塑性力學(xué)增量和全量本構(gòu)關(guān)系討論

1、塑性力學(xué)中本構(gòu)關(guān)系的討論摘 要：本構(gòu)方程是塑性力學(xué)解決問(wèn)題不同于彈性力學(xué)的一大不同點(diǎn)，本文從主要 描述塑性變形問(wèn)題的兩個(gè)本構(gòu)理論出發(fā)，借鑒現(xiàn)有理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)比增量理論 和全量理論的優(yōu)缺及各自在工程中的適用性。關(guān)鍵詞：塑性力學(xué)；增量理論；全量理論；有限元法引言塑性力學(xué)和彈性力學(xué)之間的根本差別在于彈性力學(xué)是以應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān) 系的廣義胡克定律為基礎(chǔ)的。而塑性力學(xué)研究范疇中，應(yīng)力與應(yīng)變一般成非線性關(guān) 系，而這種非線性的特征又不能一概而論，對(duì)于不同的材料，在不同的條件下，都 具有不同的規(guī)律。塑性變形的基本規(guī)律是建立在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果簡(jiǎn)化 抽象出塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的特征。與彈性力學(xué)

2、比較，主要影響塑性力學(xué)本構(gòu)方程的有以下幾點(diǎn)：應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的，具比例系數(shù)不僅與材料有關(guān)而且與塑性應(yīng) 變有關(guān)；由于塑性變形的出現(xiàn)，彈塑性材料在卸載時(shí)，體元的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)不能沿原來(lái) 的加載路徑返回，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而與加載歷史有關(guān)；變形體中可分為彈性區(qū)和塑性區(qū)，在彈性區(qū)，加載與卸載都服從廣義胡克定律， 在塑性區(qū)，加載過(guò)程服從塑性規(guī)律而卸載過(guò)程服從廣義胡克定律。因此在塑性力學(xué)發(fā)展初期，最初提出的是以增量方法來(lái)討論應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)?量之間的關(guān)系，它不受加載條件的限制，但在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中，需要按加載過(guò)程中 的變形路徑進(jìn)行積分，計(jì)算比較復(fù)雜。Hencky于1924年提

3、出的全量理論在實(shí)踐中 使用方便很多，但全量本構(gòu)關(guān)系僅能應(yīng)用于特定情況，及體元應(yīng)力-應(yīng)變過(guò)程為單調(diào)過(guò)程，不能描述彈塑性變形規(guī)律全貌。1.增量理論塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點(diǎn)是非線性和非簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)，非線性及應(yīng)力與應(yīng)變關(guān) 系不是線性關(guān)系，非簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)及應(yīng)變不能由應(yīng)力唯一確定。在材料變形的塑性階段，應(yīng)變狀態(tài)不僅由應(yīng)力狀態(tài)決定，還由整個(gè)應(yīng)力變化過(guò)程決定材料進(jìn)入塑性變形階段，任一點(diǎn)的總應(yīng)變由彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變組成：e p ij ij ij當(dāng)外載荷有微小增量時(shí)總應(yīng)變也有微小增量，其為彈性增量與塑性增量之和, 因此有：d ijp d ij die根據(jù)靜水壓力實(shí)驗(yàn)，提出假設(shè)：塑性應(yīng)變不引起體積改變。在平均正應(yīng)力作用

4、下，物體的變形只包括彈性變形；在應(yīng)力偏量的作用下，不發(fā)生體積改變，物體產(chǎn) 生彈性變形和塑性變形，及在塑性狀態(tài)，材料不可壓縮，體積變形等于零：d ijp 0在塑性變形過(guò)程中的任一微小時(shí)間增量?jī)?nèi)，塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力偏量成正比，即：d ijp Sj d其中d為非負(fù)的標(biāo)量比例常數(shù)，且根據(jù)加載過(guò)程的不同而變化。由于體積變化是彈性的，平均正應(yīng)變的塑性分量等于零?？倯?yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變分量與塑性應(yīng)變分量之和，故總應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力偏量有如下關(guān)系：.1 .deij 2G 35d根據(jù)屈服條件可求得d ,當(dāng)應(yīng)變?cè)隽繛橐阎?，可唯一求出?yīng)力偏量。另外，當(dāng) 材料接近理想塑性材料，塑性變形階段可忽略彈性應(yīng)變。塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力偏量

5、的關(guān)系表達(dá)式與胡克定律在形式上相似，不同之處在 于含有應(yīng)變?cè)隽亢土鲃?dòng)因子d ,整個(gè)討論過(guò)程涉及到塑性變形過(guò)程的不可壓縮性和 塑性變形的非線性，及其對(duì)加載路徑的依賴性。2 .全量理論彈塑性小變形的本構(gòu)關(guān)系是比彈性力學(xué)的本構(gòu)關(guān)系更廣義的關(guān)系，既包括彈性 極限內(nèi)的關(guān)系也包括彈性極限外的關(guān)系。全量理論企圖建立與彈性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系相 類似的本構(gòu)關(guān)系，即與加載路徑無(wú)關(guān)的本構(gòu)關(guān)系。根據(jù)彈性變形中應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)，可知全量理論需采用如下假定：應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量按比例增長(zhǎng)，即滿足簡(jiǎn)單加載（或比例加載）條件；應(yīng)力 主方向與應(yīng)變主方向一致，且應(yīng)力（或應(yīng)變）主方向始終保持不變。根據(jù)E.A .Davis等人的薄壁金屬

6、桶承受拉伸和內(nèi)壓實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知， 在簡(jiǎn)單加載或 偏離簡(jiǎn)單加載不大的情況下，盡管應(yīng)力狀態(tài)不同，但應(yīng)力應(yīng)變曲線都可以近似地用 單向拉伸曲線表示，這一假定（單一曲線假定）把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變曲線和 一維的應(yīng)力應(yīng)變曲線聯(lián)系在一起。根據(jù)簡(jiǎn)單加載條件，有Sj Hej（H為可變的剛度系數(shù)）；根據(jù)單一曲線假定，引入一 一，代表簡(jiǎn)單加載實(shí)驗(yàn)得到的某種材料的應(yīng)力強(qiáng)度與應(yīng)變強(qiáng)度的關(guān)系，其中因此應(yīng)力偏量和應(yīng)變偏量的關(guān)系為：Sj 2ej ，將此偏量關(guān)系與彈性的體j 3 j變關(guān)系m 3K m結(jié)合起來(lái)即可得全量形式的本構(gòu)關(guān)系:ij m ijSjkkkk ij塑性全量理論從理論上講，不適用于簡(jiǎn)單加載不成立的情況，但是由于該

7、理論 比用增量理論方便，它等價(jià)于求解一個(gè)非線性彈性力學(xué)的問(wèn)題，因此很多人試圖將 它應(yīng)用于各種復(fù)雜加載情況。大量實(shí)際問(wèn)題的分析表明，對(duì)于一些偏離了比例加載 路徑的問(wèn)題，采用全量理論可以得到與增量理論相近的結(jié)果，比如失穩(wěn)問(wèn)題。對(duì)于 薄板的塑性失穩(wěn)問(wèn)題，用全量理論計(jì)算的結(jié)果甚至比用增量理論計(jì)算的結(jié)果更接近 于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。但在處理三維塑性問(wèn)題時(shí)，塑性流動(dòng)規(guī)律復(fù)雜，全量理論還無(wú)法很好 的解決。3 .基于增量理論的有限元法對(duì)于彈塑性問(wèn)題進(jìn)行有限元分析，平衡方程和幾何方程都是線性的，但本構(gòu)方 程是非線性的，需用迭代方法求解。另外，由于應(yīng)力和應(yīng)變的非線性關(guān)系，應(yīng)力和 位移也是非線性關(guān)系，所以用節(jié)點(diǎn)位移表示的平衡

8、方程也不是線性的?；谠隽坷碚摰乃苄宰冃伪緲?gòu)方程為三維空間問(wèn)題彈性矩陣D為:1r2對(duì)稱加載時(shí)有1r2兩邊同乘D得到0,如果把彈塑性應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力增量之間的關(guān)系近似的表示為其中D eD為彈塑性矩陣（D epeD D DP）,是元素當(dāng)前應(yīng)力水平的函數(shù)，與增量 epL無(wú)關(guān)。為了做到線性化的目的，采取逐步增加載荷的方法（荷載增量法），在一定應(yīng)力和應(yīng)變的水平上增加一次載荷，而每次增加的載荷要適當(dāng)?shù)男?，以致求解非線性問(wèn) 題可以用一系列線性問(wèn)題所代替。在加載過(guò)程中，彈塑性問(wèn)題和非線性彈性問(wèn)題在本質(zhì)上是一樣的，在卸載過(guò)程中，只要將彈性矩陣D代替De。成為線彈性問(wèn)題。ep基于全量理論的的有限元計(jì)算方法，不同于增

9、量理論之處在于，荷載是一步加上去的，其求解過(guò)程采用迭代逼近的方法。4 .結(jié)論由于塑性變形問(wèn)題中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性和非簡(jiǎn)單對(duì)應(yīng)，需要以增量的方式描 述其本構(gòu)關(guān)系，增量理論在理論和應(yīng)用上都是成熟的。在滿足簡(jiǎn)單加載和單一曲線 假定的前提下，對(duì)增量理論進(jìn)行積分得到全量理論，一些實(shí)驗(yàn)和實(shí)際工程結(jié)果證明 滿足上述假定或稍許偏離比例加載路徑情況下，全量理論不僅可以簡(jiǎn)化計(jì)算，而且 能夠滿足一定的精度要求。5 .展望塑性變形的有限元處理中，不論是增量形式還是全量形式的求解方法，都是把 非線性問(wèn)題通過(guò)迭代的方法轉(zhuǎn)化成線性問(wèn)題，但計(jì)算效率和結(jié)果精度的差異海需要 通過(guò)計(jì)算實(shí)例分析對(duì)比。參考文獻(xiàn)：1徐秉業(yè)，陳森燦.塑性理論簡(jiǎn)明教程M.北