇排列。定義3如果把這個排列里任意兩個數(shù)碼 i與j交換一下，而其余的數(shù)碼保持不動， 那么就得到一個新的排列，對于排列所施行的這樣一個變換叫作一個對換，并且用符號定理3.2.1設(shè)iklllin和jij21H jn是n個數(shù)碼的任意兩個排列，那么總

30、可以通過一系列對換由 iiizHHn 得出 jjlll jn。定理3.2.2每一個對換都改變排列的奇偶性。n *定理3.2.3 n至2時，n個數(shù)碼的奇排列與偶排列的個數(shù)相等，各為一個。23.3 n階行列式n項的代數(shù)和，這些項是一切可能取自我們用符號jzl" jn ）來表示排列jl jzIM jn的逆序數(shù)。的不同的行與不同的列上的n個元素的乘積。項即1a2j/ll anjn的符號為定義1用符號a11毛川Wna21a22IIIa2n，qan1an 2川 ann表示的n階行列式指的是a11知IIIa1 na21+a22-iIIIa2 n*an1-1an2HI*ann（一1）q1j2&quo

31、t;jn ）,也就是說，當(dāng)j/zlll jn是偶排列時，這一項的符號為正，當(dāng)jjllljn是奇排列時，這一項的符號為負(fù)。定義2 n階行列式aiial21"a2ifa22+IIIanian2IIIain如果把D的行變?yōu)榱?，就得到一個新的行列式D'： =aia2iIIIaai2*a221dIIIa.raina2nIIIan1n2nnD'叫作D的轉(zhuǎn)置行列式。引理3.3.1從n階行列式的第il2,|,in行和ji, j2,IH, jn列取出的元素作積aii 舊2 j21M ain jn，這里 iijIM/n 和 ji, j2,IM, jn 都是 1, 2,，n 這 n 個數(shù)碼

32、那么這項在行列式中的符號是（-i，S="iii2lHin）,t="jij2Hljn）命題3.3.i行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。命題3.3.2交換一個行列式的兩行（或兩列），行列式改變符號。推論3.3.i如果一個行列式有兩行（列）完全相同，那么這個行列式等于零。命題3.3.3把一個行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一個數(shù)k,等于以數(shù)k乘以這個行列式。推論3.3.2 一個行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符號外邊。推論3.3.3如果一個行列式中有一行（列）的元素全是零，那么這個行列式等于零。推論3.3.4如果一個行列式有兩行（列）的對應(yīng)元素成比例，那么這個

33、行列式等于零。aii命題3.3.4 設(shè)行列式D的第i行的所有元素都可以表示成兩項的和：HIainD=bii+Ciibi2+Ci2 HI binaniIHann那么D等于兩個行列式Di與D2的和，其中Di的第i行的元素是bii,bi2,IHbin，D2的第i行元素是Cii,Ci2,IH,Cn，而Di與D2的其他各行都和D的一樣。命題3.3.5把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上, 行列式不變。3.4 子式和代數(shù)余子式行列式的依行列展開定義1在一個n階行列式D中任意取定 成的k階行列式叫作行列式k行和k歹U。位于這些行列式的相交處的元素所構(gòu)D的一個k階子式。定義2

34、n(n>1)階行列式aiiaij川ain* RF+rih* RFD =aiiaij川ainF+F*RanianjIIIann的某一元素aj的余子式Mj指的是在D中劃去aj所在的行和列后所余下的n-i階子式。i j定義3 n階行列式D的兀素aj的余子式Mj附以符號(-i)后，叫作元素苗的代數(shù)余子式。元素aj的代數(shù)余子式用符號 Aj來表示：Aj =(-1rMi書。定理3.4.i若在一個n階行列式aiiIHaijHIain4+f+4,D =aiiHIaijIIIain+aniIHanjIHann中，第i行(或第j歹U)的元素除aj都是零，那么這個行列式等于 向與它的代數(shù)余子式 Aj的乘積：D

35、= aj Aij定理3.4.2行列式D等于它任意一行(列)的所有元素與它們對應(yīng)代數(shù)余子式的乘積的和。 換句話說，行列式有依行或依列展開式D =aiAi2A2 *lll*ainAn (i =i,2,|,n)D =ajiAjiaj2Aj2 UI ajn Ajn j =i,2,HI,n定理3.4.3行列式aiiai2川+aiiai2IHD=：ainainajnan2IHannajiaj2IM的某一行（或列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于 零。換句話說，ailAl + a2 A2 十111 十 ain An = 0( i ¥ j ),a1sAta2sA2IH ans

36、Ant =0 s = t3.5克拉默法則設(shè)給定了一個含有 n個未知量n個方程的線性方程組aiiX- ai2X2 - HI - ainXnbla2iXia22X2 - III - a2nXn = Ib2anlXian2X2 - III - annXn 也利用（1 ）的系數(shù)可以構(gòu)成一個 n階行列式a2ianiaiiai2aina22a2 nI+i甲an2 HIann這個行列式叫作方程組 （1 ）的行列式。定理3.5.1（克拉默Cramer）法則）一個含有n個未知量的n個方程的線性方程組（1 ）當(dāng)它的行列式D#0時，有且僅有一個解 =2P2=絲川|,%=旦，此處的 D DDDj是把行列式的第j列的元

37、素?fù)Q以方程組的常數(shù)項b1,bJM,bn而得到的n階行列式。第四章線性方程組4.1 消元法定義我們對線性方程組施行這三個初等變換：（i）交換兩個方程的位置；（ii）用一個不等于零的數(shù)乘以某個方程；（iii）用一個數(shù)乘以某個方程后加到另一個方程； 叫作線性方程組的初等變換。定理4.1.1初等變換把一個線性方程組變?yōu)榕c它同解的線性方程組。定義1由St個數(shù)Gj排成的一個s行和t列的表Ciic12c21c22IHIIIclnc2ncniCn2IHcnn叫作一個S行t列（或st）矩陣。Cj叫作這個矩陣的元素。定義2 矩陣的行（或列）初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換:（i）交換矩陣的兩行（或列）（ii

38、）用一個不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列），即用一個不等于零的數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個元素；（iii）用某一個數(shù)乘以矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘以矩陣的某一行（列）的每一個元素后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上。定理4.1.2 設(shè)A是一個m行n列的矩陣：通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式:<0IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII公1a12IIIan "A =a21*fa22+*IIIa2n*回dm2IIIamn /進(jìn)而化為以下形式:<0IIIIIIIIIIIIIIIG,r 1c2,r 1cr,r 10這里r

39、 >0,r <m,r <n,*表示矩陣的元素,IIIIIIIIIIIIIIIc1nc2ncrn0但不同的位置上*的表示的元素未必相同。4.2 矩陣的秩線性方程組可解的判別法定義1在一個s行t列的矩陣中，任意取 k行k列（kMs,k Mt）。位于這些行列式的交點處的元素（不改變元素的相對位置）所構(gòu)成的 k階行列式叫作這個矩陣的一個 k階子式。定義2 一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫作這個矩陣的秩。若一個矩陣沒有不等于領(lǐng)的子式，就認(rèn)為這個矩陣的秩是；零。定理4.2.1初等變換不改變矩鎮(zhèn)的秩。定理4.2.2 （線性方程組可解的判別法）線性方程組（1 ）有解的充要條件是：它的系數(shù)

40、矩陣和增廣矩陣有相同的秩。定理4.2.3設(shè)線性方程組（1 ）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩r,那么r等于方程組所含有未知量的個數(shù) n時，方程組有唯一解；當(dāng) r<n時，方程組有無窮多個解。4.3 線性方程組的公解定理4.3.1設(shè)方程組（1）有解，它的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣 A共同秩是r#0。那么可以在（1 ）的m個方程中選出r個方程，使得剩下的 m - r個方程中的每一個都是這r個方程的結(jié)果，因而解方程組（1）可以歸結(jié)為解這r個方程所組成的線性方程組。定義3若是一個線性方程組的常數(shù)項等于零，那么這個方程組叫作一個齊次線性方程組。定理4.3.2 一個齊次線性方程組有非零解的充要條件是：它的系數(shù)

41、矩陣的秩r小于它的未知量的個數(shù)n。推論4.3.1含有n個未知量的n個方程的齊次線性方程組有非零解的充要條件是：方程組 的系數(shù)行列式等于零。4.3.2若在一個齊次線性方程組中，方程的個數(shù)m小于未知量的個數(shù) n,那么這個方程組一定有非零解。4.4結(jié)式和判別式定理4.4.1如果多項式f （x ） = a0xm +a1xm4 +lli + am（mA0）,g x ）:=boxn b1xn4 HI bn n 0有公共根，或者a。=bo =0 ,那么它們的結(jié)式等于零。定理4.4.2 設(shè)f x =a0xm a1xm4 III am m 0g xifxn nx" JU bn n 0是復(fù)數(shù)域C上多項式

42、。R( f ,g )是它們的結(jié)式。(i )如果a°#0 , 而ai,a2|,o(m w C是 f(x)的全部根，那么R f,g=an°g： 1g ：-2 Illg二 m ；1(") 如果bo#0 ,而Pi邛2,|l|,PnWC是g(X)的全部根，那么R(f，g) = (1)nmb0mf(Pl)f(P2yilf(Pn )(2)定理4.4.3如果多項式f(x百g(x)的結(jié)式等于零，那么或者它們的最高次項系數(shù)都等于零，或者這兩個多項式有公共根。第五章矩陣5.1矩陣的運算定義 令F是一個數(shù)域。用F的元素a。作成的一個 m 行n歹U的矩陣,01 a i2 III an 1c

43、 a21a 22 I" a n 2 Dam1 am2 111 amn J叫作一個F上的矩陣。A也簡記作(aij ),為了指明A的行數(shù)和列數(shù)，有時也把它記作 AmnK amn。定義1 數(shù)域F上的一個mn矩陣A =aj的乘積aA指的是m n矩陣(aaj )。求數(shù)與矩陣 的乘積的運算叫作數(shù)與矩陣的乘法。定義2 兩個mn矩陣A=aj , B =琢的和a+b指的是m父n矩B$ (aj +bij )。求兩個矩陣的和的運算叫作矩陣的加法。注意：我們只能把行數(shù)相同， 列數(shù)相同的兩個矩陣相加。以上兩種運算的一個重要的特例是數(shù)列的運算我們把由F的n個數(shù)所組成的數(shù)列a1,a2,lll,an叫作F上的一個n

44、元數(shù)列。這樣的一個n元a2a1素列可以理解為一個一行 n列矩陣(a1,a2,IH,an ),也可以理解為一個 n行一列矩陣這樣，作為以上定義的矩陣運算的特例，就得到F的數(shù)與n元數(shù)列的乘法以及兩個n元數(shù)列的加法：a(a,a2,|"an )=(aa,aa2,|,aan bai,a2, |l,anbib川|,bn =詡包山冏 bibIH ,bn由定義1和定義2,得出以下運算規(guī)律：A+B=B+A;(A+B)+C=A+(B+C);0+A=A;A+(-)A=0a(A+B)= aA+Bb ;(a+b)A= aA+Ab;A(Ba)=(ab)A;這里A, B,和C表示任意 m Mn矩陣，而a和b表示F

45、中的任意數(shù)。利用負(fù)矩陣我們定義矩陣的減法：A-B=A+ (-B), 于是有A+B=C= A=CB。定義3 數(shù)域F上m X n的矩陣A =( aj)與n x p矩B$ B = (bj)的乘積AB指的是這樣的一個mxn矩陣，這個矩陣的第i行和第列(i =1,2, |H,m,j =1,2,|1, p)的元素5等于A 的第i行的元素與 B的第j列的對應(yīng)元素的乘積的和：g j= a i b j a2i b用 + a i b n j這個乘法可以圖示如下：a 曾 a i 2 III a inanai2卜卜卜ain矩陣乘法滿足結(jié)合律：(AB) C=A (BC)定義 我們把主對角線(從左上腳到右下腳的對角線)上

46、元素都是 1,而其他元素都是 0的 n階方陣1 0 川 0、0 10+b4* r1<0 0 III 1叫作n階單位矩陣，記作In ,有時簡記作I。I有以下性質(zhì):I n Anp = Anp , AmnI n = Amn矩陣的乘法和加法滿足分配律:A(B+C) =AB+AC , (B+C)A=BA + CA。矩陣的乘法和數(shù)與矩陣的乘法顯然滿足以下運算規(guī)律:a(AB) =(aA)B = A(aB 卜定義4 設(shè)m黑n矩陣aiiai2a2ia22IIIIIIaina2nIII把A的行變?yōu)榱兴玫降腡 TAT=A,同1a12IIIam1 ”Taa21a22IIIam2A =r七中<aina2n

47、IIIamn Jm父n矩陣amiam2amn J叫作矩陣A的轉(zhuǎn)置。 矩陣的轉(zhuǎn)置滿足以下規(guī)律：(A+B j =AT +Bt,(AB)(aA廣=Bt At,=aAT.5.2可逆矩陣矩陣乘積的行列式n階矩陣B,使得B叫作A的逆矩陣。定義令A(yù)是數(shù)域 F上的一個 n階矩陣，若是存在 F上的一個AB = BA = I ,那么叫作一個可逆矩陣（或非奇異矩陣），而定義我們把以下三種矩陣叫作初等矩陣：1Pj0 HI 1第i行1；+4ri+ 卜 11 HI 0第j行1fa41J第i列1、+Iq1D"k）=k第 i行（k*0）;1<1J1k41Di （k 產(chǎn)k第i行（k # 0 ）;1第i列第j列1 h q1 III k 第i行jk上工：1hq初等矩陣都是可逆的，并且它們的逆矩仍然是初等矩陣。引理5.2.i設(shè)對矩陣A施行一個初等變換后，得到矩陣A,那么A可逆的充要條件是 A可逆。定理5.2.i 一個m m n矩陣A總可以通過初等變換化為以下形式的一個矩陣:Ir O,n、Om,rOm_r,n_r 這里I r是r的單位矩陣，Ost表示sMt的零矩陣，r等于A的秩。當(dāng)A等于單位矩陣I時，A可逆。因為I本身就是I的