導(dǎo)數(shù)數(shù)列不等式

1、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式導(dǎo)數(shù)與數(shù)列型不等式的交匯問題， 體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的工具性，凸顯了知識(shí)之間的 縱橫聯(lián)系，一些題構(gòu)思精巧、新穎，加強(qiáng)對(duì)能力的考察，逐漸成為高考的新亮點(diǎn).1 .已知函數(shù)fg e.令 h(x) , h'(x) x ax 1 ( a 0, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)的最小值;(2)若f(x) 0對(duì)任意的x R恒成立，求實(shí)數(shù)a的值;(3)在(2)的條件下，證明：d)n (-)n L n n(n(-)nnaln a解析：(1)略；(2) f(x)min 0,由(1)設(shè) g(a)(3)由(2)知，因?yàn)閍 1 ,所以對(duì)任意x ,均有exex,令k0,1,2,L ,n 1 ,貝

2、U 0 1 一 n(1-)n nk(el于是，白n(2)n Ln(n J)nn(n)nn(n 1) (n 2) e e2.已知函數(shù)f (x) kx ,g(x)In xx(D求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若不等式f(x) g(x)在區(qū)間(0,)上包成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(3)ln2 In 3求證：-2434解析：(1)函數(shù)g(x)In n 1n4 2e皿的單調(diào)增區(qū)間為(0,e),單調(diào)減區(qū)間為(e,). x1 2 In x3,xln x2 2)x 0, kx , kxIn x 人 In x令h'(x) 0 ,解得x 捉；當(dāng)x變化時(shí)，h(x) , h(x)變化情況如下表:增減一1一1故

3、 h(x) h(Ve)，則k 一. 2e 2e1(3)由(2)知萼工，萼工2(x 2),(兩邊同時(shí)乘以) x2 2ex42e x3.已知函數(shù) f (x) tx t In x .(1)若函數(shù)“*)在1,)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；111(2)當(dāng) n 2且 n N 時(shí)，證明：ln n.In 2 ln3 In n解析：(1)實(shí)數(shù)t的取值范圍為1,).)上為增函數(shù)，f(x) f (1) 0 ,(2)由(1)知，令 t 1,則 f(x) x 1 lnx 在1,即x 1 ln x ,當(dāng)且僅當(dāng)x1ln nln2 ln3ln().n 11ln n1時(shí)取等號(hào).2 ln n ln(-)13ln(2)只需證1

4、 ln x中取xn (nn1x (n 2),易知 x 1 ,則n 1n 1ln nln(3.n 1在x 1 ln x中取綜上可知工 ln(工)成立，則原命題成立.ln n n 14.已知函數(shù) f (x) ln(x 1) k(x 1) 1.(1)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；(2)若f(x) 0包成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍.(3)證明：叱垣 JnJ將(n 4)(n 1) (n N,n 1).3815n2 161 一- 一斛析：(1)函數(shù)的止義域?yàn)?1,), f (x) k .當(dāng)k 0時(shí)f (x) 0, f(x)x 111在(1,)上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)k 0時(shí)，f(x) , k 0, x 1，x 1

5、k當(dāng)x變化時(shí)，f(x), f(x)變化情況如下表:增減x1 一一 ,一，1 1為極大值點(diǎn).1 函數(shù)f(x)在x 1 ，處取得極大值, k(2)由(1)知，k0 時(shí)，f(2)1 0, f (x) 0不包成立，故只需0.當(dāng) k 0時(shí)，f(x)max1f(1) lnk0, k 1.(3)由(2)知，當(dāng)k1 時(shí)，ln x x1,(x 1 ) , ln n3n3 1 (n 1)(n21),(n1)(n 1)2,所以,ln 23ln3 ln4 .815 Lln n2 nln n- 1，131 (3 4 53(n 1) (n 4)(n 1) 6引申:(4)證明：當(dāng)x2時(shí)，ln(x 1) n ln i n(n

6、 1),2； i- V(n1).1時(shí),22ln n n 1(n 1)(n1),ln n n 1n 12所以ln 23ln34ln 4l ln n5 n 1(5)In xx 1,令 x n21-(1 22ln nL (n 1)(n 1)(1 (n 1)n(n 1)45.已知函數(shù)f (x) ax(a 0),的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為(1)用a表示b, c；(2)若 f (x) lnx 在 1,上包成立，求a的取值范圍;、1(3)證明：1 2ln( n 1)n2(n 1)解析：(1) b a 1 , c 1 2a ；人a 1令 g(x) f (x) ln x ax (1x(2)由(1)知

7、，f (x) ax -a- (1 2a), x2a) lnx, g(1) 0 (關(guān)鍵信息).a(x 1)(x -a)g (x) 2a.,x當(dāng)0 a 1時(shí)，91 ,若12 a1ax ，則g (x) 0 , g(x)單調(diào)遞減，所以ag(x) g(1) 0,即 f(x) lnx , f(x)ln x在1, 上不包成立;11a當(dāng)a 時(shí)，1,右x 1 , g (x) 0,g(x)單調(diào)遞增，所以g(x) g(1) 0.2 a即f(x) In x ,故當(dāng)x 1時(shí)，f (x) Inx在1, 上包成立.綜上所述，所求a的取值范圍為 L(3)由(2)知,1當(dāng)a 2時(shí),2L人1f (x) ln x ,且 x 1,令

8、 a -，有2f(x)11 112-x -1 1 k 1一 2 k11-(x 一)ln x ,且當(dāng) x2xk),即 ln(k 1) In k k 111k 1.1 時(shí)，-(x -) In x.令 x ,有2 xk2(1),k 1,2,L ,n.111n將上述n個(gè)式子相加，得1 1 1 L - ln(n 1) - 2 3 n2(n 1)一,b6.已知f (x) ax 一 2 2a , a 0的圖像在點(diǎn)(1, f (1)處的切線與直線y 2x 1 x平行.(1)求a,b滿足的關(guān)系式;(2)若 f (x) 21nx 在 1,上包成立，求a的取值范圍;(3)證明：1 1 1 L 3 5解析：(1) b

9、 a 2；(2)由(1)知，f(x)g(x) f (x) 21n x ax當(dāng)0 a 1時(shí)，2a a-1n(n 1) n.2n 1 22n 1a 1人ax (1 2a),令 f (x)xa 2(2 2a) 21nx, g(1) x2 a -1 ,右 1 x ,貝 g (x)aa 2ax (2 2a),x0 (關(guān)鍵信息).0 , g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)g(1) 0,即 f(x) 21n x , f(x) 21n x在 1,上不包成立;當(dāng) a 1 時(shí)，2a 1 ,若x 1 , g (x)a0, g(x)單調(diào)遞增,所以g(x) g(1) 0.上包成立.即 f(x) 1n x ,故當(dāng) x 1 時(shí)

10、，f (x) 21nx在 1,綜上所述，所求a的取值范圍為1,.1(3)由(2)知，當(dāng) a 1 時(shí)，f (x) 21n x,且 x 1,令 a 1 ,有x - 21n x , x且當(dāng)x 1時(shí)，x2k 1 2k 112k 1一 21nx.令 x x2k 12k 112ln,所以，ln(2k 1) ln(2k 1)2k 1 12k 12k 1將上述n個(gè)式子相加,12k 11 13 57.設(shè)函數(shù)f(x) Inx2k 1 2k 1 2k 12ln2k 1 2k .2k 11 2k 1In -2k 1 2k1,2,L ,n.2n 11-ln(n 1)即:n2n 1,9 .(1)當(dāng)a 2時(shí),f(x)k只有

11、一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍;(2)當(dāng)a 2時(shí),試比較f (x)與1的大小;(3)證明：ln(n1)3解析：(1) k3 ln2 或 k1732L 2nh.(x(2) h(x) ln x1當(dāng)xx 11時(shí),h(x) h(1)時(shí)，h(x) h(1)(3)由(2)的結(jié)論，當(dāng)則有l(wèi)nk" k得 ln(n 1)12k 1158.設(shè)函數(shù) f(x) ln(10,x 1 時(shí)，h(x)x 1 時(shí)，In x即f (x) 1;當(dāng)0 xh(1) 0 ,即 f(x) 1 .1,2,3,L ,n,將上述n個(gè)式子相加,12n 1x) , g(x) xf'(x), x 0,其中 f'(x)是 f (

12、x)的導(dǎo)函數(shù).(1)g1 (x) g(x),gn(x) g(gn(x),n N，求 gn(x)的表達(dá)式;(2)若f(x) ag(x)包成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)設(shè)n N ,比較g(1) g(2) L g(n)與n f(n)的大小，并加以證明.解析：(1) f (x) ln(1 x) , g(x) xf'(x), x 0,f,(x)xg1(x) g(x)'gn1(x) g(gn(x), .g1(x)g2(x),、 x一 ,g(x)-一x1 xx,x 1 2x1 xx假設(shè)當(dāng) n k 用時(shí)，gk(x) x,則gk1(x) kx- x 當(dāng) n k 11 kx1 x 1 (k i)

13、x1 kx時(shí)，gk 1(x)一x一也成立.1 (k 1)xx綜上，gn(x) , n c N1 nxx(2)f (x) >ag(x) , g(x) ，ln(1 x)1 xax>0 ,1 xx >0.令 h(x)axln(1 x) ，x 0 ,易知 h(0) 0,則 h'(x) 1 x1a(1 x x)1 x (1 x)21 x(1 x)a. 一；x 0.當(dāng) a 1 時(shí)，h'(x)0在x 0上包成立,h(x)在0,)上單調(diào)遞增，h(x) h(0) 0,滿足條件;0 ,解得0 x a 1.于是h(x)h(a 1) h(0) 0 ,與題設(shè)矛當(dāng) a 1 時(shí)，令 h'(x) 0 ,解得 x a 1,令 h'(x)在0,a 1上單調(diào)遞減，在(a 1,)上單調(diào)遞增,盾，綜上可知a 1.(3) g(1) g(2) L g(n) n f (n),證明如下：要證 g(1) g(2) L g(n)12 1n 1