線性代數(shù)期末復(fù)習(xí)超全學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共553頁。推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零則此行列式為零.性質(zhì)性質(zhì)5 5若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和之和. .性質(zhì)性質(zhì)把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列同一數(shù)然后加到另一列(行行)對應(yīng)的元素上去，行列對應(yīng)的元素上去，行列式不變式不變計算行列式常用方法：利用運算把行列計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值值jikrr 第1頁/共552頁第二頁，共55

2、3頁。定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)對應(yīng)(duyng)(duyng)的代數(shù)余子式乘積之和，即的代數(shù)余子式乘積之和，即11221=,niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開(zhn ki)法則法則(Laplace 定理定理) ni, 2 , 1 性質(zhì)性質(zhì) 奇數(shù)階反對稱行列式等于零奇數(shù)階反對稱行列式等于零性質(zhì)性質(zhì) 范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)特點和結(jié)果范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)特點和結(jié)果第2頁/共552頁第三頁，共553頁。證明證明, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022

3、并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設(shè)方陣設(shè)方陣EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A1 A11.2AAE且 .,1 ABEBAEAB則則或或若若矩陣矩陣(j zhn)的逆的逆第3頁/共552頁第四頁，共553頁。)0( ,11時AAAEAAA)0( ,111時AAAAAAAnn)0( ,)()(111時AAAAAA性質(zhì)性質(zhì)(xngzh),EAAAAA.1AAA 112111222212nnijijnnnnAAAAAAAAaAAA其中，是對應(yīng)的代數(shù)余子式第4頁/共552頁第五頁，共553頁。，得得初初等等方方陣陣兩兩行行，即即中中第第對對調(diào)調(diào))(,jirrjiE對

4、調(diào)兩行或兩列、)1( 1101111011),(jiEi第 行j第行第5頁/共552頁第六頁，共553頁。 0)2(乘某行或某列、以數(shù)k).()(0 kiEkriki矩陣矩陣，得初等，得初等行行乘單位矩陣的第乘單位矩陣的第以數(shù)以數(shù) 1111)(kkiE行行第第 i第6頁/共552頁第七頁，共553頁。上去列加到另一行列乘某行、以數(shù))()(0)3(k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(,(kkjiE行行第第i行行第第j第7頁/共552頁第八頁，共553頁。 定理定理 設(shè)設(shè) 是一個是一個

5、矩陣，對矩陣，對 施行一施行一次初等行變換，相當(dāng)于在次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于施行一次初等列變換，相當(dāng)于在在 的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣階初等矩陣. .nm mnAAAAA第8頁/共552頁第九頁，共553頁。 ijrr變 換的 逆 變 換 是 其 本 身 ，1iirkrk變換的逆變換為()ijijrkrrk r 變換的逆變換為，1( ,)( ,) E i jE i j11( ( )( ( );E i kE ik1(, ( )(, () .E i j kE i jk性質(zhì)(xngzh)：第9

6、頁/共552頁第十頁，共553頁。()AE性質(zhì)：經(jīng)過(jnggu)同樣的行初等變換，,AE1EA同時，從而(cng r)，12,lP PP經(jīng)變換1()EA用矩陣乘法表示21()lPP P AE2121()llPP PAPP PE1()EA求矩陣逆的方法11112112()llAPP PP PP同時，求矩陣的初等分解方法第10頁/共552頁第十一頁，共553頁。(2) ( )( )r Ar An 有無窮多解，定理(dngl)線性方程組有解 ( )r Ar A，且(1) ( )( )r Ar An，即列滿秩有唯一解；自由(zyu)未知量個數(shù)為n r0,b 時( )r An唯一零解( )r An 無

7、窮多解，非零解0Ax即齊次線性方程組第11頁/共552頁第十二頁，共553頁。A若 為方陣，推論(tuln) 若,m nAmn，且0Ax 則一定有非零解；有唯一的解bAxA 00Ax 有唯一的零解00AAx 有無窮多解，或有非零解推論(tuln) 若,m nAAm，且秩( )=Axb則一定有無窮多解第12頁/共552頁第十三頁，共553頁。12121122:, 0mmmmA 給定向量組如果存在不全為零的實數(shù),使定義定義(dngy(dngy)則稱向量組則稱向量組 是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)A(1)只有只有(zhyu) 時時, （1）式成立）式成立120m線性無關(guān)

8、的等價說法：線性無關(guān)的等價說法：或者（1）式成立時，必有）式成立時，必有120m123410010 ,1 ,0 ,20011 例如，第13頁/共552頁第十四頁，共553頁。例 含有(hn yu)零向量的向量組必線性相關(guān).性質(zhì)(xngzh) 若向量組的一個部分組線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)性質(zhì) 若向量組線性無關(guān)，則其任意部分組也線性無關(guān)例 一個零向量形成的向量組是線性相關(guān)的，一個非零向量 是線性無關(guān)的.0a第14頁/共552頁第十五頁，共553頁。根據(jù)定義，列出齊次線性方程組，由解的情況進行(jnxng)判斷: 有唯一(wi y)零解 線性無關(guān)； 有非零解 線性相關(guān)；n12,s 推論 n個

9、 維向量12,n 線性相關(guān)0A線性無關(guān)0A推論 1n 個 維向量n必線性相關(guān)推論 設(shè)n 維向量組，若12,s ,sn則 線性相關(guān)第15頁/共552頁第十六頁，共553頁。121 :,:,.nnABbbA 設(shè)向量組線性無關(guān) 而向量組線性相關(guān) 則向量 必能由向量組線性表示 且表示式定是唯一的理第16頁/共552頁第十七頁，共553頁。1212,(1),(2)miiira aaaaa定義給定向量組 如果它的一個部分組滿足如下條件(tiojin)： （I）向量組（2）線性無關(guān)； （II）向量組（1）中每個向量都可由向量組（2）線性表示. (即再添加任何一個向量都線性相關(guān))則稱向量組（2）為（1）的一個

10、(y )極大線性無關(guān)組.定義定義 一個向量組中，它的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩.推論推論 兩個等價的向量組有相同的秩.第17頁/共552頁第十八頁，共553頁。向量(xingling)組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系：nTmTTmnmmnnnmaaaaaaaaaA2121212222111211定義定義(dngy) 矩陣矩陣 的行向量組的秩稱為的行向量組的秩稱為 的行的行秩；秩； 的列向量組的秩稱為的列向量組的秩稱為 的列秩的列秩.AAAA向量組的秩與矩陣的秩互相轉(zhuǎn)化向量組與矩陣互相轉(zhuǎn)化第18頁/共552頁第十九頁，共553頁。上述(shngsh)定理還提供了求向量組的秩的方法：（1）將所

11、給向量組中的各個(gg)向量作為矩陣的行向量（或列向量）得到矩陣 ；（2）將矩陣 施行初等變換化為如（7）形式的的矩陣.A（3）觀察（7）知 ，則 即為所求向量組的秩.)(AR)(AR性質(zhì) 初等行（列）變換不改變矩陣的行秩，列秩以及矩陣的秩A第19頁/共552頁第二十頁，共553頁。定理定理(dngl) 矩陣矩陣 經(jīng)初等行變換得矩陣經(jīng)初等行變換得矩陣 ，則，則 與與 的行向量組等價的行向量組等價, 且且 與與 的列向量組具有的列向量組具有相同的線性相關(guān)性相同的線性相關(guān)性.AAABBB21100170323303011110103300110001100000000000A所以(suy)2153

12、21431313132線性組合系數(shù)也相同的矩陣的初等變換：線性表示，線性相關(guān)性，求矩陣、向量組的秩，求極大無關(guān)組，求線性表示系數(shù)，求線性方程組的解等等第20頁/共552頁第二十一頁，共553頁。(2) ()( )( )R ABR AR B(3),()( )P QR PAQR A若可逆，則推論推論(tuln)3 給定給定AmsBsn為矩陣， 為矩陣,則(1) ()min ( )( )R ABR AR B，第21頁/共552頁第二十二頁，共553頁。定義 為一個向量空間(kngjin)，向量 滿足Vr,21r,21（1） 線性無關(guān)(wgun)； （2） 中任意一個向量都可由向量組Vr,21線性表出

13、.則向量組 稱為向量空間 的一個基，r,21V 稱為向量空間 的維數(shù)，也稱 為 維向量空間.rVVrdim Vr記 為基的實質(zhì)：向量組 的一個極大無關(guān)組V第22頁/共552頁第二十三頁，共553頁。012AxS若有解，設(shè)解集合為 ，由性質(zhì) ，可得121212.SSSkRkS、若 ，則；、若，則.SS集合 對向量的加法和數(shù)乘兩種運算是封閉的，構(gòu)成一個向量空間，稱為齊次線性方程組的解空間如何求解空間的維數(shù)和一組基？ :0Sx Ax第23頁/共552頁第二十四頁，共553頁。,100,010,00121 nrrxxxArArA設(shè) 的秩為 ，并不妨設(shè) 的前 個列向量線性無關(guān)，于是 的行最簡階梯形為11

14、11100100000000n rrrn rbbbbB， 111112211211,2,rn rnrn rnrrrrn rnxb xbxxb xbxxb xbx ,21222121211121 rrnrnrnrrrbbbbbbbbbxxx第24頁/共552頁第二十五頁，共553頁。1 122rrnn r 12n rS， ， ，就是解空間 的一個基11121121222121221100010001n rn rrrrrn rrrrrnbbbbbbbbb或者稱為齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系第25頁/共552頁第二十六頁，共553頁。0nAx 元齊次線性方程組定理的解空間： 0R AnAx當(dāng)時，方程組有

15、唯一零解， 0R ArnAx當(dāng)時，方程組有無數(shù)多個解，此時，方程組的任一解可以表示為1 122,n rn rxkkk12,.n rk kk，任意實數(shù)通解(tngji)的向量表示形式0S解空間 為 維向量空間，無基礎(chǔ)解系；12n rn r基礎(chǔ)解系含有個向量 ， ，Snr即解空間 的維數(shù)為第26頁/共552頁第二十七頁，共553頁。.上面的證明過程提供求方程組基礎(chǔ)解系的方法1234123412342430,35640,.45230.xxxxxxxxxxxx例 求齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系和通解A解將 通過初等行變換化為行最簡階梯形， 000056107801325446533421A . 056,

16、 078432431xxxxxx1343423487,.65xxxx xxxx 為自由未知量令令3410,01xx ， 57,6821xx第27頁/共552頁第二十八頁，共553頁。從從而而得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為128765,1001，dim( )2S 故方程組的通解向量形式為1 12212,.xkkk k，為任意實數(shù)第28頁/共552頁第二十九頁，共553頁。0,可以表示成00AxbAx其中 為的一個特解， 為的一個解Axb的任意解nAxb元齊次線性方程組定理的解： R AR ArnAxb當(dāng)時，有無數(shù)多個解，方程組的全部解為：01 122,n rn rxkkk12,.n rk kkR，通解

17、的向量(xingling)形式120n rAx若 ， ， ，為的一個基礎(chǔ)解系0Axb是的一個特解，則第29頁/共552頁第三十頁，共553頁。1234123412342431,35640,.45235.xxxxxxxxxxxx例 求 的所有解A解 將 通過初等行變換化為行最簡階梯形1243 11087535640016534523500000A，的的方方程程組組即即得得到到與與原原方方程程組組同同解解134234875,653.xxxxxx.653xxxx xxxx 自由未知量3400( 5,3,0,0)xx 令得一特解：第30頁/共552頁第三十一頁，共553頁。令

18、令3410,01xx ，1287,65xx得從從而而得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系為為128765,1001，13423487,65xxxxxx 又導(dǎo)出組的一般解為于是所求方程組的全部解為：0112212,kkk kR，第31頁/共552頁第三十二頁，共553頁。(1) 寫出系數(shù)矩陣(j zhn)及其增廣矩陣(j zhn)；求解(qi ji)過程：(2) 初等行變換化增廣矩陣為簡化的階梯型矩陣(4)寫出對應(yīng)的齊次導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系;(3)寫出原來的非齊次組的一個特解；(5)寫出原來的非齊次組的一個通解。第32頁/共552頁第三十三頁，共553頁。第五章 特征值特征向量矩陣(j zhn)特征值，特征向量的定

19、義及實質(zhì)矩陣(j zhn)相似的定義及相關(guān)性質(zhì)相似對角化的條件，實對稱矩陣特征值、特征向量的性質(zhì)(3條)特征值，特征向量的具體求法實對稱矩陣的正交相似對角化特征值的性質(zhì)，與行列式、跡之間的關(guān)系第33頁/共552頁第三十四頁，共553頁。第六章 二次型二次型定義(dngy)，其與矩陣元素之間的關(guān)系矩陣的合同(h tong)關(guān)系，二次型的標準型，規(guī)范型復(fù)、實對稱矩陣的合同（對角化）條件，正定矩陣的性質(zhì)與判定定理：四條第34頁/共552頁第三十五頁，共553頁。OOOEr22212,rfzzz定理定理(dngl) 復(fù)數(shù)域上任意一個二次型都可復(fù)數(shù)域上任意一個二次型都可以經(jīng)可逆線性替換轉(zhuǎn)化成唯一的規(guī)范形

20、，即以經(jīng)可逆線性替換轉(zhuǎn)化成唯一的規(guī)范形，即定理定理 任意一個任意一個(y )復(fù)對稱矩陣都合同于一個復(fù)對稱矩陣都合同于一個(y )形式為形式為是原矩陣的秩。的對角矩陣，其中 r亦即推論推論 復(fù)對稱矩陣彼此合同的充要條件是它們的秩相同第35頁/共552頁第三十六頁，共553頁。prp定理定理 實數(shù)域上任意一個實數(shù)域上任意一個(y )二次型都可經(jīng)可二次型都可經(jīng)可逆替換轉(zhuǎn)化成唯一的規(guī)范形。逆替換轉(zhuǎn)化成唯一的規(guī)范形。定義定義 二次型的規(guī)范形中，正平方項的個數(shù)二次型的規(guī)范形中，正平方項的個數(shù) 稱之為二次型稱之為二次型的正慣性的正慣性(gunxng)指數(shù)；負平方項的個數(shù)指數(shù)；負平方項的個數(shù) 稱之為二稱之為二

21、次型的負慣性次型的負慣性(gunxng)指數(shù)，他們的差指數(shù)，他們的差 稱之為符號差稱之為符號差rpprp2)(當(dāng)然，正負慣性指數(shù)之和等于矩陣的秩或者二次型的秩。rp由秩 合正項個數(shù) 唯一決定推論推論 實對稱矩陣彼此合同等價于它們的正負慣性指數(shù)是相同的第36頁/共552頁第三十七頁，共553頁。利用向量空間(kngjin) 的思想120()sABB 1.若出現(xiàn)，則12,0sAx 將轉(zhuǎn)化成的解 :0 x Ax *AAAA AA E2.條件中有 出現(xiàn)，考慮( )0)(_)f AAbEAbEE3.條件，求證(a可逆，則分解出(a的形式4. 條件要求確定參數(shù)的取值，考慮(kol)是否有某行列式為零等等反

22、之，向量組的求秩等運算也經(jīng)常轉(zhuǎn)化為矩陣之間的乘積運算第37頁/共552頁第三十八頁，共553頁。6.線性相關(guān)、線性無關(guān)的證明，多利用定義7.正定矩陣有關(guān)的證明，通常也是定義預(yù)先處理一下定義向量，則用若已知特征值或者特征A. 58.,ABBAABE涉及到的問題，考慮 即逆矩陣的定義第38頁/共552頁第三十九頁，共553頁。例例1.1.設(shè)設(shè)(),(),ijm nijn tAaBb且且滿足滿足,ABO 證明：證明：()( ).r Ar Bn分析分析(fnx(fnx)：如果將矩陣如果將矩陣B看作列向量組，看作列向量組，即即12(,),tBB BB 那么那么(n me)它它的每一列的每一列都是線性方程

23、組都是線性方程組AxO 的解的解. 則則12( )(,)().tr Br B BBnr A第39頁/共552頁第四十頁，共553頁。證：證：將矩陣將矩陣B按列分塊按列分塊12(,),tn tBB BB 由由ABO 可知可知12(,)tABA B BB 12(,)tABABABO由此得到由此得到(1,2, ),iABO itiBAxO 是是方方程程的的解解, ,AxO 而而的的基礎(chǔ)解系含有基礎(chǔ)解系含有 個向量，所以個向量，所以()nr A ( )(),r Bnr A即即()( ).r Ar Bn第40頁/共552頁第四十一頁，共553頁。例例2.2.2,nAAA若若 階階方方陣陣 滿滿足足證證明

24、明: :()().r Ar AEn分析分析(fnx(fnx)：利用利用(lyng)例例1的的結(jié)果：結(jié)果：2().AAA AEO由由得得 ()(),r Ar AEn再利用再利用(lyng)()()( ).r ABr Ar B證：證：22().AAAAOA AEO()().r Ar AEn因因此此有有第41頁/共552頁第四十二頁，共553頁。又因為又因為(),AEAE所以所以(suy)有：有：()()nr Er AEA()()r Ar EA即即()().r Ar AEn綜上所述，綜上所述，()().r Ar AEn 第42頁/共552頁第四十三頁，共553頁。Ch1. 行列式行列式1. 排列排列

25、(pili)的逆序數(shù)的逆序數(shù) D=DT(23574)22. n階行列式的定義階行列式的定義(dngy)、余子式、代數(shù)余子式、余子式、代數(shù)余子式3. 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh) 初等變換的三種變換對行列式值的影響初等變換的三種變換對行列式值的影響 行列式等于行列式等于0 0的判斷條件的判斷條件 行列式的加法行列式的加法第43頁/共552頁第四十四頁，共553頁。123123|,|,| 1223|,| 例例 設(shè)二維列向量設(shè)二維列向量(xingling)121212,(2,),A 12(,)B ，已知，已知|A|=6，求解，求解(qi ji)|B|？ 展開展開(zhn ki)(zhn k

26、i)定理定理 inknikikAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（當(dāng)，（當(dāng)）（當(dāng)（當(dāng)jljlD0 ,第44頁/共552頁第四十五頁，共553頁。4. 求解求解(qi ji)行列式行列式1112nnaaa 特殊特殊(tsh)行列式行列式11121222000nnnnaaaaaa112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa n 21 .12121nnn 范德蒙行列式范德蒙行列式第45頁/共552頁第四十六頁，共553頁。 化三角形法（從上到下，從左到右）化三角形法（從上到下，從左到右） 爪型行列式爪型行列式

27、展開展開(zhn ki)定理（針對含定理（針對含0較多的行列式）較多的行列式） 遞推法、數(shù)學(xué)遞推法、數(shù)學(xué)(shxu)歸納法歸納法第46頁/共552頁第四十七頁，共553頁。10220310020130120210310212123211)11D，求設(shè)BAAAAA,2,)232133解解312132,AAAA132cc B21cc 3213,AAA.63A3122132,AAAAAB其中第47頁/共552頁第四十八頁，共553頁。Ch2、3. 矩陣矩陣(j zhn)1. 矩陣矩陣(j zhn)的定義的定義一些特殊一些特殊(tsh)(tsh)的的矩陣：矩陣：零矩陣、行矩陣、列矩陣、方陣、零矩陣、行

28、矩陣、列矩陣、方陣、對角陣、數(shù)量陣、單位陣對角陣、數(shù)量陣、單位陣第48頁/共552頁第四十九頁，共553頁。2. 矩陣的基本矩陣的基本(jbn)運算運算矩陣矩陣(j (j zhn)zhn)相等相等: :同型矩陣：兩個同型矩陣：兩個(lin )(lin )矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等兩個矩陣同型，且對應(yīng)元素相等矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣加（減）法、數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘：矩陣與矩陣相乘：乘法滿足乘法滿足);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA 矩陣乘法不滿足：

29、矩陣乘法不滿足：交換律、消去律交換律、消去律第49頁/共552頁第五十頁，共553頁。 A是是n 階方陣，階方陣， 個個kkAAAA 方陣方陣(fn zhn)(fn zhn)的冪：的冪：方陣方陣(fn zhn)的多項式：的多項式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k為正整數(shù)）為正整數(shù)）方陣方陣(fn zhn)(fn zhn)的的行列式：行列式：滿足滿足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3 04AABCB第50頁/共552頁第五十一頁，共553頁。轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置(zhun zh)(zhun zh)矩

30、陣矩陣: :一些特殊一些特殊(tsh)的矩陣的矩陣: 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的 新矩陣，叫做新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 . . AAA滿足滿足(mnz)： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 對稱矩陣和反對稱矩陣：對稱矩陣和反對稱矩陣：AAA ATTAA 是反對稱矩陣是反對稱矩陣是對稱矩陣是對稱矩陣冪等矩陣：冪等矩陣： 為為n階方陣，且階方陣，且A2AA 第51頁/共552頁第五十二頁，共553頁。伴隨伴隨(bn su)矩陣：矩陣： nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA

31、|,.|AAA AAAA110(|).|(AAAAA110| |.nAA1()()TTAA,()1,0,nr A 若若( );r An 若若( )1;r An若若( )1.r An第52頁/共552頁第五十三頁，共553頁。第53頁/共552頁第五十四頁，共553頁。3. 逆矩陣逆矩陣(j zhn)定義定義(dngy)：A為為n階方陣，若存在階方陣，若存在n階方陣階方陣,使得使得ABBAE則稱矩陣則稱矩陣A是可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）是可逆的（非奇異的、非退化的、滿秩的）矩陣矩陣B稱為矩陣稱為矩陣A的逆矩陣。的逆矩陣。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩陣是可逆矩陣(j zhn)，則，則

32、A的逆矩陣的逆矩陣(j zhn)是唯一的是唯一的.判定定理判定定理:n階方陣階方陣A可逆可逆0A11AAA 且且推論：推論：設(shè)設(shè)A、B為同階方陣，若為同階方陣，若,ABE 則則A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA，第54頁/共552頁第五十五頁，共553頁。111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 滿足滿足(mnz)規(guī)律：規(guī)律：逆矩陣逆矩陣(j zhn)求法：求法：（1）待定系數(shù)法）待定系數(shù)法（2）伴隨）伴隨(bn su)矩陣法矩陣法（3）初等變換法）初等變換法分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相類似似4. 分塊矩陣分

33、塊矩陣第55頁/共552頁第五十六頁，共553頁。5. 5. 初等變換初等變換對換變換對換變換(binhun)(binhun)、倍乘變換、倍乘變換(binhun)(binhun)、倍加變換、倍加變換(binhun)(binhun)三種三種(sn zhn)(sn zhn)初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換初等變換矩陣矩陣(j zhn)的等價：的等價：如果矩陣如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B,就稱矩陣就稱矩陣A與矩陣與矩陣B等價。記作等價。記作AB初等矩陣：初等矩陣： 由單位矩陣由單位矩陣E E經(jīng)過一次初等變

34、換得到的方陣經(jīng)過一次初等變換得到的方陣 稱為初等矩陣稱為初等矩陣. . 與矩陣的相似、合同相互比較與矩陣的相似、合同相互比較階階初初等等矩矩陣陣。乘乘一一個個相相應(yīng)應(yīng)的的的的右右邊邊相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次次初初等等列列變變換換，對對階階初初等等矩矩陣陣；的的左左邊邊乘乘一一個個相相應(yīng)應(yīng)的的相相當(dāng)當(dāng)于于在在施施行行一一次次初初等等行行變變換換，矩矩陣陣，對對是是設(shè)設(shè)nAAmAAnmA 定理：定理：第56頁/共552頁第五十七頁，共553頁。AXB 解矩陣解矩陣(j zhn)方程的初等變換法方程的初等變換法(A、B可可逆逆)(BA)(1BAE 初初等等行行變變換換BAX1 矩陣矩陣(j z

35、hn)方程方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 第57頁/共552頁第五十八頁，共553頁。、秩（、秩（A）：）：A的不等于的不等于(dngy)0的子式的最高的子式的最高階數(shù)。階數(shù)。、秩的基本、秩的基本(jbn)關(guān)系式：關(guān)系式：BAABAAAAnmATnm秩秩秩秩秩秩秩,min3002;,min1、關(guān)于、關(guān)于(guny)秩的重要結(jié)秩的重要結(jié)論：論： PAQAQPAAnmAnmQP秩秩秩秩則矩陣是階可逆矩陣，階、分別是、設(shè)矩陣的秩；矩陣的初等變換不改變21第58頁/共552頁第五十九頁，共553頁。、秩的求法：、秩的求法：1）初等）初等(chdng)變法：變法：TA

36、階梯形2）若）若P可逆，則可逆，則 AAP秩秩 003AnAAAnAnA秩可逆階方陣，則秩是設(shè)4 ),m nn pAB()( )( )r ABr Ar Bn當(dāng)當(dāng) 時，時，0AB ( )( )r Ar Bn0( )( )0Arr Ar BB5 )6) ()( )( )r ABr Ar B第59頁/共552頁第六十頁，共553頁。4) 矩陣秩的等式矩陣秩的等式(dngsh)的證明的證明（1）證）證( )( ).r Ar B 思路思路( )( )( )( )r Ar Br Br A （2）證）證( )( ).r Ar Bn思路思路0, ( )( ), ( )( )ABr Ar BnABkEr Ar

37、Bn 則則則則3) A有有r階子式不為階子式不為0所有所有r+1階子式全為階子式全為0 ( )r Ar第60頁/共552頁第六十一頁，共553頁。例如：例如：設(shè)設(shè) 為為 階矩陣，階矩陣，,A Bn1,ABAB E為為 階單位矩陣。階單位矩陣。n證明：證明：()()r EABr EABn證：證：()()EABEABEABABAB AB()EABA B1EB B 0EE()()r EABr EABn()()EABEAB2E ()()r EABr EABn綜上，綜上，()()r EABr EABn第61頁/共552頁第六十二頁，共553頁。 設(shè)設(shè) A A、B B 都是都是 n n 階方陣階方陣(fn

38、 (fn zhn)zhn)，則，則 2222)(BABABAa e成立時當(dāng),BAAB ABBAn1成立時當(dāng),BAAB BAABBAAB ABBAb 1:, 1AthenAIfc )(22BABABAd BAABe第62頁/共552頁第六十三頁，共553頁。 BARBAAR求，若此時求、例,011101110876565434321,4000064204321A可逆，B 2ARBAR解：解：R(A)=2第63頁/共552頁第六十四頁，共553頁。第64頁/共552頁第六十五頁，共553頁。一一. 向量向量(xingling)組的線性相關(guān)性組的線性相關(guān)性1. 向量間的線性運算向量間的線性運算(yn

39、 sun)：加法、數(shù)乘。：加法、數(shù)乘。2. 線性組合、線性表示線性組合、線性表示(biosh)(1) 判斷向量判斷向量 可由向量組可由向量組 線性表示的常用方法線性表示的常用方法 12,m 方法方法1：112210mmmkkkk 只要證出只要證出10,mk 就可得出就可得出1212111mmmmmkkkkkk ch4. 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性第65頁/共552頁第六十六頁，共553頁。(2) 在判斷或證明在判斷或證明(zhngmng)中，常用到的兩個重要結(jié)論中，常用到的兩個重要結(jié)論結(jié)論結(jié)論(jiln)1：向量向量 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示 12,m 1212(,)(

40、,)mmrr 結(jié)論結(jié)論(jiln)2：若向量組若向量組12,m 線性無關(guān)，線性無關(guān)，而向量組而向量組12,m 線性相關(guān)，線性相關(guān)，則向量則向量 必能由向量組必能由向量組 線性表示，線性表示， 12,m 且表示式唯一。且表示式唯一。方法方法2：證下列非奇次線性方程組有解證下列非奇次線性方程組有解AX 方法方法3：利用矩陣的初等行變換利用矩陣的初等行變換12(,)m 行最簡形矩陣行最簡形矩陣第66頁/共552頁第六十七頁，共553頁。(2) 利用常用利用常用(chn yn)結(jié)論：結(jié)論：1個零向量個零向量(xingling)線性相關(guān)；一個非零向量線性相關(guān)；一個非零向量(xingling)線性無關(guān)。線

41、性無關(guān)。2個非零向量線性相關(guān)個非零向量線性相關(guān)對應(yīng)分量成比例對應(yīng)分量成比例n1個個n維向量維向量(xingling)線性相關(guān)。線性相關(guān)。部分相關(guān)部分相關(guān) 整體相關(guān)；整體無關(guān)整體相關(guān)；整體無關(guān) 部分無關(guān)。部分無關(guān)。3. 線性相關(guān)性的判別方法線性相關(guān)性的判別方法(1) 一般方法：設(shè)數(shù)一般方法：設(shè)數(shù)12,mk kk使得使得11220mmkkk成立成立轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是否有非零解的問題。轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組是否有非零解的問題。原向量組無關(guān)，維數(shù)增加后得到的新向量組依然無關(guān)；原向量組無關(guān)，維數(shù)增加后得到的新向量組依然無關(guān)；原向量組相關(guān)，維數(shù)減少后得到的新向量組依然相關(guān)。原向量組相關(guān)，維數(shù)減少后得到的

42、新向量組依然相關(guān)。 第67頁/共552頁第六十八頁，共553頁。(3) 利用向量利用向量(xingling)組的秩判斷：組的秩判斷：設(shè)向量組設(shè)向量組12,m 的秩為的秩為r當(dāng)當(dāng) 時，時， 線性無關(guān)。線性無關(guān)。rm 12,m 當(dāng)當(dāng) 時，時， 線性相關(guān)；線性相關(guān)；rm 12,m 4. 極大無關(guān)極大無關(guān)(wgun)組的選取或證明組的選取或證明(1) 初等變換法（最常用初等變換法（最常用(chn yn)）將列向量組寫成矩陣將列向量組寫成矩陣初等行變換初等行變換行階梯或行最簡形矩陣行階梯或行最簡形矩陣的一個極大無關(guān)組，的一個極大無關(guān)組，例如：例如：求向量組求向量組12345(1, 1,2,4),(0,3

43、,1,2),(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6)并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。并把其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。第68頁/共552頁第六十九頁，共553頁。解：解：124, 是一個極大無關(guān)組是一個極大無關(guān)組并且并且31251243111考慮考慮(kol)：還有那些極大無關(guān)組？：還有那些極大無關(guān)組？125134135, 初等行變換初等行變換10312103011301101101217250001142140600000A 一定一定(ydng)要化成最簡型要化成最簡型不能用列變換不能用列變換第69頁/共552頁第七十頁，共553頁。(2) 極大無關(guān)極大無關(guān)(wg

44、un)組的證明組的證明方法方法(fngf)1：利用定義：利用定義12,r 線性無關(guān)；線性無關(guān)； 其它向量都可由其它向量都可由12,r 線性表示。線性表示。（即向量組中任意（即向量組中任意r+1個向量都線性相關(guān)）個向量都線性相關(guān)）方法方法2：已知已知12,r 是向量組是向量組A的一個極大無關(guān)組，的一個極大無關(guān)組，又又A中部分組中部分組12,rlll與與12,r 等價，等價，則則12,rlll也是也是A的一個極大無關(guān)組。的一個極大無關(guān)組。例如：例如：設(shè)設(shè)123, 是向量組是向量組A的極大無關(guān)組，且的極大無關(guān)組，且112321233123,2,23.證明證明 也是也是A的極大無關(guān)組。的極大無關(guān)組。1

45、23, 第70頁/共552頁第七十一頁，共553頁。證明證明： （即證（即證 與與 等價）等價）123, 123, 112321233123, 2, 23.向量組向量組 可由向量組可由向量組 線性表示。線性表示。123, 123, 11232123312, 2, 又又向量組向量組 可由向量組可由向量組 線性表示。線性表示。123, 123, 兩個向量組等價兩個向量組等價123, 也是極大無關(guān)組。也是極大無關(guān)組。第71頁/共552頁第七十二頁，共553頁。二二. 矩陣矩陣(j zhn)的秩、向量組的秩的求法的秩、向量組的秩的求法初等變換后，看非零行的行數(shù)。初等變換后，看非零行的行數(shù)。三三. 關(guān)于

46、關(guān)于(guny)向量組的秩、矩陣的秩的證明向量組的秩、矩陣的秩的證明關(guān)于向量組的秩的幾個重要關(guān)于向量組的秩的幾個重要(zhngyo)定理：定理：（1）若向量組）若向量組可以由向量組可以由向量組12,t 線性表示，則線性表示，則12,s 1212(,)(,)strr (2)(2)(三秩相等三秩相等) ) 矩陣矩陣A的秩的秩A的行秩的行秩A的列秩。的列秩。第72頁/共552頁第七十三頁，共553頁。第73頁/共552頁第七十四頁，共553頁。向量空間的概念：向量空間的概念： 向量的集合對加法向量的集合對加法(jif)及數(shù)乘兩種運算封閉；及數(shù)乘兩種運算封閉； 由向量組生成的向量空間由向量組生成的向量

47、空間子空間子空間(kngjin)的概念的概念向量空間的基，維數(shù)和坐標；向量空間的基，維數(shù)和坐標；求向量空間基和維數(shù)的方法求向量空間基和維數(shù)的方法(fngf)； 求向量在給定基底下的坐標。求向量在給定基底下的坐標。四四. 向量空間向量空間第74頁/共552頁第七十五頁，共553頁。五五. 正交化與正交矩陣正交化與正交矩陣(j zhn)1. 正交化、單位正交化、單位(dnwi)化化2. 正交矩陣正交矩陣ATA AE 1TAA A的的n個列（行）向量組為單位正交向量組個列（行）向量組為單位正交向量組1A TA也是正交矩陣也是正交矩陣是正交矩陣，則是正交矩陣，則 也是正交矩陣也是正交矩陣,A BAB

48、第75頁/共552頁第七十六頁，共553頁。定理(dngl)1 設(shè)有非齊次線性方程組(1)0,XAnm 有解；則如果1,2ArAr 無解；則如果1,1ArAr 有惟一解；則有解時，如果1, nAr 有無窮多解；則如果1, nAr定理(dngl)2 設(shè)有齊次線性方程組（2）0XAnm設(shè)r(A)=r,則 僅有零解；則如果2,1nr 必有非零解；則如果2,2nr 必有非零解；則如果2,3nm 線性方程組的解法(ji f)與解的結(jié)構(gòu)第76頁/共552頁第七十七頁，共553頁。定理(dngl)1 設(shè)有齊次線性方程組（2）0XAnm 必有非零解；方程組 21 則設(shè), nrAr個解向量；基礎(chǔ)解系中含rn2可

49、構(gòu)成基礎(chǔ)解系。個線性無關(guān)的解向量均任意rn3 的通解為：則的基礎(chǔ)解系是設(shè)2,2,421rnRkkkkkkXrnrnrn,212211定理(dngl)2 設(shè)有非齊次線性方程組（1）0,XAnm 則如果設(shè),nrArArrAr必有無窮多解；方程組AX1的通解為：則的基礎(chǔ)解系是設(shè)的一個特解是設(shè)AXAXAXrn,0,221RkkkkkkXrnrnrn,212211第77頁/共552頁第七十八頁，共553頁。0XAnm0,XAnm ;02;01121的解向量也是的解向量也是AXkAX（2）（1）性質(zhì)(xngzh)1 性質(zhì)(xngzh)2 的解向量也是時，滿足當(dāng)?shù)慕庀蛄渴堑慕庀蛄渴茿XkkkkAXAX221

50、121121,3;2;01121kk則：的解向量，是設(shè),0,21RkAX則：的解向量，是的解向量設(shè),0,2121RkkAXAX第78頁/共552頁第七十九頁，共553頁。第79頁/共552頁第八十頁，共553頁。1 1、特征值的求法、特征值的求法個特征值的就是，的根nAEAn2102 2、特征向量的求法、特征向量的求法riiXEA, 0,1得基礎(chǔ)解系解對特征值所對應(yīng)的特征向量為i不全為零rrrkkkk,111特征值和特征向量特征值和特征向量3、對角化、對角化(jio hu)看清看清(kn qn)要求的是可逆矩陣還是正交矩陣。要求的是可逆矩陣還是正交矩陣。方陣方陣 與對角矩陣與對角矩陣 相似的條

51、件相似的條件: :A充要條件充要條件: :充分條件充分條件(chn fn (chn fn tio jin):tio jin):有有n 個個不同特征值不同特征值; ;或或 A為實對稱矩陣為實對稱矩陣第80頁/共552頁第八十一頁，共553頁。二次型二次型1、利用、利用(lyng)正交變換化為標準形的過程；正交變換化為標準形的過程；2、正定矩陣的判別方法、正定矩陣的判別方法(fngf)： 定義法；定義法； 利用特征值全大于零；利用特征值全大于零； 順序主子式全大于零。順序主子式全大于零。二次型化為標準二次型化為標準(biozhn)(biozhn)形形的矩陣的矩陣 與對角矩陣與對角矩陣 合同合同.

52、.Af求正交變換求正交變換PYX 化二次型為標準化二次型為標準形形找正交矩陣找正交矩陣, ,使使APPAPPT1),(21ndiag2222211nnyyyf第81頁/共552頁第八十二頁，共553頁。第82頁/共552頁第八十三頁，共553頁。第83頁/共552頁第八十四頁，共553頁。第84頁/共552頁第八十五頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 課課 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 二、典二、典 型型 例例 題題 第85頁/共552頁第八十六頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 v行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)(xngzh)性質(zhì)

53、性質(zhì)2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號(j ho)的外面的外面.性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)性質(zhì)4 對換兩行對換兩行, 行列式值反號行列式值反號. 性質(zhì)性質(zhì)3 若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和, 則該行拆開則該行拆開, 原行原行列式可以表為相應(yīng)的兩個行列式之和列式可以表為相應(yīng)的兩個行列式之和.性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對應(yīng)的元把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對應(yīng)的元素上去素上去, 行列式的值不變行列式

54、的值不變.性質(zhì)性質(zhì)5 若有兩行元素對應(yīng)成比例若有兩行元素對應(yīng)成比例, 則行列式值為零則行列式值為零. 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階矩陣階矩陣, 則有則有 | AB | | A | | B | . 第86頁/共552頁第八十七頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 vLaplace 按行列按行列(hng li)展開展開定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素與其對應(yīng)的代數(shù)的元素與其對應(yīng)的代數(shù)(dish)余余子式乘積之和子式乘積之和. 即即 1122|, (1,2, )iiiiininAa Aa Aa Ain1122|, (1,2, )jjjjnjnjA

55、a AaAa Ajn 設(shè)設(shè) A = (aij)為為 n 階方陣階方陣(fn zhn), 則有則有111,11,111,1,11jjnnn jn jnnnaaaaaaabba1212jjjnnAbAAbb第87頁/共552頁第八十八頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 v伴隨伴隨(bn su)陣陣 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣階方陣(fn zhn), Aij 為為(i, j)元的代數(shù)余子式元的代數(shù)余子式, 記記112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 稱稱 A 為方陣為方陣 A 的的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置(zhun zh)伴隨陣伴隨陣.v伴隨陣的性質(zhì)伴隨陣的性質(zhì)(1

56、)|;nAAA AA E1(2)|.nAA 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣階方陣 A 的伴隨陣的伴隨陣, 則有則有第88頁/共552頁第八十九頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁 如果如果 | A | 0, 那么那么, 稱方陣稱方陣(fn zhn) A 為非奇異矩陣為非奇異矩陣.v逆陣計算公式逆陣計算公式 非奇異非奇異(qy)矩陣矩陣 A 的逆陣為的逆陣為11|AAA v逆矩陣逆矩陣(j zhn) 如果存在矩陣如果存在矩陣 B, 使使 AB BA E那么那么, 稱方陣稱方陣 A 為為可逆的可逆的, 并稱并稱 B 為為 A 的逆矩陣的逆矩陣.v定理定理 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階方陣階方陣, 若若

57、 AB E, 則則 A, B 可逆可逆, 且有且有11,.ABBA一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 第89頁/共552頁第九十頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁v逆矩陣逆矩陣(j zhn)的性質(zhì)的性質(zhì) 設(shè) A, B 為 n 階可逆矩陣(j zhn), 則有11(1)|;|AA 11(2)();AA 111(3)()(0);kAkAk111(4)();ABBA T11 T(5)()() ;AA 111(6)()().|AAAA 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 第90頁/共552頁第九十一頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁v分塊對角分塊對角(du jio)陣的性質(zhì)陣的性質(zhì)1diag(,).sAA

58、A 1(1)|;sAAA (3) A 可逆的充分可逆的充分(chngfn)必要條件是必要條件是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆, 且有且有1111diag(,)sAAA 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 1(2)diag(,);nsAAA 設(shè)設(shè) Ai(i=1,s)都是方陣都是方陣(fn zhn), 設(shè)設(shè) A, B 都是方陣都是方陣, 則有則有| |AAOABOBB 第91頁/共552頁第九十二頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁 矩陣矩陣 A 與與 B 行等價行等價(dngji)的充要條件是的充要條件是: 存在可逆矩存在可逆矩陣陣 P, 使使 B = PA. 矩陣矩陣 A 與與 B 列等價列等價

59、(dngji)的充要條件是的充要條件是: 存在可逆存在可逆矩陣矩陣 Q, 使使 B = AQ. 具體具體(jt)地有地有( ,)(,),rPEPAAcQQAAE一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 v等價矩陣等價矩陣 如果矩陣如果矩陣 A 經(jīng)過有限次初等經(jīng)過有限次初等(行行, 列列)變換變換, 化為矩陣化為矩陣 B, 就稱矩陣就稱矩陣 A 與與 B (行行, 列列)等價等價, 記為記為 AB.第92頁/共552頁第九十三頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁v行最簡形矩陣行最簡形矩陣(j zhn) 1 2(0)ra aa v行階梯形矩陣行階梯形矩陣(j zhn) 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 120

60、00000000000raaa000000000000012000000000000raaa00000000000001110000第93頁/共552頁第九十四頁，共553頁。上頁下頁結(jié)束返回首頁v矩陣矩陣(j zhn)的秩的秩 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 如果矩陣如果矩陣(j zhn) A 的等價標準形為的等價標準形為 rEOFOO 那么稱那么稱 F 中單位中單位(dnwi)陣的階數(shù)陣的階數(shù) r 為矩陣為矩陣 A 的秩的秩, 記為記為 R(A). 性質(zhì)性質(zhì)1 等價矩陣有相等的秩等價矩陣有相等的秩.性質(zhì)性質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)4 ()min, .m nR Am n 性質(zhì)性質(zhì)3 n 階方陣階方陣 A