初三數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)

1、Word資料初三數(shù)學(xué) 圓知識點(diǎn)總結(jié)、本章知識框架基本元素:定義.蒐,弦、圓心、半徑圓的認(rèn)識對稱性：旋轉(zhuǎn)對稱、聊寸稱、中心對褓垂徑定理向心樂邨、弦、弦心距關(guān)系與圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角、寇切角會與圓相交與國有關(guān)的位置關(guān)目直線與同相切切線及切線長 卜目離.圓與圓的位置關(guān)系6種)圓中的有關(guān)計(jì)弧長和扇形、弓形的酬圓錐與圓錐的側(cè)面展開圖二、本章重點(diǎn)1 .圓的定義:線段OA繞著它的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線, 叫做圓.圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.2 .判定一個點(diǎn)P是否在。O上.設(shè)。O的半徑為R, OP = d,則有dQ點(diǎn)P在。O外；d =o點(diǎn)P在。O上；dQ點(diǎn)P在。O內(nèi).3

2、 .與圓有關(guān)的角(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.90。的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角.(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角.弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角.弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一

3、半.4 .圓的性質(zhì)：(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合； 圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任 意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等.(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.垂徑定理及推論：(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心,且垂直平分此弦.(5)平行弦夾的弧相等.5 .三角形的內(nèi)心、外心、

4、重心、垂心三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“ I”表示.三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳 角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在 三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用 O表示.三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是 到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn).6 .切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.到圓心的距離d等于圓的半徑

5、的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn).經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心.切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線 長.(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓 心的連線平分兩條切線的夾角.7 .圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角 等于內(nèi)對角.(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.8 .直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)。O半徑為R,點(diǎn)O到直線l的距離為d .(1)直線和圓沒有公共點(diǎn) 二直線和圓相離=d>

6、;R.直線和。O有唯一公共點(diǎn) 0直線l和。O相切=d =R.直線l和。O有兩個公共點(diǎn) Q直線l和。O相交0d<R.9 .圓和圓的位置關(guān)系：(不考了)設(shè)®的半徑為R、r(R>r),圓心距55 =九(1)0 5和。沒有公共點(diǎn)，且每一個圓上的所有點(diǎn)在另一個圓的外部 G。r?？谕怆xGd>R + r.0 5和 %沒有公共點(diǎn)，且?？诘拿恳粋€點(diǎn)都在0 01外部=0。0 5內(nèi)含 0d<R r0 0和GJOb有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部 ?？?外切 Gd=R+r.®e?？谟形ㄒ还颤c(diǎn)，除這個點(diǎn)外，的每個點(diǎn)都在°i內(nèi)部g0。妙00口

7、內(nèi)切Gd=Rr.(5)0 °r 0 有兩個公共點(diǎn)=0 °r 0 5 相交o R r<d<R + r.10 .兩圓的性質(zhì)：(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn).11 .圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面積公式：S-兀周長C=2tiR.圓心角為n°、半徑為R的弧長曲.=.兀=匕艮圓心角為n° ,半徑為R,弧長為l的扇形的面積 九口之.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算.圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為 R,母線長為l的圓柱的體積為五R",側(cè) 面積為2不1,全面

8、積為2jiE + 2hR?.（補(bǔ)考圓錐面積了）圓錐的側(cè)面展開圖為扇形 ，底面半徑為R,母線長為1,高 為h的圓錐的側(cè)面積為九R1 ,全面積為uR! + JtR3 ,母線長、圓錐高、底面圓的 半徑之間有Ra+ha = la.【經(jīng)典例題精講】 例1如圖23-2 ,已知AB為。O直徑，C為以上一點(diǎn)，CD ±AB于D , /OCD的平分線CP交。于P,試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在 加上再取幾個符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然 后從中觀察規(guī)律.解: 連結(jié)OP,0c = CiPn/Z = /pZZ-Zl= N1=ZPOP/CD&

9、#39;=> 卜CD 1 AB J=0P _L AB=>pi=pa=P點(diǎn)為AB中點(diǎn).小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷.例2下列命題正確的是（）A.相等的圓周角對的弧相等B.等弧所對的弦相等C.三點(diǎn)確定一個圓D.平分弦的直徑垂直于弦.解：A.在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以 A不正確.B.等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此 B正確.C.三個點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個圓.D .平分弦（不是直徑）的直徑垂直于此弦.故選B.例 3 四邊形 ABCD 內(nèi)接于。O,/A：/B：/C = 1：2：3,求/D.分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等.解：設(shè)/

10、A = x, /B=2x, /C = 3x,則 / D = /A + /C / B=2x.x+2x + 3x+2x = 360 ,x=45 . ./ D = 90° .小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于。O,周長為20,且AB : BC ： CD =1 ： 2 ： 3,求 AD 的長.例4為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用 如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個銳角為 30°的三角板和一個刻度尺，用如圖23-4所示方法 得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑.若測得 PA = 5cm ,則鐵環(huán)的半徑是 cm .分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定

11、理、切線性質(zhì)、解 直角三角形的知識進(jìn)行合作解決，即過 P點(diǎn)作直線OPLPA,再用三角板畫一個頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個角的另一邊與 OP的交點(diǎn)即為圓心O ,再用三角函數(shù)知識求解.解:tanZPAO = =>OP=PA-tan60&=5x J5= $技小 PA小結(jié)：應(yīng)用圓的知識解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型.例5已知與 口"目交于A、B兩點(diǎn)，5的半徑是10,%的半徑是17, 公共弦AB=16,求兩圓的圓心距.解：分兩種情況討論：若加 位于AB的兩側(cè)（如圖23-8）,設(shè)。1%與AB交于C,AC = AB連結(jié)。依、口小，則55

12、垂直平分AB,2.It 23-8又AB = 16 .AC =8.在 Rl-AO ZCA 中，口=口述"-AC，= 6 .在 RtM） 2cA 中，5c = 火-CJ15 .故。10 廣 5c + 5c. 21若。位于AB的同側(cè)（如圖23-9）,設(shè)的延長線與AB交于C ,連結(jié)°A 0晶 .ffi"叱: Ct垂直平分ABAC=-AB2.又AB = 16, .AC =8.在RtAQgA 中，口。也A,-AC-6 .在 RMaCA 中，03C= Jo2A.2 - AC3 =15 .故叩士 =。普-5C = g注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點(diǎn)

13、到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解問題.1.相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）說明：幾何語言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P,則PA PB=PC PD （相交弦定理）例1 .已知P為。O內(nèi)一點(diǎn)，OP = 3cm , © O半徑為6cm , 過P任作一弦AB,設(shè)且產(chǎn)二大，8尸=尸，則尸關(guān)于內(nèi)的函數(shù)關(guān) 系式為 0& J 峻27V =V =解：由相交弦定理得工，即 工，其中3至XK92.切割線定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

14、說明：幾何語言：若 AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P,則PCA2=PA - PB交OC于D, CT為直徑，若例2 .已知PT切。于T, PBA為割線, OC=BD=4cm , AD=3cm ,求 PB 長。 解：設(shè)TD=工，BP=），由相交弦定理得： ADDB=CDTD即 3x4 = （8_/）x "6 ,與二2 （舍） 由切割線定理，利/二AP BF由勾股定 理，二？” 5T 二.3P,"十亞 . 3 + 4尸=6口73 + 7)四、輔助線總結(jié)（重要）1 .圓中常見的輔助線1） .作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等.2) .作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、

15、弧、弦、弦心 距”間的關(guān)系進(jìn)行證明.3) .作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行 計(jì)算.4) .作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角.5) 、作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角一一直角.6) .遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角.7) .遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角.8) .欲證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常 連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常過圓心向 直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑.9) .遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn).10) .遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2

16、)連結(jié)內(nèi)心和三角形的 頂點(diǎn).11) .遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線.12) .遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線.13) .求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形 的一條直角邊.2、圓中較特殊的輔助線1) .過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線.2) .將割線、相交弦補(bǔ)充完整.3) .作輔助圓.例1如圖23-10, AB是。O的直徑，弦CD ±AB,垂足為E,如果AB = 10, CD = 8,那么AE的長為（）A. 2B. 3C. 4D. 5分析：連結(jié)OC ,由AB是。O的直徑，弦CD ±AB知CD =DE.設(shè)AE = x, 則在 Rt

17、ACEO 中，OC2 -0E3 + CE3 ,即J 4n ,則向=2 ,叼=8 （舍 去）.答案：A.例2如圖23-11 , CA為。O的切線，切點(diǎn)為A,點(diǎn)B在。圖 23 11O上，如果/ CAB =55° ,那么/ AOB等于（）A. 35°B. 90°C. 110°D. 1200分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關(guān)系可以知道/AOB =2/BAC =2X550 = 110° .答案：C.例3如果圓柱的底面半徑為4cm ,母線長為5cm ,那么側(cè)面積等于（）A. 2口妙而B. 401CCH1- C. 20c疝D(zhuǎn). 40cm2分析：圓柱的側(cè)面

18、展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高， 即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱圖 23-12的高，gp 2<x4x5=40<crn3),答案：B.例4如圖23-12,在半徑為4的。O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長CM交。O于E,且EM>MC ,連結(jié) OE、DE, DE = J15 .求：EM的長.簡析：(1)由DC是。O的直徑，知DELEC,于是.設(shè)EM=x，貝UAM MB=x(7 x),即" + 三口.所以叼=?0=4 .而 EM>MC ,即 EM = 4.例5如圖23-13 , AB是。O的直徑，PB切。O于點(diǎn)B, PA交。O于點(diǎn)C , PF分別交AB、BC于E、D ,交。于F、G ,且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程 za-fiz+(ma+4m + 13)-0 (Jt m 為實(shí)數(shù))的兩根.(1)求證：BE= BD;(2)若GE-EF=5指，求/A的度數(shù).簡析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程d一晚4 (m' 4m +。的兩根,