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文檔簡介

1、2隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì)數(shù)學(xué)期望從一個南度描述了隨機(jī)變量的卷征.但是對一 個隨機(jī)變量來說,僅僅知道它的數(shù)學(xué)期望是不夠的,我們運(yùn) 常常需要知道它的取值關(guān)于數(shù)學(xué)期望的偏離程度.例如, 甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一神零件,已知他們生產(chǎn)的零件的長 度X。與X1的分布律分別為X289303132 a , - 一 -U -X- 5 pk0.10.150.50.15、0.1X22829303132 B ._Ph0.130.170,40/70.13容易算出EX】=EX尸30.這說明僅由冬件氏度的均值還 無法判斷兩工人的技術(shù)水平的寓低.此時,可以進(jìn)一步考思 零件長度X與其均值過彳的偏禹程度| X-EX 蚓大小.一.隨

2、機(jī)變量的方差:1.定義設(shè)門上一隨機(jī)如心若以.一,存-左,不它為丫的方差,記作。(X),即D(X) = EX-(X)J2.由定義可知,D(X)0,如果它不存在,則說X沒有方差。(1)若X為禽散型隨機(jī)變量,其分布律為P-=勺=%,=1,2,則D(*) = X3.-E(X) 丁 叫.(2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度是戶“3則稱 | nr.Qr-E(X)1G_)dH-8為X的方差,記作D(x).方差1Hx的算術(shù)平方根稱為x的標(biāo)準(zhǔn)差或均方 差.方差KX)表示了隨機(jī)變量犬取值時以為中心的分 散程度,但是,它的單位是X的單位的平方。為了單位一致,還經(jīng)常使用ZKX)的算術(shù)根/萬歷來計量隨機(jī)變量大取值時以E(X)

3、為中心的分散程度【例1】測量甲.乙2個人的脈搏(次/分).其分布情況脈搏4D65T01560厥率0.150.20.3際搏B0TO90100概*。,360*159,30. 15甲:乙問誰的健康狀況要好一些.解用X表示甲的脈攙數(shù).用F表示乙的脈搏數(shù).則 DX=E(X/一(EX)* = 60* X 0.15 + 65* XO.2 + 70N XO-3 + 753 X0.3 + 50 XO. 0589. 5! =32.25ny=E(n5-(Er)t =5ol xfl.35+601 xo.is+to1 乂0.05 + 901 乂。3 + 1002 X0J572= 406所以DXVDY即得,甲的健康狀況比

4、乙的要好些.【例2】若隨機(jī)變量X服從于拉普拉斯分布,其概率密度為g=點(diǎn)r解:EX j U 2,DQ令tix-u)勺+ It_ f k J 丁00=0+|if /l、,、2 / 1DX= (x EX) q(x)dx+ oc=J (*-尸檢.-8 2t (x )/-2-t2ehl例3設(shè)X服從于幾何分布P (X = S Hqiq 1 p,求DX.解:8占.牙=中 kq =1f。),求 DX.一|工一 W入 dx千8_L 8,1a Mdt + 廠 edtid/一 00| X - B | /Xed)dt2 t2e tdt2 (3) 2o,即p a=L 2).其中J /。- . =7 _ 1 _尸什_療

5、F P* p叱fe-l *EX*=2A1 * q p=A3T+ Aq pA1 4(R-l)qfe=l甘AT,十 二 kq k = +導(dǎo) h-2=,q M力T)q +-6=1+ 009Q4 (/)“4萬力P ft = lco kDX=E(X9-(EX),=一1+/();2 .方差的計算公式:關(guān)于方差的計算,除了直接用定義外,還經(jīng)常采用下面 的公式;D(X) = (Xa)-(X)證 O(X)nX-E(X)巧= X- 2Y(X) + C(X)(X2)-E2XE()3 + (X)T)=E(X2) - 2ECX) - (X) + C(Z)2 *= E(六)E(X)T.方差的性質(zhì)性質(zhì)1 設(shè)C為常數(shù),則4X

6、0=0,性質(zhì)N當(dāng)C是常數(shù)時,D (CX) =d()性質(zhì)8 設(shè)x與y互相獨(dú)立,則D(X + Y)=Dm + D(y)證 zXx + v)=Et(x+r)-浦2=E1(x-E(;n)+y-E(y)v= EX-g(X)P+E(y一 日(K)】1+ 2EC(X - H(X)(y 1/n 倍.n個相互獨(dú)立隨機(jī)變量算術(shù)平均數(shù)的方差等于其方差算術(shù)平均數(shù)的 性質(zhì)。9(/)=石(才%)一1以不廳例1設(shè)X服從兩點(diǎn)分布,分布律為P X = 1 )=/ 尸(x= o)w 1-Pq 則因 E(X) = A故有刀(1)=與匚太一后(犬為* = (工一。尸 =(1 P )+( 0- =g*+/*Lpg例3 設(shè)X服從參數(shù)為k

7、的指數(shù)分布.I入 才 o f(X) =、lo 其它 求。(才).F(X) =再求式(矛 AE (JV1) = J 必 f O )d.= X j & 利用性質(zhì)4,DC)qE(x3)-1E(x)r=京-十在【例4】已知X = 3,DX n 5,則E(X+2二?解:【例5】已知DX = 8,DY = 4,且X.Y獨(dú)立,則DOX- Y) =?群 D(2X -Y) = iDX + DY = 4X8+ 4= 36【例6】設(shè)X85 .白),求D(X)解:令乂表示第i次貝努里試驗(yàn)中成功的次數(shù),則用的分布律為:1)(凡 二31 一戶)$里目X包由X】士5,2)舉出疝IX=步,因?yàn)檎?左,,X.和互獨(dú):故由方荽的

8、性叫 得Mzxx) = Zsxj = nfia 一 力).i=此題若是直接計算D(X),則比技麻煩。(參看另外,耿X) = E( VxJiHl2 磯 X,) n p三.幾個常用的隨機(jī)變量的期望與方差:(1) 二點(diǎn)分布:隨機(jī)變量X的分布為則 E(X) p, D(X) pq易知.對于。-1分布,在參數(shù)時,方若D(X)最大,為(2二項分布若隨機(jī)變量X服從二項分布2?(*A,即其分布列為則E(X)=nm D(X)= m*.q 1 p證明:設(shè)XB (n, p).不妨設(shè).已知E (X) = .而用月(肥)=2;也沙卬一次Jt - 0=卦代一.品與產(chǎn)”玄MLX = 2(K-2)!d一日(n-2) d-k。!

9、XpeqE-i - +EU)= n(n 1),上 +工夕.D(y)= E(X2)-E3(X)= n(n 1)加+ np 相 p, = npq .如:擲一顆骰子1620次,則“六點(diǎn)出現(xiàn)的次數(shù)X的期望,方差谷為多少T解 據(jù)題意X服從片=1儂,# =卷的二項分布,即X 8(1620,)6所以EX = / = 1620 X -j- = 270 0= ”g = 1620 X X -*- = 225(3)泊松分布設(shè)X服從參數(shù)為4的泊松分布.其分布律為工PX = m = m!則X的數(shù)學(xué)期望為,m = 0.1 +2,。入 0JW 1咨- 公 m!另外:Eg =E(X(X-D + X)= E(X(X- 1)=y

10、ni(m 1) e-A + A 上胸!二 )-2氏咚E +】=矛 L+ JI =矛 + 4所以 D(X) = E(xy - C(X)12 =為泊松分布只含一個參數(shù)入因而知道了它的數(shù)學(xué)期望或方差,就能完全確定它的分布?!纠?】設(shè)XN(1,2),y服從參數(shù)為3的泊松分布,且 xi獨(dú)立,求D(xn。解 D(XY) = E(XYY 一 E(XY)丁=EX1 EY1 一 (EXyEYY=2+ P)(3 + 3s) -(IX 3)x=36 9 = 27PX = m)=(和=0 + 1 + 2*J)Z -mLn(A/rt) ,則E(X)=端,D(X) =蟄 MaNMMNGN/N-D其中心M十N為自然數(shù)(5)

11、幾何分布:0p= 1-001 Oi則EX 1,DX -(8)正態(tài)分布:X : N( , 2),則EX , DX2證明:2. 1 / 2WWFWT / , _ q SlilF(jT .八 2也可以用卜而方法來證明:與P . 8 5習(xí)題九4類似,中 瞥1/E(V)tJ - - - V 2x3與院全 1=G - JL-五 d年(AD),L2設(shè)二可仇1),d化241z二=皂idx八N5,力挪么,F=湍二千服從(。川,即以丫 =?!傲耍?】則 E(Jt2) = E(+/)=E(/ + 2rF + dV)= / + 23(P) 4 /E(y)= / + 2卬 *0 +cr*l22=pt + 仃.D(X) = E(X2)- (E(X)2-2 1222=yu 產(chǎn)=cr .由此,我們知道;正態(tài)分布淤)的兩個參數(shù)外/恰為x的數(shù) 學(xué)期望和方差.對一般的隨機(jī)變量X,作變換 1 ZdO) ,那么 E(Y) = ExE(X)Zd(a)-;z4(E(X)-E(X)=0.ZoTTd( y) = dX-EC)/D(l) /X-E(A)2E( /DO)E(X-E(X)2 =n(x)DU) 1 D(X)-L稱丫為1的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變.例8若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率

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