高考數(shù)學(xué)立體幾何復(fù)習(xí)指要含模擬考全國考試題分析和強化練習(xí)及答案

1、立體幾何高考復(fù)習(xí)指要立體幾何高考試題選擇、填空題主要考查立幾中的計算型問題和多重判斷問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理問題, 解答題一般為一證一算型或先證后算型問題.在一些同時選用A、B版本教材的省市，立體幾何解答題還兼顧傳統(tǒng)幾何法或向量法兩種方法，因此所選的載體往往比較規(guī)則.從近幾年的各地考題來看, 以多面體為載體的線面位置關(guān)系的論證、角與距離的探求仍是?？汲Ｐ碌闹攸c.我們在復(fù)習(xí)備考中既要抓住這些重點知識和方法的復(fù)習(xí)，又要留意對重點知識考查的不同命題角度，同時不要忽視可以命制一些小、巧、活試題的知識點的演練.在立體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本的

2、問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想，提高邏輯思維能力和空間想象能力空間的角和距離是空間圖形中最重要的數(shù)量關(guān)系.空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離求距離的一般方法和步驟是：一作作出表示距離的線段；二證證明

3、它就是所要求的距離；三算計算其值例1 對于直線m、n和平面，下面命題中的真命題是（A） 如果、是異面直線，那么（B） 如果、是異面直線，那么與相交（C） 如果、共面，那么（D） 如果、.解析：本題考查空間直線與平面位置關(guān)系的判定，涉及到異面直線，直線與平面的三種位置關(guān)系，兩條直線平行的判定等內(nèi)容，體現(xiàn)出文字語言、符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言的能力，判斷幾何命題真假的方法與能力，體現(xiàn)出思維能力與空間想像能力的綜合，屬于中等題.在解決這類問題時，讀題畫圖是關(guān)鍵，往往采用舉例排除的方法進行判斷.首先要讀懂題，將文字語言、符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言進行研究.在選項（A）（B）中，包含兩種情況，或與只有一個交點，

4、這兩種情況都可以使、為異面線，因此（A）和（B）都不正確.選項（C）恰是由線面平行推出線線平行定理的語言符號表述，是正確的.于是選項（D）肯定不正確，就不用再判斷了.在立幾重點知識中，直線與平面垂直在距離與角度的計算中占有尤其重要的地位，二面角知識也成為重中之重.請看下例：例2如圖，已知四棱錐 PABCD，PBAD側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.（I）求點P到平面ABCD的距離； （II）求面APB與面CPB所成二面角的大小. 本題反映的是目前全國各地高考中常見的的命題形式：先證后算或一證一算.考查的內(nèi)容是立體幾何

5、的主干知識：平行與垂直、距離與角度. 直線與平面垂直在（I）中固然要用，在（II）中作二面角的平面角也是必不可少的.面二面角的知識既成為本題中的條件，也成為（II）中待求的結(jié)果.解析：（I）求點到平面的距離思路有三：一是直接作點到平面的垂線段，一般需要找到或構(gòu)造互相垂直的兩平面，利用兩平面垂直的性質(zhì)定理在一個平面內(nèi)作垂直于交線的直線，也可通過特殊三棱錐頂點在底面內(nèi)的射影是底面的外心或內(nèi)心、垂心等性質(zhì)作圖，然后進行計算；二是借助三棱錐利用等積法求高；三是通過建立空間坐標(biāo)系，求已知點P與平面上任意一點A所連的向量在平面的一個法向量上的投影長.本小題作PO平面ABCD，垂足為點O.連結(jié)OB、OA、O

6、D、OB與AD交于點E，連結(jié)PE.可證PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，可求出點P到平面ABCD的距離PO為.（II）二面角的求解方法是豐富多彩的.設(shè)法找到或作出一個半平面的垂線段，利用三垂線定理作出二面角的平面角是最重要的方法.也可根據(jù)二面角的平面角的定義直接作圖，或作二面角的棱的垂面找出交線，然后進行計算.而不需直接作出二面角的平面角，通過建立空間坐標(biāo)系或面積射影法求二面角也是切實可行的方法.本小題取PB的中點G，PC的中點F，則AGF是所求二面角的平面角，所求二面角的大小為arctan.也可建立直角坐標(biāo)系，設(shè)PB的中點為G，可證等于所求二面角的平面角，于是所以所求二面角的大

7、小為.立體幾何的重點知識在高考中可能以開放性試題的面目出現(xiàn)，突出考查創(chuàng)新能力.開放性試題雖然沒有固定的解題模式可套，解法靈活多樣，但在解立體幾何開放性試題中，我們可以通過執(zhí)果索因、猜想證明、設(shè)未知數(shù)解方程等方法進行探究.例3如圖，在棱長為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點，.（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個定點Q，使得對任意的，D1Q在平面上的射影垂直于，并證明你的結(jié)論.解析：（）把通常的給定點的位置計算夾角，變?yōu)榻o出直線與平面所成角求點P的位置，應(yīng)屬執(zhí)果索因，題中給出了未知數(shù)（否則應(yīng)設(shè)出），滲透了方程的思想.本小題用幾何法或向量法易得m.（II）可以先推測點Q

8、應(yīng)當(dāng)是AICI的中點O1，通過證明D1O1平面ACC1A1， D1O1AP.根據(jù)三垂線定理知，D1O1在平面APD1的射影與AP垂直.也可在空間坐標(biāo)系中，設(shè)在A1C1上存在這樣的點Q，此點的橫坐標(biāo)為，依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，等價于D1QAP即Q為A1C1的中點時，滿足題設(shè)要求.在立體幾何的復(fù)習(xí)中，一類被稱為“隱棱”二面角的知識應(yīng)引起我們的高度重視.在二面角的計算中，若用傳統(tǒng)幾何方法往往需要通過垂線法和垂面法過棱上一點，分別在兩個半平面內(nèi)作出垂直于棱的射線，從而得到二面角的平面角，然后進行計算.若所要求的二面角的棱處于”隱蔽”狀態(tài)怎么辦？對于這種“隱棱”的二

9、面角，一是通過兩個半平面內(nèi)兩線平行，利用線面平行的性質(zhì)定理找棱；二是通過兩個半平面內(nèi)兩線相交，通過這兩線的交點找棱，找到棱后就問題就轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題了.這種題型若應(yīng)用空間向量的方法，可以通過建立空間坐標(biāo)系，將幾何元素之間的關(guān)系數(shù)量化，進而通過計算解決求角、證明的問題，空間向量更顯現(xiàn)出解題的優(yōu)勢.例4如圖，在底面是直角梯形的四棱錐SABCD中，ABC90°，SA面ABCD，SAABBC1，AD.（）求四棱錐SABCD的體積；（）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.解析：（）可求得VSABCD·SA·SABCD.（）延長CD、BA交于點E，連結(jié)SE，SE即平面CS

10、D與平面BSA的交線.又DA平面SAB，過A點作SE的垂線交于F.由三垂線定理可證得DFA為二面角的平面角.tanDFA即所求二面角的正切值.可以思考：本題若將ABCD改為矩形，如何在（II）中找出二面角的棱進而作出二面角的平面角求解？本題（II）還可通過建立空間坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，利用向量夾角的公式求出二面角的大小.利用等積法將點到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高是常用的解題方法.但利用等積法求線面角對很多同學(xué)來說就不是很習(xí)慣了.例5已知棱長為的正方體，E為BC的中點.（1）求證：平面平面；（2）求直線DC和平面所成的角的正弦值.解析：（1）設(shè)的中點為O，連EO，設(shè)的中點為F，連

11、OF、CF，易證平面，從而得出平面平面.（2）設(shè)C到平面的距離為，則有，解得.設(shè)點C在面上的射影為H，則CDH是直線DC和平面所成的角,其正弦值為.立體幾何中的一些問題雖不成為知識的主干，但體現(xiàn)了高考注重“考查能力，在知識交匯點命制試題”的思想，應(yīng)引起足夠的注意.如圖形的翻折與展開問題、與球面上兩點間的距離相關(guān)的問題、立體幾何中的軌跡問題都在成為高考命題新的熱點.例6 已知球O的半徑為1，A、B、C三點都在球面上，且每兩點之間的球面距離均為，則球心O到平面ABC的距離為(A)(B)(C)(D)解析：由球面上兩點間的距離的定義知，在四面體中， 又OAOBOC1，可用等積法求出O到平面ABC的距離

12、為.選（B）.例7如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是(A)直線 (B)圓 (C)雙曲線 (D)拋物線解析：由于，連，有，則P到點C1與P到直線BC的距離相等，由平面解析幾何知識知點P的軌跡是拋物線.選（D）.例8如圖，在正三棱柱ABC=A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點為N，求：（I）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；（II）PC和NC的長；（III）平面NMP與平面ABC所成二

13、面角（銳角）的大小（用反三角函數(shù)表示）.解析：（I）正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為.（II）將側(cè)面BB1C1C繞棱CC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA1C1C在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1，則MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到點M的最短路線. PC =2.，NC=.（III）連接PP1，則PP1就是平面NMP與平面ABC的交線，作NHPP1于H，由三垂線定理證得NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角（銳角），其大小為arctan.隨著新課程的實驗和新教材的使用，立體幾何正從復(fù)習(xí)耗時較多而考試得分偏低的題型

14、變?yōu)榈梅州^高的題型. 只要依據(jù)課本, 熟化知識, 掌握基本方法,構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò),突出重點, 我們在解答立體幾何題時定會成竹在胸.鞏固練習(xí)：1對于平面和共面的直線、下列命題中真命題是 （A）若則（B）若則（C）若則（D）若、與所成的角相等，則2表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為 A B C D3已知球的半徑是，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，兩點的球面距離是，則二面角的大小是（A）（B）（C）（D）4如圖，O是半徑為l的球心，點A、B、C在球面上，OA、OB、OC兩兩垂直，E、F分別是大圓弧AB與AC的中點，則點E、F在該球面上的球面距離是(A)(B)(C

15、) (D)5矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（A）（B）（C）（D）6正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則O到平面AB C1D1的距離為（A）（B）（C）（D）7把正方形ABCD沿對角線AC折起,當(dāng)以A、B、C、D四點為頂點的正棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為 （A）90O （B）60O （C） 45O （D） 30O8若三棱錐A-BCD的側(cè)面ABC內(nèi)一動點P到底面BCD的距離與到棱AB的距離相等，則動點P的軌跡與組成圖形可能是ABCPBCAPABCPA

16、BCP（A）（B）（C）（D）9設(shè)P是的二面角內(nèi)一點，PA平面，PB平面，A、B為垂足，則AB的長為（A）（B）（C）（D）10如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ÐACB90°，AC6，BCCC1，P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_11.在正三棱柱中，若二面角的大小為，則點到平面的距離為_12在三棱錐中，三條棱兩兩互相垂直，且是邊的中點，則與平面所成角的大小是_（用反三角函數(shù)表示）13四棱錐SABCD的底面是邊長為1的正方形，SD底面ABCD，SB.（I）求證：BCSC；（II）求面ASD與面BSC所成二面角的大小；（III）設(shè)棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小.14如圖所示的多面體是由底面ABCD為菱形的直平行六面體被平面AEFG所截而得的，其中BAD60O，AB4，BE2，CF3.（I）求證：EGAC；（II）求截面AEFG與底面ABCD所成銳二面角的大小；（III）求點C到截面AEFG的距離.15如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCkPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC()求證：OD平面PAB；()當(dāng)k時，求直線P