高中數(shù)學(xué)必修2-直線方程

1、 金牌教練 助力一生學(xué)科教師輔導(dǎo)教案課題：直線的方程學(xué)生： 李彥超 教師：蘇紅 日期：2013年11月10日 15教育是對(duì)知識(shí)與道德的忠誠(chéng)！ 中小學(xué)1對(duì)1課外輔導(dǎo)專(zhuān)家 優(yōu)學(xué)教育學(xué)科教師輔導(dǎo)教案講義編號(hào) sh-lyc001 學(xué)員編號(hào)：yxwb-lyc 年 級(jí)：高二 課時(shí)數(shù)：1課時(shí)學(xué)員姓名： 李彥超 輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：蘇紅課 題 直線的方程 授課日期及時(shí)段2013年11月10日14:3016:30教學(xué)目的1. 理解直線斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式；2. 掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法；3. 掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程教學(xué)內(nèi)

2、容一、復(fù)習(xí)引入： 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)，并接觸過(guò)一次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們作一下回顧：1一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)：一次函數(shù)形如，它的圖象是一條直線.2對(duì)于一給定函數(shù)，作出它的圖象的方法：由于兩點(diǎn)確定一條直線，所以在直線上任找兩點(diǎn)即可.3這兩點(diǎn)與函數(shù)式的關(guān)系：這兩點(diǎn)就是滿足函數(shù)式的兩對(duì)值.因此，我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：一般地，一次函數(shù)的圖象是一條直線，它是以滿足的每一對(duì)的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.由于函數(shù)式也可以看作二元一次方程.所以我們可以說(shuō)，這個(gè)方程的解和直線上的點(diǎn)也存在這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系.有了上述基礎(chǔ)，我們也就不難理解“直線的方程”和“方程的直線”的基本概念講解新課：（一）、直線的傾斜角與

3、斜率1.直線方程的概念：以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)，反過(guò)來(lái)，這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，這時(shí)，這個(gè)方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個(gè)方程的直線在平面直角坐標(biāo)系中研究直線時(shí)，就是利用直線與方程的這種關(guān)系，建立直線的方程的概念，并通過(guò)方程來(lái)研究直線的有關(guān)問(wèn)題.為此，我們先研究直線的傾斜角和斜率2.直線的傾斜角與斜率：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0° 因此，根據(jù)定義，我們可以得到傾斜角的取值范圍是0

4、6;180°傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示. 傾斜角是的直線沒(méi)有斜率概念辨析：為使大家鞏固傾斜角和斜率的概念，我們來(lái)看下面的題.關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說(shuō)法是正確的：A.任一條直線都有傾斜角，也都有斜率；B.直線的傾斜角越大，它的斜率就越大；C.平行于軸的直線的傾斜角是0或；D.兩直線的傾斜角相等，它們的斜率也相等.E.直線斜率的范圍是(，).辨析：上述說(shuō)法中，E正確，其余均錯(cuò)誤，原因是：A.與x軸垂直的直線傾斜角為，但斜率不存在；B.舉反例說(shuō)明，120°30°，但；C.平行于軸的直線的傾斜角為0；D.如果兩

5、直線的傾斜角都是，但斜率不存在，也就談不上相等.說(shuō)明：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°；直線傾斜角的取值范圍是；傾斜角是90°的直線沒(méi)有斜率.已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的性質(zhì)，討論直線斜率及其絕對(duì)值的變化情況： (1)作出在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象；由圖象觀察可知：當(dāng)，0，并且隨著的增大，不斷增大， 也不斷增大.所以，當(dāng)時(shí)，隨著傾斜角的不斷增大，直線斜率不斷增大，直線斜率的絕對(duì)值也不斷增大.(2) 作出在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)圖象，由圖象觀察可知：當(dāng)，0，并且隨著的增大，不斷增大，不斷減小.所以當(dāng)時(shí)，隨著傾斜角的不斷增大，直線的斜率不斷增大，但直線斜率的絕對(duì)值

6、不斷減小.針對(duì)以上結(jié)論，雖然有當(dāng)，隨著增大直線斜率不斷增大；當(dāng)，隨著增大直線斜率不斷增大. 但是當(dāng)時(shí)，隨著的增大直線斜率不斷增大卻是一錯(cuò)誤結(jié)論. 原因在于正切函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)增函數(shù)，但在區(qū)間內(nèi)，卻不具有單調(diào)性講解范例：例1 如圖，直線的傾斜角30°，直線，求、的斜率. 分析：對(duì)于直線的斜率，可通過(guò)計(jì)算直接獲得，而直線的斜率則需要先求出傾斜角，而根據(jù)平面幾何知識(shí)， ，然后再求即可.解：的斜率tantan30°，的傾斜角90°30°120°，的斜率tan120°tan（180°60°）tan6

7、0°.評(píng)述：此題要求學(xué)生掌握已知直線的傾斜角求斜率，其中涉及到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及特殊角正切值的確定.例2 已知直線的傾斜角，求直線的斜率：(1) 0°；（2）60°；(3) 90°；（）分析：通過(guò)此題訓(xùn)練，意在使學(xué)生熟悉特殊角的斜率.解：(1)tan0°0 傾斜角為0°的直線斜率為0；(2)tan60° 傾斜角為60°的直線斜率為；(3)tan90°不存在 傾斜角為90°的直線斜率不存在；(4)tan1，傾斜角為的直線斜率為1.提問(wèn):哪些條件可以確定一條直線？在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)P的任何一

8、條直線，對(duì)軸的位置有哪些情形？如何刻劃它們的相對(duì)位置？給定直線的傾斜角，如何求斜率？設(shè)是直線的傾斜角，為其斜率，則當(dāng)及時(shí)，與之相應(yīng)的取值范圍是什么判斷正誤： 直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ） 直線的斜率值為，則它的傾斜角為（ ） 因?yàn)樗兄本€都有傾斜角，故所以直線都有斜率（ ） 因?yàn)槠叫杏谳S的直線的斜率不存在，所以平行于軸的直線的傾斜角不存在 （ ）3.斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： 推導(dǎo)：設(shè)直線的傾斜角是，斜率是，向量的方向是向上的(如上圖所示).向量的坐標(biāo)是.過(guò)原點(diǎn)作向量，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是，而且直線OP的傾斜角也是，根據(jù)正切函數(shù)的定義，即同樣，當(dāng)向量的方向向上時(shí)也有同樣的結(jié)論.當(dāng)（

9、即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角，沒(méi)有斜率4斜率公式的形式特點(diǎn)及適用范圍： 斜率公式與兩點(diǎn)的順序無(wú)關(guān)，即兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)在公式中的前后次序可同時(shí)顛倒；斜率公式表明，直線對(duì)于x軸的傾斜程度，可以通過(guò)直線上任意兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，而不需求出直線的傾斜角；斜率公式是研究直線方程各種形式的基礎(chǔ)，必須熟記，并且會(huì)靈活運(yùn)用;當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角，沒(méi)有斜率6.確定一條直線需要具備幾個(gè)獨(dú)立條件:需要知道直線經(jīng)過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)；需要知道直線經(jīng)過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)及方向（即斜率）等等講解范例：例1求經(jīng)過(guò)A（2，0）、B（5，3）兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角.解：，就是 因此，這條直線的斜率是1，傾斜角是點(diǎn)評(píng)：此題要求學(xué)生會(huì)通過(guò)斜率

10、公式求斜率，并根據(jù)斜率求直線的傾斜角.例2求過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率及傾斜角、; 斜率不存在，、; ，、 ，點(diǎn)評(píng)：結(jié)合反三角的知識(shí)寫(xiě)出斜率在不同取值范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的傾斜角表達(dá)式：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，例3 若三點(diǎn)，共線，求的值解：拓廣：到目前為止共有幾種證明三點(diǎn)共線的方法例4 已知三角形的頂點(diǎn)，中點(diǎn)為，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，求的值及的長(zhǎng)解：點(diǎn)坐標(biāo)為， （二）、直線的方程1. 直線的點(diǎn)斜式方程已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為，直線的方程：為直線方程的點(diǎn)斜式.直線的斜率時(shí)，直線方程為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式求它的方程，這時(shí)的直線方程為.2.直線的斜截式方程已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（0,b），并且它的斜率為k，直

11、線的方程：為斜截式.斜截式是點(diǎn)斜式的特殊情況，某些情況下用斜截式比用點(diǎn)斜式更方便.斜截式在形式上與一次函數(shù)的表達(dá)式一樣，它們之間只有當(dāng)時(shí)，斜截式方程才是一次函數(shù)的表達(dá)式.斜截式中，的幾何意義3. 直線方程的兩點(diǎn)式當(dāng)，時(shí)，經(jīng)過(guò)B（的直線的兩點(diǎn)式方程可以寫(xiě)成：.傾斜角是或的直線不能用兩點(diǎn)式公式表示.若要包含傾斜角為或的直線，兩點(diǎn)式應(yīng)變?yōu)榈男问?4直線方程的截距式定義：直線與軸交于一點(diǎn)（,0）定義為直線在軸上的截距；直線與y軸交于一點(diǎn)（0,）定義為直線在軸上的截距.過(guò)A(,0) B(0, )（,均不為0）的直線方程叫做直線方程的截距式. ,表示截距，它們可以是正，也可以是負(fù)，也可以為0.當(dāng)截距為零時(shí)

12、，不能用截距式.例題講解：例1 一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角，求這條直線的方程.例2 寫(xiě)出下列直線的斜截式方程，并畫(huà)出圖形：斜率是，在軸上的距截是2；斜角是，在軸上的距截是3 例3 求過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程，再化為斜截式方程.（1）A（2,1），B（0，3）；（2）A（4，5），B（0,0）（3）A（0,5），B(5,0)；(4) A(,0) B(0, )（,均不為0）例4說(shuō)出下列直線的方程，并畫(huà)出圖形.傾斜角為，在軸上的截距為0；在軸上的截距為5，在軸上的截距為6；在軸上截距是3，與軸平行；在軸上的截距是4，與軸平行.課堂練習(xí)：1.直線在軸上的截距是1，而且它的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則

13、( )A. A，B1 B.A，B1C.A，B1D.A，B12.直線（0）的圖象是( ) 3.過(guò)點(diǎn)P(2,m)和Q(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為( )A.1 B.4 C.1或3 D.1或44.斜率為2的直線經(jīng)過(guò)(3，5)、(a,7)、(1,b)三點(diǎn)，則a、b的值是( )A.a=4,b=0 B.a=4,b=3 C.a=4,b=3 D.a=4,b=35.已知兩點(diǎn)M(2，3)、N(3，2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1，1)且與線段MN相交，則直線的斜率k的取值范圍是( ) A.k或k4 B.4k C. k4 D.k46.一直線被兩直線：，：截得的線段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，求該直線方程.7.直線方程的系

14、數(shù)A、B、C滿足什么關(guān)系時(shí)，這條直線有以下性質(zhì)?(1)與兩條坐標(biāo)軸都相交；(2)只與軸相交.(3)只與軸相交；(4)是軸所在直線；(5)是軸所在直線.8.過(guò)P(1,2)的直線與x軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線的斜率和傾斜角9.若光線從點(diǎn)A(3，5）射到軸上被軸反射后反射到點(diǎn)B(3，9)，求此光線所經(jīng)過(guò)的路程的長(zhǎng).10已知直線在軸上的截距為3,且它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6，求直線的方程.11已知直線與直線3x+47=0的傾斜角相等，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為24，求直線的方程.回家作業(yè)：1.直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1),則它的傾斜角是( )A. B. C

15、.或 D.2.下面四個(gè)直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是( )A. =3 B. =5 C.2= D. =413.直線過(guò)(a,b)、(b,a)兩點(diǎn)，其中a與b不相等，則( )A.l與軸垂直 B. 與軸垂直C. 過(guò)一、二、三象限 D. 的傾斜角為4.若ac0且bc0，直線不通過(guò)( )A.第三象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第二象限5.直線的方程是指( )A.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解B.以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上C.直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上D.以上都不對(duì)6.已知A(2，3)、B(1，4)，則直線AB的斜率是 .7.已知M(a,b)、N(a,c)(bc),則直線MN的傾斜角是 .8.已知O(0，0)、P(a,b)(a0)，直線OP的斜率是 .9.已知，當(dāng)時(shí)，直線的斜率 = ；當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為 ,傾斜角為 .10.若直線過(guò)(2,3)和(6，5)兩點(diǎn)，則直線的斜率為 ,傾斜角為 11.已知直線l1的傾斜角為1，則l1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線l2的傾斜角2為_(kāi).12.已知直線l過(guò)A