2017年江蘇省專轉(zhuǎn)本高數(shù)知識點講解第二章第五節(jié)微分.

1、第5節(jié)微分一、微分的概念二、微分的運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用一微分問題的提出問鐵片的面積約增加了多少?一正方形鐵片，邊長為X。s s2 2(x0+ Ar)?座=S si=(兀o + Ar)2-x02=2x0Zx +(Zx)2解： 設(shè)正方形的面積S與邊長X的函數(shù)關(guān)系為S(兀):S(x)S(x) = = X X2 2鐵片面積的改變量為& = s(x0+ Ar) - s(x0) = 2x0Ar+(Ar)2可分為兩個部分：其一：2孔心是 2 的線性函數(shù),2X05(X)在處的導(dǎo)數(shù) 其二：(心)2是心的高階無窮小 當(dāng)ZSK很小時，(心尸必定很小，于是山2x()Ax3例y =才33Ay =

2、(%0+Ax/一兀/=3A:O2AX+ 3xoAx2+ zXx321微分的定義設(shè)函數(shù)y y = = f(x)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，x()及+Ar在這個區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)在點無處的增量Ay =f(xf(x0 04-zr)-/(x0)可表示為 = A Ar+o(Ar) (1)其中A不依賴于心，當(dāng)ATTO時o(Ax)是比 心 高階的無窮小，則稱y y = = fMfM在點勺可微而稱4 Ax：為函數(shù)y y = = f(x)f(x)在點x0處 相應(yīng)于自變量增量心的微分前面的問題可轉(zhuǎn)述為：滿足什么樣條件的函數(shù)可微?若y y = = M M可微，則(1)式中的A為何值?記作dydy = = A Adf(x

3、)df(x) = = A AAx2可微的條件定理 函數(shù)八兀)在點可微的充要條件是:y y = = f(x)f(x)在乩可導(dǎo)。證明：必要：若y y = = f(x)f(x)在點 7 可微，Ay = /(x0+Ar)-/(x0) =AAx+o(Ax)空=4 +冬也lim = A心Ax:so Ar y=f(x)y=f(x)在點x()可導(dǎo)，且fxfx0 0) ) = = A A充分：若y y = = f(x)f(x)在點X?？蓪?dǎo)，則= = f f(x0)詈=/(%)+a Ay= / (x0)Ax + a zr lim笑&二0a2 =o(Ax)Ar-0/X即Ay =廣Oo)“+。(心)其中:/

4、Uo)與Ax無關(guān)，故y y = = f(x)f(x)在勺可微. 注：1.y y = = fMfM在點勺處的可微性與可導(dǎo)性是等價的; 且 |創(chuàng)(兀。)&2.當(dāng)f (xo)O時，點兀。處的微分dydy = = f f (x(xQ Q) ) xx是關(guān)于 2 的線性函數(shù)3當(dāng)f(兀。)工0時，mnL八兀小MTOAy肚叫Ay）&TO（Ay丿=1-lim心乜）=1-1 = 0AATOAyAx所以，當(dāng)Ar TO時，函數(shù)在點兀。的增量 0 與微分dydy是等價的無窮小dydy是的線性主部。4若函數(shù)y y = = f(x)f(x)在某一區(qū)間內(nèi)每一點都可微，則稱y=f(x)y=f(x)是該區(qū)間內(nèi)的可

5、微函數(shù), 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的任意一點微分也可寫成心=/(x)Ax:它不僅與AX有關(guān)，而且與兀有關(guān)5通常把自變量的增量記作d無即dxdx = = Z Z稱為自變量兀的微分，于是函數(shù)y y = = fMfM的微分記為dydy = = f f x)dx,x)dx,兀可看作函數(shù)的微分與自變量微分的商, 導(dǎo)數(shù)又稱為微商。6.求微分時，可先求導(dǎo)數(shù)，再乘dxdx二微分的運算法則1.微分基本公式(1)d(c) =0d(aA) = aAnadx(5)d d(log “x)x) dxdxxnaxna(7) d(sinx) = cos兀dxd(eA) =exdx(6) t/Qn xx = = dxdx X X(8)(c

6、osx) = -sinxdxdd = jux-dxX2微分運算法則1函數(shù)的和、差、積.商的微分法則 設(shè) =V = v(x)都可微，貝(J(1)d(ud(uv)=duv)=dudvdv(2)d(uv)d(uv) = = vdu+udvvdu+udv2復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)y y = = f(u)f(u) u u =(p(x)=(p(x)在相應(yīng)的點處可微，則y y = = f(pW)f(pW)可微，dydy = = y yX Xdxdx = = f f u)(pu)(p xdxxdx = = f f u)duu)du即，無論U是自變量還是中間變量，微分形式dydy = = f f u)du)du u

7、d(cd(cv)v) = =(T保持不變，稱為一階微分形式不變性。 例1. j =sin(2x+l)求Ny解：dydy - -cos(2x +l)dl)d(2x +1) =cos(2x+l)(2x+1) =cos(2x +l)(2dxl)(2dx+ 0) = 2cos(2兀 +l)dxl)dx例2y y=幺cos2x.求dydy解：dydy=幺-d(cos2x)+cos2xd(幺亠)= =eeyxyxsin2xd(2x)2xd(2x)+ +cos(2x)es(2x)e3 3 v vd d(3x)=-2e3vsin2xdx-2xdx-3 cos(2x)e3 v6/x=-e_3v(2sin 2x+

8、3cos2)dxdx例3設(shè)隱函數(shù)y3-xy-xy + + 2x2x2 2+y+y2 2,dy.,dy.解兩端對X求微分得dydy d d(xy) +d d (2x)(2x) + + dydy3y3y2 2dydy ydx+ydx+ xdy+4xdx+xdy+4xdx+ 2ydy2ydy三、微分在近似計算中的應(yīng)用從微分定義知，當(dāng)|Ax|很小時，yu/y即 =/(xo+ Ax)-f(xf(xo o) )e /(xo)Ax.為求函數(shù)的增量的近似公式，將上式改寫為/(x0+ Ax) Q /(Xo) +廣(兀)Ax此為求函數(shù)值的近似公式.例 一正方形鐵塊，棱長為10米，受熱后其棱長增加01米，求此鐵塊體積增加的精確值和近似值.解 設(shè)正方體的棱長為r,即體積V=x3已知x = lQAx = O丄故體積增加的精確值為AV=(x +AY)3-X3=(10+ 0.1)3-ltf = 30.301(米彳)體積增加的近近值方AV/z(x)Axx=10Ax=0.1二3x2Arx=10=30(米彳)Ar=O. 1例計算cos61的近似值 解把61。分為弧度，得61。尋+盒設(shè)fMfM cosx,貝1護(hù)（兀）=sinx，由/（x0+