一元二次方程的應(yīng)用

1、 蔣華鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)1.1.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟： 是指讀懂題目，審清題意。是指讀懂題目，審清題意。 是指設(shè)未知數(shù)。是指設(shè)未知數(shù)。（1 1）審審（2 2）設(shè)設(shè)（4 4）解解（5 5）驗(yàn)驗(yàn)（6 6）答答（3 3）列列是指列方程。是指列方程。 是是指指解方程，求出求出未知數(shù)的值。解方程，求出求出未知數(shù)的值。 是是指指寫(xiě)出應(yīng)用題的答案。寫(xiě)出應(yīng)用題的答案。是指檢驗(yàn)解是否是方程的解，是否符是指檢驗(yàn)解是否是方程的解，是否符合題意。合題意。 這是最重要的一步，一般先找出這是最重要的一步，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系，

2、然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中關(guān)系，然后列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，就能得到含有未知數(shù)的等的各個(gè)量，就能得到含有未知數(shù)的等式式-方程方程. .2 2列方程解應(yīng)用題應(yīng)該注意：列方程解應(yīng)用題應(yīng)該注意：（1 1）在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個(gè)未知數(shù)，應(yīng)）在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個(gè)未知數(shù)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)倪x擇其中的一個(gè)，用字母恰當(dāng)?shù)倪x擇其中的一個(gè)，用字母 表示表示, ,然后根據(jù)然后根據(jù)各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其他幾個(gè)未知數(shù)用含各量之間的數(shù)量關(guān)系，將其他幾個(gè)未知數(shù)用含 的代數(shù)式表示。的代數(shù)式表示。 (2)“(2)“審審”的過(guò)程要在草稿紙上進(jìn)行，書(shū)面格式的過(guò)程要在草稿紙上進(jìn)行，書(shū)面格式中主要寫(xiě)中主要寫(xiě)“設(shè)設(shè)”“”“

3、列列”“”“解解”“”“答答”四個(gè)步驟的四個(gè)步驟的解題過(guò)程，解題過(guò)程，“驗(yàn)驗(yàn)”不要求寫(xiě)詳細(xì)過(guò)程，但必須進(jìn)不要求寫(xiě)詳細(xì)過(guò)程，但必須進(jìn)行，有不符合題意的解時(shí)，應(yīng)及時(shí)舍去。行，有不符合題意的解時(shí)，應(yīng)及時(shí)舍去。xx (3)(3)列方程時(shí)，要注意方程兩邊為同列方程時(shí)，要注意方程兩邊為同一類量，并且單位要統(tǒng)一。一類量，并且單位要統(tǒng)一。（4 4）“設(shè)設(shè)”和和“答答”必須寫(xiě)清單位名必須寫(xiě)清單位名稱。稱。例例1某旅行社的一則廣告如下：我社組團(tuán)去龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：如果人數(shù)不超過(guò)30人，人均旅游費(fèi)用為800元；如果人數(shù)多于30人，那么每增加1人，人均旅游費(fèi)用降低10元，但人均旅游費(fèi)用不得低于500元。甲公

4、司分批組織員工到龍灣風(fēng)景區(qū)旅游，現(xiàn)計(jì)劃用28000元組織第一批員工去旅游，問(wèn)這次旅游可以安排多少人參加？如何設(shè)未知數(shù)？如何找出表達(dá)實(shí)際問(wèn)題的相等關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題中的相等關(guān)系是什么？如何解此題呢？1.一般情況下，應(yīng)設(shè)要求的未知量為未知數(shù)3.這個(gè)問(wèn)題的等量關(guān)系是什么?：分析： 首先知道總費(fèi)用是28000元即有等量關(guān)系“人均費(fèi)用人數(shù)=28000元” 2.從題中尋找未知數(shù)所表示的未知量與已知量之間的等量關(guān)系這種稱直接設(shè)未知數(shù),反之叫間接設(shè)未知數(shù)4.人數(shù)可設(shè)未知數(shù)x人,人均費(fèi)用人均費(fèi)用呢?(1)根據(jù):“如果人數(shù)不超過(guò)30人，人均旅游費(fèi)用為800元”(2)根據(jù):“如果人數(shù)多于30人，那么每增加1人，人均旅游

5、費(fèi)用降低10元，但人均旅游費(fèi)用不得低于500元”則總費(fèi)用不超過(guò)30800=2400028000;而現(xiàn)用28000元,所以人數(shù)應(yīng)超過(guò)30人 a.設(shè)的x人,比30人多了多少人？ （x30）人b.降了多少元?10(x-30)元c.實(shí)際人均費(fèi)用是多少?80010(x30)元5.本題實(shí)際意義是:人均旅游費(fèi)用不得低于500元. 解: 設(shè)這次旅游可以安排x人參加,根據(jù)題意得:80010(x30)x = 28000整理,得: x2-110 x+ 2800=0 解這個(gè)方程,得:x1=70 x2=40當(dāng)x1=70時(shí),800-10(x-30)=400500 x=40答:問(wèn)這次旅游可以安排40人參加.課堂練習(xí)：課堂練

6、習(xí)： P95P95練習(xí)練習(xí)解：設(shè)該公司第二批參加旅游的有x人 ，根據(jù)題意的：800-10(x-30) x=29250X1=45 x2=65 x=45當(dāng)x1=45時(shí),800-10(x-30) 500 當(dāng)x2=65時(shí), 800-10(x-30)500不合題意,舍去.答:該公司第二批參加旅游的有45人.)(6215)4(21)3(2122表示圓的半徑表示圓的半徑）（高高下底）下底）（上底（上底）（高高底底高高底底邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)）寬（寬（長(zhǎng)長(zhǎng)）（圖形的面積公式。圖形的面積公式。好幾種常見(jiàn)規(guī)則好幾種常見(jiàn)規(guī)則有關(guān)面積問(wèn)題，要掌握有關(guān)面積問(wèn)題，要掌握?qǐng)A圓梯形梯形平行四邊形平行四邊形三角形三角形正方形正方形長(zhǎng)方形長(zhǎng)

7、方形rrssssss一、面積問(wèn)題一、面積問(wèn)題如圖，一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是寬的如圖，一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是寬的2 2倍，倍，四角各截去一個(gè)相等的小正方形，制成高是四角各截去一個(gè)相等的小正方形，制成高是5cm5cm，容積是，容積是500cm500cm3 3的的長(zhǎng)方體容器，求這塊長(zhǎng)方體容器，求這塊鐵皮的長(zhǎng)和寬鐵皮的長(zhǎng)和寬. .問(wèn)題問(wèn)題1 1分析：分析： 如果設(shè)這塊鐵皮的寬是xcm，那么制成的長(zhǎng)方體容器底面的寬是_長(zhǎng)是_1.這個(gè)問(wèn)題的等量關(guān)系是：“長(zhǎng)寬高=容積” , “長(zhǎng)=寬2”。3.如何設(shè)未知數(shù)？xx2x2x55555555長(zhǎng)寬高2.你知道圖中長(zhǎng)方體容器長(zhǎng)、寬、高分別指哪些？(2x-10)cm.(x-1

8、0)cm,解: 設(shè)這塊鐵皮的寬是xcm，那么制成的長(zhǎng)方體容器底面的寬是(x-10)cm,長(zhǎng)是(2x-10)cm.根據(jù)題意得:5(x-10)(2x-10)=500整理,得: x2-15x=0 解這個(gè)方程,得:x1=15 x2=0 (不合題意,舍去) x=152x=30答:這塊鐵皮的寬是15cm，長(zhǎng)是30cm.1.一塊長(zhǎng)方形菜地的面積是150m2,如果它的長(zhǎng)減少5m,那么菜地就變成正方形.求原菜地的長(zhǎng)和寬.分析：分析： 畫(huà)草圖畫(huà)草圖 5 5 如果設(shè)原菜地寬為如果設(shè)原菜地寬為xm x x x x x(x+5)=150 可得方程可得方程 如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長(zhǎng)為4040米，

9、寬為米，寬為2626米的矩形場(chǎng)地米的矩形場(chǎng)地ABCDABCD上修建如下圖所示的同樣上修建如下圖所示的同樣寬的小路，其余部分種草，若使草坪面積為寬的小路，其余部分種草，若使草坪面積為864864平方米，求小路的寬度？平方米，求小路的寬度？）米。）米。（）米，）米，坪長(zhǎng)和寬分別為（坪長(zhǎng)和寬分別為（米，那么草米，那么草邊）。設(shè)小路的寬度為邊）。設(shè)小路的寬度為（最好靠一（最好靠一向修建的小路移到一起向修建的小路移到一起西和南北方西和南北方題方便，可分別把沿東題方便，可分別把沿東為了研究問(wèn)為了研究問(wèn)有關(guān)，而與位置無(wú)關(guān)。有關(guān)，而與位置無(wú)關(guān)。條數(shù)、寬度條數(shù)、寬度所占的面積只與小路的所占的面積只與小路的是修建

10、小路是修建小路分析：這類問(wèn)題的特點(diǎn)分析：這類問(wèn)題的特點(diǎn)xxx26240米米。答答：小小路路的的寬寬度度為為舍舍去去解解得得）（由由題題意意得得米米，解解：設(shè)設(shè)小小路路的的寬寬度度為為2)(44, 286426(24021xxxxx想一想，想一想，為什么？為什么？）米寬為）米長(zhǎng)為xx226(240(）米米寬寬為為）米米長(zhǎng)長(zhǎng)為為xx26(40(點(diǎn)評(píng)：解答這類問(wèn)題，并沒(méi)有用到什么點(diǎn)評(píng)：解答這類問(wèn)題，并沒(méi)有用到什么復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，只是運(yùn)用化歸思想，復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，只是運(yùn)用化歸思想，把幾條小路歸在一起，草坪歸在一起，把幾條小路歸在一起，草坪歸在一起，這種做法給綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題帶這種做法給綜合分析問(wèn)

11、題、解決問(wèn)題帶來(lái)很大方便。來(lái)很大方便。一塊長(zhǎng)一塊長(zhǎng)36m36m，寬，寬24m24m的矩形草地，現(xiàn)要在的矩形草地，現(xiàn)要在它的中央修建一個(gè)矩形噴水池，周圍的它的中央修建一個(gè)矩形噴水池，周圍的草地作走道，走道的寬度相等，且噴水草地作走道，走道的寬度相等，且噴水池的面積是矩形草地面積的池的面積是矩形草地面積的 ，求周，求周圍走道的寬度。圍走道的寬度。275275,積是矩形草地面積的面其等量關(guān)系是噴水池的分析：設(shè)走道的寬度為 xm米米。答答：周周圍圍走走道道的的寬寬度度為為舍舍去去解解得得）（由由題題意意得得，為為解解：設(shè)設(shè)周周圍圍走走道道的的寬寬度度88),(222436275224(23621xxx

12、xxm點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：（1 1）對(duì)方程的根要認(rèn)真檢驗(yàn)是否符合實(shí)對(duì)方程的根要認(rèn)真檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義，如有不符合的，要舍去。際意義，如有不符合的，要舍去。 (2)(2)設(shè)未知數(shù)和答題時(shí)不能漏寫(xiě)單位。列設(shè)未知數(shù)和答題時(shí)不能漏寫(xiě)單位。列方程中不要寫(xiě)單位，但等號(hào)兩邊量的單位要統(tǒng)一。方程中不要寫(xiě)單位，但等號(hào)兩邊量的單位要統(tǒng)一。 如圖，有一塊面積是如圖，有一塊面積是125125平方米的矩平方米的矩形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)3030米），另三邊用長(zhǎng)為米），另三邊用長(zhǎng)為3535米的竹籬笆圍米的竹籬笆圍成，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬。成，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬。列出方程。積為根據(jù)面不難得到另一邊長(zhǎng)，再由矩

13、形的性質(zhì)壁的一邊長(zhǎng)為于墻長(zhǎng)度之和。設(shè)矩形垂直、是邊分析：這里的2125,35mxmCDBCABmA AB BC CD D。和或和雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為答時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)解得）由題意得）則另一邊長(zhǎng)為（，的一邊長(zhǎng)為解：設(shè)矩形垂直于墻壁mmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:25235,510235,5 .125, 5 .12225125235(23521。和或和雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為答時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)解得由題意得則另一邊長(zhǎng)為，的一邊長(zhǎng)為解：設(shè)矩形平行于墻壁mmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:5235,255 .10235,10251012523523521比比看，哪比比看，哪種解法更簡(jiǎn)種解

14、法更簡(jiǎn)潔呢？潔呢？點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng): : 本例未寫(xiě)出檢驗(yàn)的結(jié)本例未寫(xiě)出檢驗(yàn)的結(jié)果，并不是沒(méi)有檢驗(yàn)，而果，并不是沒(méi)有檢驗(yàn)，而是因?yàn)檫@兩個(gè)結(jié)果都符合是因?yàn)檫@兩個(gè)結(jié)果都符合題意，如果把墻長(zhǎng)改為題意，如果把墻長(zhǎng)改為2020米，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？米，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？。和或和雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為答時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)解得）由題意得）則另一邊長(zhǎng)為（，的一邊長(zhǎng)為解：設(shè)矩形垂直于墻壁cmcmmmxxxxxxxxmxxm525105 .12:25235,510235,5 .125, 5 .12225125235(23521（不合題意，舍去）（不合題意，舍去）20203030 A AB BC CD D例例5 5 如圖，有一塊面積是如圖，有

15、一塊面積是125125平方米平方米的矩形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)的矩形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)米），另三邊用長(zhǎng)為米），另三邊用長(zhǎng)為3535米的竹籬笆圍米的竹籬笆圍成，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬。成，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬。A AB BC CD D例例5 5 如圖，有長(zhǎng)為如圖，有長(zhǎng)為3535米的竹籬笆，一米的竹籬笆，一面利用墻（墻長(zhǎng)面利用墻（墻長(zhǎng)3030米），圍成米），圍成中間隔中間隔有一道籬笆的有一道籬笆的矩形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的面積矩形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的面積是是125125平方米，雞場(chǎng)的一邊靠墻另三邊平方米，雞場(chǎng)的一邊靠墻另三邊用，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬。用，求雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬。xxx125335(335）由題意得）一邊長(zhǎng)為（，則另

16、壁的一邊長(zhǎng)為分析：設(shè)矩形垂直于墻xxmxxm還有其它還有其它解法嗎？解法嗎？點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)： 解面積問(wèn)題的應(yīng)用題時(shí)，解面積問(wèn)題的應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)以及它要根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)以及它們之間的量的關(guān)系來(lái)列方程，們之間的量的關(guān)系來(lái)列方程，因此因此畫(huà)出符合題意的圖形畫(huà)出符合題意的圖形，有，有助于解題。助于解題。 把把100100厘米長(zhǎng)的鉛絲折成一個(gè)長(zhǎng)方形模型厘米長(zhǎng)的鉛絲折成一個(gè)長(zhǎng)方形模型. .（1 1）要使這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是）要使這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是525525平方厘米，平方厘米，它的長(zhǎng)和寬應(yīng)該各是多少厘米？它的長(zhǎng)和寬應(yīng)該各是多少厘米？（2 2）面積是）面積是625625平方厘米呢？平方厘米呢？（3 3）面積是）面積是700700平方厘米呢？