高考數(shù)學(xué)曲線方程講義

1、高三第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)-曲線方程一、教學(xué)目標(biāo)：了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題的方法；掌握用定義法和直接法求曲線的方程的方法和步驟。二、教學(xué)重點(diǎn)：注意動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的某些隱含條件；2、注意方程化簡(jiǎn)時(shí)的等價(jià)性，主要是在去分母和兩邊平方時(shí)的變形。3、注意圖形可能的不同位置或字母系數(shù)取不同值的討論。三、教學(xué)過(guò)程：（一）主要知識(shí)：1、 曲線方程的意義：正如一個(gè)關(guān)于的一元二次方程一定表示一條直線，一條直線必定可以用個(gè)關(guān)于的一元二次方程表示一樣，直角坐標(biāo)系內(nèi)的曲線可以用一個(gè)關(guān)于的二元方程來(lái)表示，一個(gè)關(guān)于的二元方程表示著坐標(biāo)平面內(nèi)的一條曲線。而函數(shù)亦為方程是的特殊形式。2、 方程恰為曲線C的方程即曲線

2、C恰為方程的曲線的充要條件為：（1） 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；否則曲線C比比方程所表示的曲線多點(diǎn)（純粹性）且（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上；否則曲線C比方程所表示的曲線少點(diǎn)（完備性）即曲線C=3、 已知曲線求方程：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，文字語(yǔ)言的幾何條件數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的等式數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言中含動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，的代數(shù)方程簡(jiǎn)化了的，的代數(shù)方程最后除掉多余的點(diǎn)（加上遺漏的點(diǎn)）。4、 已知曲線方程求曲線：要做到不多不少剛剛好。5、 曲線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為：方程組的解（特別注意大括號(hào)的意義為交點(diǎn)坐標(biāo)）（二）例題分析：（一）曲線方程的意義：例1：（1）如果命題“坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都在曲線上”不正確，那么以下

3、正確的命題是（A）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（B）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)有些在上，有些不在上（C）坐標(biāo)滿足方程的點(diǎn)都不在曲線上（D）一定有不在曲線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足方程分析：舉例，若方程為，曲線為第一、三象限角平分線，易知答案為D（2）求曲線分別關(guān)于直線點(diǎn)直線對(duì)稱的曲線方程解：；（二）已知曲線方程求曲線：例2 （1）表示什么曲線？ （2）方程表示什么曲線？ 解：（1）原方程等價(jià)于：當(dāng)時(shí)為x；當(dāng)時(shí)為；當(dāng)時(shí)為（畫(huà)圖）（2）原方程等價(jià)于：或即：或所以表示直線和射線（畫(huà)圖0點(diǎn)評(píng)：這多條圖形為曲線C；思考：表示什么曲線？（曲線C為圓：和直線在此圓外面部份）（三）已知曲線求方程：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程：例3 過(guò)定點(diǎn)任

4、作互相垂直的兩直線與，且與軸交于點(diǎn)M，與軸交于點(diǎn)N，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程。 解：法一（直譯法）由，化簡(jiǎn)得：法二（代入法）設(shè)，則因?yàn)?，所以由代入可得：XXANMO例4 （2000年春季高考）已知拋物線O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足，如果于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程。解：（參數(shù)法）設(shè)的方程為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則OB的方程為由得由得則所以，消去參數(shù)得軌跡方程為即所求軌跡是以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓除去原點(diǎn)。點(diǎn)評(píng)：直譯法、代入法和參數(shù)法是求軌跡方程的三大基本方法。（四）曲線的交點(diǎn)：例5、已知曲線，點(diǎn)，曲線，求的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：0個(gè)。設(shè)點(diǎn)是上的點(diǎn)，則，而若這與矛盾。例6、求過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有兩

5、個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為，求的取值范圍。解：設(shè)直線方程為，由方程組消去得，設(shè)其兩個(gè)根為 則，得的取值范圍是（三）鞏固練習(xí)：1和y軸相切并且和曲線x2+y2=4 (0x2)相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（ ）。A、y2=-4(x-1) (x>0) B、y2=2(x+1) (0<x1)C、y2=-4(x-1) (0<x1)D、y2=-2(x-1) (0<x1) 分析：設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y)，由圖可知x>0，設(shè)其半徑為r，則由相切條件， |MO|=2-|x|，即， ， ，又-4(x-1)=y20, 所求方程為y2=-4(x-1) (0<x1)。小結(jié)：如果題目中的條件是關(guān)于M的明顯的等量關(guān)系，或者可以通過(guò)幾何知識(shí)推出明顯的等量關(guān)系，求方程可以用直接法（直接到方程化簡(jiǎn)）。 2已知直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Q(2,0)，圓C的方程為x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)(>0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線。 解：設(shè)MN切圓C于N，則|MN|2=|MO|2-|ON|2，設(shè)點(diǎn)M(x,y)，則，化簡(jiǎn)，得 (2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0 1）當(dāng)=1時(shí)，方程為，表示一條直線。 2）當(dāng)1時(shí)，方程化為表示一個(gè)圓。 小結(jié)：本題是典型的直接（列方程化簡(jiǎn)）法。