2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)8.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案(理)

1、第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程考點(diǎn)1 極坐標(biāo)1 .極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M為平面上的一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)為(x , y),極坐標(biāo)為(p , 0 ).由圖可知下面的關(guān)系式成立:x= p cos 0y= s sin 0p 2=x2+y2或 tan 0 =yxwo .x順便指出，上式對(duì)p 0也成立.-14 -這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.2.圓的極坐標(biāo)方程(2)汽圓心在點(diǎn) a,萬 處且過極點(diǎn)O的圓的極坐標(biāo)方程為p例12019 全國卷出選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程如圖，在極坐標(biāo)系 Ox中，A(2,0)D(2,汽)Cd所在圓的圓心分別是(1,0) , 1Tt2 , (1,口，曲線m是弓瓜Ab曲線M2是弧圓心在

2、極點(diǎn)，半徑為 R的圓的極坐標(biāo)方程為p = R.圓心在極軸上的點(diǎn)(a,0)處，且過極點(diǎn) O的圓的極坐標(biāo)方程為p = 2acos。.曲線m是弧Cd .(1)分別寫出M, M2M3的極坐標(biāo)方程;(2)曲線M由M, M2M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP| 二小,求P的極坐標(biāo).【解析】本題主要考查極坐標(biāo)方程的求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)由題設(shè)可得，弧Cd所在圓的極坐標(biāo)方程分別為2 = 2cos 0 ,p = 2sin 0 , p = 2cos 0 .汽所以M的極坐標(biāo)方程為p = 2C0S 0 0 9 ,M2的極坐標(biāo)方程為p = 2sin 0 7w 0 44M的極坐標(biāo)

3、方程為p = - 2cos 0 - 0 0)在曲線C: p = 4sin。上，直線l過點(diǎn) A(4,0)且與OMB直，垂足為 P. n. . (1)當(dāng)9。=3時(shí)，求p 及的極坐標(biāo)萬程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.解析：本題主要考查直線的極坐標(biāo)方程、軌跡方程的求解，意在考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.（1）因?yàn)?M（p 0, 0 0）在 C上，當(dāng) 0 0=時(shí)，p 0 = 4sin -3 = 243.,，一汽由已知得 |OP| = |OA| cos -3=2.設(shè)Q（p ,。）為l上除P的任意一點(diǎn).連接 OQ在 RtAOPC,

4、 p cos。五=|OP|=2.式汽經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P 2,在曲線p cos 0 =2上. 汽所以，l的極坐標(biāo)方程為 p cos 03 = 2.（2）設(shè) P（p,。），在 RtOAP 中，|OP| = |OA| cos 0 = 4cos 。，即 p =因?yàn)镻在線段OM,且API OM,一支 汽故0的取值范圍是了,了.,汽 汽所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為p = 4cos 0 , 0 ,.考點(diǎn)2參數(shù)方程1 .直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程可以從它的普通方程轉(zhuǎn)化而來，設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為 y其中k=tan ”，a為直線的傾斜角，代入上式，得sin ay-yo=cosT(x-X0)即 cos a sin a記

5、上式的比值為t ,整理后得X= X0+ t cos a ,（t為參數(shù)）.y= y0+1 sin a這是直線的參數(shù)方程，其中參數(shù)t有明顯的幾何意義.在直角三角形 MAM中，|M0A| = |x X0| , |MA| = |y y0| , |M0M| = |t| ,即任一點(diǎn)M到定點(diǎn)M的距離.2 .圓的參數(shù)方程X= X0+ Rcos 0 ,若圓心在點(diǎn)M（X0, y。），半徑為R,則圓的參數(shù)方程為y = 丫。+ Rsin 04cos 0 .y0= k(X X0).|t|表示直線上（0為參數(shù)）.3 .橢圓的參數(shù)方程若橢圓的中心不在原點(diǎn)，而在點(diǎn)M(x0, yo)處，相應(yīng)的橢圓的參數(shù)方程為x= X0+ ac

6、os 0 ,（0為參數(shù)）.y= yo+ bsin 0通常規(guī)定參數(shù)0的范圍為0,2式).x= 2cos 0 ,例2 2018 全國卷H在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為y=4sin 0x= 1 + t cos a ,(。為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為y=2+ts 0c (t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.22【解析】(1)解：曲線C的直角坐標(biāo)方程為 ；+親=1.當(dāng)cos a wo時(shí)，|的直角坐標(biāo)方程為 y= tan a,x+2tan a ,當(dāng)cos a = 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為 x= 1.(2)解：將l的參數(shù)方程代入

7、 C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1 +3cos2a)t 2+4(2 cos a + sin a)t 8=0.因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為 t1 , t2,則 t1 +t2 = 0.一.14 2cos a + sin a ,又由得t1 +t2 =-d2，故2cos a + sin a = 0,于是直線l的斜率k1 + 3cos =tan a = 2.C-技法領(lǐng)悟 (1)參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的又一種表示形式，在消參時(shí)要注意參變量的范圍.(2)在參數(shù)方程應(yīng)用不夠熟練的情況下，可將其先化成直角坐標(biāo)系下的

8、普通方程，這樣思 路會(huì)更加清晰.對(duì)接訓(xùn)練2. 2018 天津卷已知圓x2+y22x=0的圓心為C,直線參數(shù))與該圓相交于 A, B兩點(diǎn)，則 ABC的面積為解析：將直線的參數(shù)方程化為普通方程，為 y = -x+2.y = x + 2,聯(lián)立方程組x2+y2 2x_ 0可求得A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(t為(1,1) ,(2,0) .故 |AB|=a/2.故 S；A ABC=1-X2,2X2_1又圓心C到直線AB的距離d=g2,答案:考點(diǎn)3極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合例32019全國卷I 選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為1-12x =21 + t4ty=iTF(t為參數(shù)

9、).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為 2 p cos。+ 43 p sin 0+ 11 = 0.(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.本題主要考查橢圓的參數(shù)方程與直線的極坐標(biāo)方程、橢圓上的點(diǎn)到直線的距離最小值等知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)因?yàn)橐?-t21vh 1，2+上=1,1+t2 y 21 t2且x + 2 = 1 + t22所以C的直角坐標(biāo)方程為x2+3=1(xw 1).l的直角坐標(biāo)方程為 2x +、/3y+11 = 0.x= cos(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為y

10、= 2sina)(a為參數(shù)，一支“汽).C上的點(diǎn)到l的距離為兀12 cos a + 2psin a+11|4cos a 3 +；7-7當(dāng)a= 等時(shí)，4cos 8-三十11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為 J7 331技法領(lǐng)悟極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合問題，一般采用分別化為普通方程的方法，利用平面解析幾何的知識(shí)解決.當(dāng)涉及線段長度時(shí)，也可以利用極徑的幾何意義和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解.對(duì)接訓(xùn)練3 . 2019 河南新鄉(xiāng)一模在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=- 1-當(dāng)(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn) 。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p c

11、os2 0 = sin 0 .(1)求直線l的普通方程及曲線 C的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線l與曲線C交于A, B兩點(diǎn)，P(1,2),求|PA| |PB|的值.解析：(1)消去參數(shù)，得直線l的普通方程為x+y1 = 0. 由 p cos2 0 = sin 。，得 p 2cos2 0 = p sin 0 ,則y = x?,故曲線C的直角坐標(biāo)方程為 y = x?.代入 y= x2,得 t2+ /2t 2=0,2 x=- 1- 2 t，(2)將廠2 y=2+ 2 t設(shè)點(diǎn)A, B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ti,t2Utit2= 2,易知直線l過點(diǎn)P( 1,2),故|PA| |PB| =|t it 2| = 2.

12、課時(shí)作業(yè)21坐標(biāo)系與參數(shù)方程兀J-兀1. 2019 江蘇卷在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A 3, 丁，B山，萬，直線l的方程為汽p sin 0 + ；4 =3.(1)求A, B兩點(diǎn)間的距離；(2)求點(diǎn)B到直線l的距離.解析：本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.兀t 兀(1)設(shè)極點(diǎn)為。.在4OAB中，A3, , B42,萬，由余弦定理，得 AB= 32+ 5 22X3X gx COS _2 4 =*.汽(2)因?yàn)橹本€l的方程為p sin 0 + =3,則直線l過點(diǎn)3點(diǎn)，2 ,傾斜角為34-.又B 也 2 ,所以點(diǎn)B到直線l的距離為(3/y2)xsin 34-2 =2.2. 2019

13、 湖北八校第一次聯(lián)考在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓 C的參數(shù)方程為(a為參數(shù)，t為常數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的非負(fù)半軸為極X = t + /COS a , y = q2sina軸，建立極坐標(biāo)系，直線 l的極坐標(biāo)方程為 p cos 0 - =42.(1)求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解析：(1)消去參數(shù)，得圓 C的普通方程為(X t) 2+y2=2.將直線l的極坐標(biāo)方程化為 乎p cos。+乎p sin 0 =。2,則乎x+y =，2,化簡(jiǎn)得y = x+ 2.故直線l的直角坐標(biāo)方程為y = x+ 2.(2) 圓C的普通方程為(x-

14、t) 2+y2=2,圓C的圓心為C(t,0),半徑為 串,C到直線l的距離d= ；2| ,2直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)，d= 1t j21 Q 解得4t0.，實(shí)數(shù)的取值范圍為(一4,0).3. 2019,廣東廣州一模已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p = 2y3cos 0 + 2sin 0 ,直線汽l1：.兀一 . 一e R),直線i2： e = ( p r).以極點(diǎn)o為原點(diǎn)，極軸為 x軸的正半軸建立平3面直角坐標(biāo)系.(1)求直線11, I2的直角坐標(biāo)方程以及曲線C的參數(shù)方程;(2)已知直線11與曲線C交于Q A兩點(diǎn)，直線12與曲線C交于Q B兩點(diǎn)，求 AOB勺面積.解析：(1)依題意，得直線11的直角坐

15、標(biāo)方程為 y = -x,直線1 2的直角坐標(biāo)方程為由 p = 2a/3cos 0 +2sinV = y3x,8 得 p 2= 2鏡 p cos 0 + 2 p sin 0 ,p 2 = x2+y2,p cos e =x, p sin 0 =y,，曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x ，3)2+(y1)2=4,x= 3/3+ 2cos a曲線C的參數(shù)方程為y=1 + 2sin a(2)聯(lián)立方程，得得|OA=I P1| =4,p = 23cos 0 + 2sin同理，得|OB=IP 2| = 2PSa aob-| OA - I OBsin / AOB= 5x4x2*2=2 小,故4AOB勺面積為2 3.x

16、= 1 + 2cos 6 ,4. 2019 廣東佛山質(zhì)檢在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C:_（巾y = #3+2sin （）x=t cos a ,為參數(shù)），直線li：,（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸y=t sin a建立極坐標(biāo)系.（1）求C與li的極坐標(biāo)方程；兀兀 .、. 一一,一（2）當(dāng)一“不時(shí)，直線li與曲線C相交于Q A兩點(diǎn)，過點(diǎn) O作li的垂線12, 12與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為 B,求| OA + | O3的最大值.x = 1 + 2cos 6 ,解析：（1）因?yàn)榍€C：L（6為參數(shù)），y=W+2sin （）所以曲線C的普通方程為（x1）2+（y ，3）2=4,

17、由 x= P cos e , y= P sin 0 ,得 C的極坐標(biāo)方程為 p 2 2 p cos 0 2鄧 p sin 0 = 0, 化簡(jiǎn)得 p =2cos 9 +2小sin 9 .x = t cos a ,因?yàn)橹本€l 1：（t為參數(shù)），所以直線l 1的極坐標(biāo)方程為e = a （ p e R）.y = tsin a. 兀兀 . 兀（2）根據(jù)題息設(shè)點(diǎn) A的極坐標(biāo)為（p a, a）, a 0）,過點(diǎn)R2,x=- 2+ 5t ,-4）的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l與曲線C交于A B兩點(diǎn).y=4+ 5t（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若| PA | PB = | A

18、B2,求 a 的值.解析：（1）由 p sin 2 e =2acos e （a0）得 p 2sin 2 e = 2a p cos 0（a0）,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為 y2=2ax（a0）.消去參數(shù)，得直線l的普通方程為y=x-2.x= - 2 +(2)將直線l的參數(shù)方程化為(t為參數(shù)),代入 y2= 2ax,得 12 2卡(4 +a)t + 32+ 8a= 0,設(shè)點(diǎn) A B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 ti, t2,則 ti + t2=242(4 + a) , tit2=32+8a, ti0, t20,所以|ti| = |PA, |t2| =|PB, |ti 12| =|AB,由 |PA | PB = |AB2 得 | tL t2| 2=tlt2,所以 | tl + t2|2