ch3-1微分中值定理ppt課件

1、 31 微分中值定理 32 函數(shù)單調性與曲線的凹凸性3 33 3 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 3 34 4 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪3 35 5 洛必達法則洛必達法則3 36 6 泰勒泰勒Taylor)Taylor)公式公式第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理0 洛爾定理洛爾定理0 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理0 柯西中值定理柯西中值定理; 0)()(, cxcfxfcx有有時時當當費馬定理費馬定理 設函數(shù)設函數(shù) f (x)在在a , b上有定義，并且在點上有定義，并且在點c(a , b)取到最值，取到最值， f (x)在點在點c可導，那么可導，那么 f (c)=0。; 0)(

2、)(lim)( cxcfxfcfcx由由極極限限的的保保號號性性 證明：不失一般性。設證明：不失一般性。設 f (x)f (x)在點在點 x = c x = c 取到最大取到最大值，那么值，那么 f (x) f (x) f(c) f(c)，x x(a,b)(a,b)。; 0)()(, cxcfxfcx有有時時當當; 0)()(lim)( cxcfxfcfcx從而從而 f (c)=0。一、羅爾一、羅爾(Rolle)定理定理羅羅爾爾（R Ro ol ll le e）定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ,ba上上連連續(xù)續(xù), ,在在開開區(qū)區(qū)間間),(ba內內可可導導, ,且且在在區(qū)區(qū)間

3、間端端點點的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等，即即)()(bfaf , ,那那末末在在),(ba內內至至少少有有一一點點)(ba , ,使使得得函函數(shù)數(shù))(xf在在該該點點的的導導數(shù)數(shù)等等于于零零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上上可可導導在在 , 0)3()1( ff且且,)3 , 1(1(, 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點處的切線是在該點處的切線是點點上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC證證.)1(mM 若

4、若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點點),(afM 設設.)(),(Mfba 使使內內至至少少存存在在一一點點則則在在. 0)(: f由費馬定理知由費馬定理知羅爾定理的三個條件，缺一不可羅爾定理的三個條件，缺一不可.),)0(f)(2(不存在不存在不滿足條件不滿足條件 ,)2 , 2(內內找找不不到到一一點點在在 例如例如,2 , 2, xxy.2 , 2,132 xxy及及. 0)0(,1 ,

5、 0(,1 fxxy又例又例,注注: :. 0) x(f 使使羅爾定理結論均不成立羅爾定理結論均不成立.1 , 0 x, xy 不滿足條件不滿足條件(3), 不滿足條件不滿足條件(1);. 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0 x, xy 不滿足條件不滿足條件(3), 不滿足條件不滿足條件(1);. 0)0(,1 , 0(,1 fxxy例例1驗證洛爾定理對函數(shù)驗證洛爾定理對函數(shù) f (x)=sinx在在0,上的正確性。上的正確性。解：解： f (x)在在0, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在(0, )上可導，上可導， 且且 f(0) = f() 由洛爾定理知：由洛爾定理知： 在在(0, )內至

6、少有一點內至少有一點，使，使 f ()=0， 即即: cos =0, 故故=/2。例例2 2.10155的的正正實實根根有有且且僅僅有有一一個個小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設設, 1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點定理由零點定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實根的正實根.,),1 , 0(011xxx 設另有設另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個個),(10 xx . 0)( f)1

7、(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.只只有有唯唯一一實實根根至至少少有有一一個個根根。內內，在在求求證證例例)10(0234323 cbacxbxaxcbacxbxaxxF 234)(23分析：分析：),()0(cbaF cbacbacbaF 23234)1(cbacxbxaxxF 234)(23設設證證明明：xcbacxbxaxxF)()(234 , 0)1()0(10)(,1 , 0)( FFxFcxF）內內可可導導，在在（, 0)(),10( FRoll使使，定定理理，據(jù)據(jù). 0234:23 cbacba即即有有幾幾個個實實根根。判判斷斷設設例例0)()3)(2)

8、(1()(4 xfxxxxxf0)3()2()1()0( ffff證證; 0)()10(10)(11 fRxf使使，定定理理的的條條件件，則則上上滿滿足足，在在; 0)()21(21 )(22 fRxf使使，定理條件，則定理條件，則上滿足上滿足，在在, 0)()32(32)(33 fRxf使使，定定理理條條件件，則則上上滿滿足足，在在個個實實根根。至至少少有有即即30)( xf有有三三個個零零點點。多多是是三三次次多多項項式式，所所以以至至又又)(xf 個實根。個實根。有有30)( xf二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrang

9、e）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,那末在那末在),(ba內至少有一點內至少有一點)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結結論論亦亦可可寫寫成成作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內內至至少少存存在在一一點點則則在在0)()(

10、)( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式證法二證法二)()()()(abxfxafbfxF 設設證證F(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)上連續(xù),在開區(qū)間在開區(qū)間(a,b)內可導內可導, )()()()()()(abfbafabbfbafbfbF )()()()()()(abfbafabafaafbfaF ),()(bFaF 有有 由由R-定理知定理知:, 0)(),( Fba使使).)()()(abfafbf 即即注意注意: :拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的拉氏公式精確地表達了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內某點處的導數(shù)之間的關

11、系增量與函數(shù)在這區(qū)間內某點處的導數(shù)之間的關系. .,),()(內內可可導導在在在在設設baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則則有有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達達式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：證明：設證明：設x1,x2是是(a, b)內任意兩點，由拉格朗日定理有內任意兩點，由拉格朗日定理有0)()()(1212 xxfxfxf(在在x1,x2之間之間) )()(12xf

12、xf 由由x1, x2的任意性知的任意性知: f (x)=常數(shù)常數(shù), x(a, b) . 定理得證定理得證設設 如果對任意的如果對任意的x(a, b)都有都有f (x)=0, 那么那么 f (x)在在(a, b)內恒為一常數(shù)內恒為一常數(shù) .)(,)(上上是是一一個個常常數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間那那末末上上的的導導數(shù)數(shù)恒恒為為零零在在區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù)IxfIxf推論推論0)(f 例例5 5).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證 1 , 1x, xarccosxarcsin)x( f 設設)x11(x11)x(f22 . 0 )1 , 1(x,C)x( f 0arccos0arc

13、sin)0( f 20 ,2 .2C 即即2)1(f2)1(f ).1x1(2xarccosxarcsin 例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 時時證明當證明當證證),1ln()(xxf 設設, 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例7 7xee,1x:x 時時當當證證明明三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果

14、函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內可導內可導, ,且且)(xF在在),(ba內每一點處均不為零，那末在內每一點處均不為零，那末在),(ba內至少內至少有一點有一點)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM.),(),(ABfFCAB弦弦該點處的切線平行于該點處的切線平行于在在一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證1作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(a

15、FxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內至少存在一點內至少存在一點則在則在ba, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf,)(xxF 當當, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf特別特別證證2柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義: :( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag ( ):( ) , Xg xCYf xxa b d( )d( )yftxF t 注意注意: :

16、xyo弦的斜率弦的斜率切線斜率切線斜率( )g a( )g ( )g b( )f a( )f b( ( ),( ),.ABC gfAB在曲線弧上至少有在曲線弧上至少有一點在一點在該點處的切線平行于該點處的切線平行于弦弦maxd曲線上到弦曲線上到弦ABAB的距離的距離最遠點處的切線平行最遠點處的切線平行于于AB AB AB弦的方程：弦的方程：( )( )( )( ( )( )( )0f bf aXg ag bg aYf a 曲線上點曲線上點M(g(x),f (x)到到AB弦的距離為弦的距離為22( )( )( ( )( )( ( )( )( )( )( )( )( )( ( )( )f bf a

17、g xg ag bg af xf ad xf bf ag bg a 柯西定理證明分析( )0,( , ),( )( )gxxagbbag 曲線上到弦曲線上到弦AB的距離的距離最遠點處的切線平行于最遠點處的切線平行于AB xyo( )( )Xg xYf x ( ( ),( )A g af a( ( ),( )B g bf b( )d xM柯西定理證明作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)2( )( )h xux ( )( ( )( )( ( )( )( ( )( )( ( )( )u xf bf ag xg ag bg af xf a ( ) , ,( ) ,( , ),h xC a bh xxa b ( )(

18、)0h ah b (1)( )0( )0h xh x 對任意對任意x 有有( )( ) ( ) ( )( )( )0f bf a gxg bg afx ； , (2) ( )0( , )( )max ( )0 xa bh xa bhh x 當當，由費馬引理知，由費馬引理知， ( )0h ，( )2 ( ) ( )0huu 即即，( )0u 即即( )( ) ( ) ( )( )( )0f bf a gg bg af 即即( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag 即即( , )a b 例例8 8)(g)b(g)a(f)(f)(g)(f),b, a(: 使使在在柯柯西西定定理理的的條條件件下下證證明明例例9 9).0( f)1( f 2)(f),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)x( f 使使至至少少存存在在一一點點證證明明內內可可導導在在上上連連續(xù)續(xù)在在設設函函數(shù)數(shù)證一證一結論可變形為結論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設設,1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中