第17講時變電磁場(1)

1、第17講 時變電磁場（1）本節(jié)內(nèi)容： 1，法拉第電磁感應(yīng)定律 2，位移電流3，麥克斯韋方程組4，邊界條件（1）電荷產(chǎn)生電場（2）運動電荷或者恒定電流產(chǎn)生磁場 （3）靜電場和靜磁場獨立存在，所以可以分開研究 本章將講述時變電場和時變磁場，兩個場將不在獨立，而是相互激發(fā)相互轉(zhuǎn)化，構(gòu)成統(tǒng)一的時變電磁場。當(dāng)做為場源的電荷和電流隨時間變化時，它們產(chǎn)生的電場和磁場不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也隨時間變化。而且變化的磁場要產(chǎn)生電場，時變的電場也要產(chǎn)生磁場。此時電場和磁場互為因果，成為統(tǒng)一的電磁場的不可分割的部分。一，法拉第電磁感應(yīng)定律1831年，英國物理學(xué)家法拉第（Faraday）總結(jié)大量的實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)與

2、一個由導(dǎo)線組成的閉合回路相交鏈的磁通量發(fā)生變化時，回路中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，進(jìn)而引起感應(yīng)電流。而且感應(yīng)電動勢等于磁通量變化率的負(fù)值。由磁通量增加產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與電流 接通線圈1的開關(guān)K時，在線圈2中的感應(yīng)電動勢 由第2章知道，在導(dǎo)體內(nèi)維持電流必須在導(dǎo)體內(nèi)存在非保守場，我們可以用導(dǎo)體內(nèi)的感應(yīng)電場（非庫侖電場）來定義感應(yīng)電動勢：如果空間中同時存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場， 則總電場， 因此電場沿閉合路徑的積分為上式為電磁場表示的法拉第電磁感應(yīng)定律的積分形式。 其中，穿過線圈回路磁通的變化可能是由于： 隨時間變化的磁場穿過（交鏈）靜止的線圈， 或線圈在均勻磁場中連續(xù)改變它的形狀或位置， 或上述兩種情

3、況的綜合， 因此，上式是普遍適用的公式。如果線圈是靜止的， 則穿過線圈回路的磁通變化只可能是由于磁場隨時間變化而引起， 此時上式可表示為：在此之后，英國物理學(xué)家兼數(shù)學(xué)家麥克斯韋（Maxwell）對電磁感應(yīng)定律進(jìn)行了深入的分析，揭示了電磁感應(yīng)現(xiàn)象的本質(zhì)，并得出了電場和交變的磁場之間的關(guān)系。他認(rèn)為回路中感應(yīng)電動勢是由于交變的磁場激發(fā)了一種非保守的電場的結(jié)果。這個電場稱為感應(yīng)電場。感應(yīng)電動勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為：故電磁感應(yīng)定律可表示為：以上討論是導(dǎo)體回路的情況。但感應(yīng)電場是由變化的磁場激發(fā)的，不論導(dǎo)體是否存在，只要磁場變化，就要激發(fā)感應(yīng)電場，所以上式不只適合于導(dǎo)體回路，對任一閉合回路都是成立的。由斯托

4、克斯公式，上式可改寫為：即： 由于S任意，所以：這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律的微分形式，它清楚地表明了交變磁場和感應(yīng)電場間的關(guān)系。電場的源有兩種：靜止電荷，時變磁場二， 位移電流變化的磁場會產(chǎn)生電場， 那么變化的電場能否產(chǎn)生磁場呢？回答是肯定的。 麥克斯韋把恒定磁場中的安培定律用于時變場時出現(xiàn)了矛盾， 為此提出位移電流的假說， 對安培定律做了修正。 位移電流的假說就是變化的電場產(chǎn)生磁場的結(jié)果。 考察安培環(huán)路定律在時變場情況下是否成立。li電容器的位移電流先看一個例子。一個中間填理想介質(zhì)的電容器接在交流電源的兩端，為一個與導(dǎo)線交鏈的閉合回路，若取一個以為邊界的曲面與導(dǎo)線相交，則由安培環(huán)路定律：i導(dǎo)線

5、中的傳導(dǎo)電流若取一個曲面不與導(dǎo)線相交而通過兩極板之間，則：這樣磁場強(qiáng)度沿同一閉合路徑的線積分出現(xiàn)了兩種結(jié)果，這說明安培環(huán)路定律用于時變場要產(chǎn)生矛盾。麥克斯韋首先注意到并從理論上解決了這一矛盾。他首先分析了這一矛盾的實質(zhì)，這實際上反應(yīng)了恒定電流條件下的安培環(huán)路定律與時變條件下的電流連續(xù)性方程之間的矛盾。安培環(huán)路定律： 要求 而在時變場中，電流連續(xù)性方程是：二者是矛盾的。我們知道，電荷守恒定律是普通正確的，而安培環(huán)路定律在時變場情況下必須加以修正。Maxwell認(rèn)為，在時變情況下，高斯定理和磁通連續(xù)性原理仍然適用。即： 這樣電流連續(xù)性方程可寫為：即： 此式表明，在時變場中，但矢量的散度等于0，若用

6、此矢量代替安培環(huán)路定律中的，即得：這樣，它與電流連續(xù)性方程就是相容的了。式中稱為位移電流密度，其單位為（A/m²）。引入位移電流之后，一開始的例中的矛盾也就不復(fù)存在，因為：在兩極板之間，電流以位移電流的形式存在，從而保持了電流的連續(xù)性。上式還表明，變化的電場也將激發(fā)磁場。麥克斯韋根據(jù)電場和磁場相互激發(fā)，預(yù)言了電磁波的存在，這一預(yù)言在后來得到了實驗的證實。磁場可以由電流來產(chǎn)生，也可以由變化的電場產(chǎn)生。例 計算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場為，銅的電導(dǎo)率, 。解： 銅中的傳導(dǎo)電流大小為 例：證明通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為零。解： 根據(jù)麥克斯韋方程

7、可知，通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為 三，麥克斯韋方程組麥克斯韋推廣了法拉第電磁感應(yīng)定律，得出交變的磁場產(chǎn)生電場的結(jié)論；又于1862年提出了位移電流的假說，說明交變的電場也能產(chǎn)生磁場。這表明了電場與磁場之間的緊密聯(lián)系，二者相互依存，又相互制約，成為統(tǒng)一的電磁場的兩個方面。上述兩個方程構(gòu)成了Maxwell方程組的核心，同時麥克斯韋認(rèn)為除了高斯定理在時變情況下成立外，磁通連續(xù)性原理也是成立的，它們和上述二方程組成麥克斯韋方程組：對應(yīng)的積分形式為：在各向同性的線性媒質(zhì)中，各場量之間的關(guān)系是： 媒質(zhì)的本構(gòu)方程或稱電磁場的輔助方程從以上方程不難看出，前面討論過的靜電場，恒定電場和恒定磁場的基本方

8、程都不過是Maxwell方程組在時的特例。Maxwell方程組的正確性已為實驗所證實，它適用于描述所有的宏觀電磁現(xiàn)象，包括運動系統(tǒng)中的電磁現(xiàn)象。它構(gòu)成了宏觀電磁理論的框架，電磁問題的求解最終都可歸結(jié)為求Maxwell方程組的解。麥克斯韋方程的物理意義：1， 第一方程是修正后的安培環(huán)路定律，表明電流和時變電場可以激發(fā)磁場。第二方程是法拉第電磁感應(yīng)定律，表明時變磁場產(chǎn)生電場之一重要事實。這兩個方程是麥克斯韋方程的核心，表明時變磁場和時變磁場互相激發(fā)，時變電磁場可以脫離場源而獨立存在，在空間形成電磁波。2， 第三方程表示磁通的連續(xù)性，即空間的磁力線既沒有起點也沒有終點，從物理意義上講是空間不存在自由

9、磁核的結(jié)果。第四方程是電場的高斯定理，它對時變電荷和靜止電荷都成立。表明電場是有通量源的場。3， 時變場中的電場的散度和旋度都不為零，所以電力線起始于正電荷終止于負(fù)電荷。而磁場的散度恒為零，旋度不為零，所以磁力線是于電流交鏈的閉合曲線，并且磁力線與電力線相互交鏈。在遠(yuǎn)離場源的無源區(qū)域，電場和磁場的散度都為零，這時，電力線和磁力線自行閉合，相互交鏈，在空間形成電磁波。4， 一般情況下，時變電磁場的場矢量和場源既是空間坐標(biāo)的函數(shù)，又是時間的函數(shù)，若場矢量不隨時間變化，上述方程退化為靜態(tài)場方程。5， 在線性介質(zhì)中，麥克斯韋方程組是線性方程組，可以應(yīng)用疊加原理。四，交變電磁場的邊界條件lh1，磁場強(qiáng)度

10、的邊界條件由麥克斯韋第一方程： 有限，所以第二項為0 或?qū)懗墒噶啃问剑?即：而任意若無傳導(dǎo)電流，則或lh2， 電場強(qiáng)度的邊界條件由麥克斯韋第二方程： 有限，而 即： 電場強(qiáng)度切向分量連續(xù)或： Sh3，磁感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件由麥克斯韋第三方程（磁通連續(xù)性原理）： 與恒定磁場類似的討論可得： 磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)或： Sh3， 電感應(yīng)強(qiáng)度的邊界條件由麥克斯韋第四方程（高斯定理）： 與靜電場類似討論可得： 或： 綜上所述，交變電磁場中的邊界條件可歸納為： 或 下面討論一特例理想導(dǎo)體表面上交變場的邊界條件。所謂理想導(dǎo)體是指的導(dǎo)體。對于很大的良導(dǎo)體，當(dāng)頻率很高時，電磁場只能存在于導(dǎo)體表面很小的薄層內(nèi)，這種現(xiàn)象稱為集膚效應(yīng)（以后在均勻平面波部分詳細(xì)講），越大，集膚效應(yīng)越顯著，透入深度越小（如在10GHz，透入銅的深度為cm），時，透入深度為0，即在理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場處處為0。由高斯定理和安培環(huán)路定律可知，電荷和電流只能存在于理想導(dǎo)體的表面上。根據(jù)上述邊界條件，在理想導(dǎo)體表面上：