數(shù)學(xué)分析課本(華師大三版)-習(xí)題及答案第九章

1、第九章定積分、填空題1. lim (n.二12.3.4.4n2 -1、4n2 .22sinxxim00 (1 t)tdtxsint .dtmax 1, x- 22 dx =x設(shè) f(x) = .0cost21 sin t則02f'(x)_ 21 f2(x)dx =5.設(shè)f(x)在b,4】上連續(xù)，且x2< cf f dt=x73 ,則 f (2) =sin tdt 一 ln . 1 x26.7.n2i_JLi2 x sin x2(1 cosx)dx =8.f (x)f (-x) dx =,其中f(x)連續(xù)。10.設(shè)2 f(x)dx f(x)11.若sndx = b,則1 cosx(

2、1 x)2 dx =12.設(shè). . .df (x)連續(xù)，則- dxx 一 220tf(x2 -t2)dt =13.d 0,2,2 xcost dt 二 dx x14.sin2 x - cos2 xdx15.sin 二1 -2xcos ' x2dx 二16.(cos x) cosx - f' (cosx)sin2 x dx17.ji二 xf '(x)dx =2sin x .設(shè)f(x)有一個(gè)原函數(shù)，則 x.一4一1x .18.右 yw1,貝U fxyedx =219 .已知 f (2x)=xex1,則 qf(x)dx =20 .已知 f (x)在(_oo,y)上連續(xù)，且 f

3、(0) = 2,且設(shè) F(x)= inxf (t)dt ,則F (0)=21.2xe -x-1設(shè) f(x) = 3xx . .23.sint dt xx 二 0則 lim f (x)=x_0x 022.x 2t -1, i函數(shù)中(x)=二dt在區(qū)間0 2l上的最大值為0 t2 -t 123.若已知 f(x)滿(mǎn)足方程 f (x) =3x 、1 x2 ( f2(x)dx ,則 f(x) =已知函數(shù) f (x) = Q(1 t )dt (x 至-1),則f(x)與x軸所圍成的面積為2一， x25.函數(shù)y二1-x2在區(qū)間13I1,上的平均值為一2二、選擇填空4.4若 f(x -5)=x -10x40

4、f (2x 1)dx=()A.0nB. 一4C.是發(fā)散的廣義積分D.是收斂的廣義積分2.若已知3.A.0B.1C.2D.-2設(shè)f(x)是以l為周期的連續(xù)函數(shù)，則a.僅與a有關(guān) b.僅與a無(wú)關(guān)a -(k -1)l“*»*之值()a 'kic.與a及k均無(wú)關(guān)d.與a和k均有關(guān)1f (0) =1, f(2) =3, f'(2) =5 ,則 j0xf *(2x)dx =x 2224.若xt 0時(shí)，F(xiàn)(x) = 0 (x2 t2)f (t)dt的導(dǎo)數(shù)與x進(jìn)等價(jià)無(wú)窮小，則必有()(其5.f有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)A. f (0) =1)oB. f (0) 12C. f (0) -0D. f

5、"(0)不存在2n-x4 .1若 f(x) = hm -n 二1 x2n2x ,且設(shè)(f (x)dx = k ,則必有()。A. k=0B. k=1C.k=-1D. k=2x2x sint. 6 .設(shè) f (x) = e sintdt ,則 f (x)=()A.正常數(shù) B.負(fù)常數(shù)C.恒為0D.不是常數(shù)3一 一XX.7 .已知f(t)是(叫收 W的連續(xù)函數(shù)，則 1 f (t)dt = 1中dt恒成立時(shí)，必有 甲(t)=()3332323A. f(t ) B.t f (t ) C.t f(t ) D. 3t f(t )8 .設(shè)f(x)在La,a】上連續(xù)且為偶函數(shù)，G(x)= j f (t

6、)dt,則()A. 9(x)是奇函數(shù)B. 9 (x)是偶函數(shù)C. 6 (x)是非奇非偶函數(shù)D. 6(x)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)y t x9.設(shè)y是由方程etdt hsintdt =0所確定的x的函數(shù)，則，二( dx)osin xA.1 一 cosxsin xB.cosx 1cosxD.cosxeysin x11.設(shè) M = 22-21 x6.cos xdx,2 , . 36、，N = 112r(sin x+cos x)dx ,-22. 36x sin x -cos x)dx ,則有()A. N :二 P :二 MB. M二 P :二 NC. N :二 M :二 PD. P :二 M :二

7、 N13.若f (x)是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且f (0) = 0,設(shè)中(x) =x0tf(t)dt,x=0 , x# 0,0 ,x = 0則彳'(0)=(A. f'(0)1 .B. f'(0) 3C.11D.-314.若設(shè) f(x)ddxx0 sin(t -x)dt ,則必有()A. f (x) = -sin xB. f (x) = -1 cosx C. f (x) = sin x D. f (x) = 1 - sin x15.2x 1t2d x若x = x(t)是由方程t I e dt = 0所確定，則-jp-之值為()t=0A.0B.12c. eD.2e216.定積

8、分定義f(x)dx=limN f(£)Axi,說(shuō)明( aA a,b必須n等分，G是仄-，為端點(diǎn)。B a,b可任意分法，0必須是x-,x端點(diǎn)。C a,b可任意分法，7u = maxAxjT0,。可在xi,，x 內(nèi)任取。D a,b必須等分,m m max Axi I°，匕可在x,x 內(nèi)任取。b17 .積分中值定理 f (x)dx = f (D(b a)其中() aA 是a,b內(nèi)任意一點(diǎn)B亡是a,b內(nèi)必定存在的某一點(diǎn)C 、是a,b內(nèi)唯一的某點(diǎn)D :是a,b內(nèi)中點(diǎn)bb18 .設(shè) f (x)與 g(x)在a,b上連續(xù)，且 f (x)dx > g(x)dx ,則 f (x) &g

9、t; g(x)成立的情況是()A當(dāng)一0° c x < 十°0時(shí)均成立B a < x < b時(shí)成立C在a,b之間至少有些點(diǎn)使之成立D在a,b內(nèi)不可能成立r 2_一 x , 0 < x <1 m x19 .若 f(x)=，3則邛(x) = 1 f (t)dt 在開(kāi)區(qū)間(0,2)上()x, 1 < x <20A有第一類(lèi)間段點(diǎn)B有第二類(lèi)間段點(diǎn)C兩種間段點(diǎn)都有D是連續(xù)的 d x 一一20.若設(shè) f (x) = - 0 sin(t -x)dt,則必有A f (x) = -sin xB f (x) = -1 cosxCf(x)=sinxD f(x

10、)=1-sinx21.下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()bA若f (x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，則f f(x)dx存在aB若f (x)在a,b上可積，則f(x)在a,b上必有界C若f (x)在a,b上可積，則f (x)在a,b上必可積D若f(x)在a,b上單調(diào)有界，則f (x)在a,b上必可積22.下面結(jié)論正確的是()bdA 若a,b3c,d,則必有(f (x)dx 之f (x)dx ；B若f (x)可積，則f(x)必可積；C若f (x)是周期為T(mén)的函數(shù)，則對(duì)于任意常數(shù)a都有a TTa f(x)dx =0 f(x)dxD若f(x)在a,b上可積，則f (x)在(a,b)內(nèi)必定有原函數(shù)。23.下列各式不等于零的是

11、()1. 1 一x .A 21cosxlndx至 1 xc 523 x cos x ,2一dxv x 3x -2C 9 sinx dx21 -cos2x3 dx1 .(x-1)(3-x)x 2 "： cint24.設(shè) F(x) = L e sintdt,則 F(x)()(A)為正常數(shù);(C)恒為零；(B)為負(fù)常數(shù)；(D)不為常數(shù)；25.d x 一 22 一設(shè) f (x)連續(xù)，則 一 tf (x2 t2)dt=(dx 02、(A) xf(x );2、(B) -xf(x );2、(C) 2xf (x );三、計(jì)算題1 .按定積分定義證明：b(1) k kdx = k (b - a )；

12、ab x b a(2) e = e - ea2 .根據(jù)定理10.11,試比較下列各定積分的大小。1.12(1) ( xdx 與 x dx1 11(2) 2 xdx與 Fsinxdx f xdx 0002、(D) -2xf (x );3.求下列極限:(1)(11)(13 )(15 )(16 )(17 )(18 )(19 )(20 )x 2 ,cost dt(1) lim -x0x(2) limX)二X t22(oet dt)2x 2e2t2dt4 .計(jì)算下列定積分:10(2x +3dx；11 x 2rdx ；01 x2dxX 1In 2e -1 e(6 )tg2xdx ；4 dxl；9 1. x

13、I2/ c、 e ln x , (8)1dx ;e x二 1J2 cos xsin2xdx； (10) 0<4-x dx ；fax2 0v'a2 -x2dx(a a 0 )；o1；0 e e1arcsin xdx ；0，nex sin xdx ；e1 ln x dx ；eyr;cosx:-dx ；)1 sin xP2 _axdx(a >0)； a x5 .應(yīng)用定積分概念求下列極限:2n(1)lim n -21+ 2 1 2 + + 工 Tn2 + 1 n2 +22 2n2 !(3) lim sinX+sin+./sinU n-n 1n nn J+ ,一,n n 16 .設(shè)f

14、具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，試求:a x-tf tdtadx、 e , d x并用此結(jié)果求o x -t costdt四、證明題b1 .證明：f（xdx=J存在的充要條件是：對(duì)任意一積分和T f （Tn。=1,2,），只要aflimlTnlU 0,都有l(wèi)im £ , （Tn）=J.（這里T /Tn）是指f對(duì)某一分割Tn及所屬的某n ）二二n ）二二 ff一介點(diǎn)集所作的積分和）。2 .證明性質(zhì)2中的第一個(gè)不等式：設(shè) T'為分割T添加P個(gè)分點(diǎn)所得到的分割，則sT < s T P M -m T3 .證明：用工T）=s （達(dá)布定理中的第一個(gè)極限）。4 .證明：若T'是T增加若干個(gè)分

15、點(diǎn)T所得的分割，則 W Wx； <Z WQxi T 'T5 .設(shè)f, g均為定義在a,b】上的有界函數(shù)，證明：若僅在a,b】上有限個(gè)點(diǎn)x處f（x）0g（x）, 則當(dāng)f在a,b】上可積時(shí)，g在ia, b】上也可積，且bba f = a g6 .證明（可積的第三充要條件）：有界函數(shù)f在a,b】上可積的充要條件是：對(duì)任給正數(shù)名，n,存在某一分割 使得屬于T的所有振幅Wi?”的小區(qū)間:的總長(zhǎng)不超過(guò)名。7 .應(yīng)用上題的結(jié)論證明黎曼函數(shù)R x在a,b 1 0,11上可積，且積分值等于 0。8 .設(shè)f在a,b】上有界，an u k b】，且lim = c, cw b,b】，證明：若f在b,b上

16、只有“T 二二an(n =1,2的間斷點(diǎn)，則f在Lb】上可積。9 .證明：若f與g在kb】上可積，則bi g i = af g.其中。產(chǎn)i是&內(nèi)的任意兩點(diǎn)。T =也由=1,2, . n.10 .討論f、f、f 2三者之間的可積性關(guān)系。11 .證明：若f在區(qū)間a,b上可積，a Met Mb ,由定理10.10,f在a,b上可積，又u'< P <b ,再由定理10.10, f在a, b上可積。12 .證明下列不等式：1二(1)dx 二.1.221 -sin x21 x21 < e dx <e;冗”.2sinx1 < 12dx < ;0 x 2(4

17、)J,3. e :4e ln xdx : 6明 證O-2fb - I a.x13 .設(shè)f在a, b上連續(xù)，且f x = Q x a,b 114 .證明：1 x(1) lim dx =0n >： ： 0 1 xn(2) lim 2sin xdx =0n ”1015 .設(shè)f, g都在a, b上可積，證明M (x )= maxf (x )g(x，與 m(x )= minf (x )g(xxa,bx-a,b在a, b上也可積。16.設(shè)f在a, b上可積，且在a, b上1 ,>m >0,證明函數(shù)一在a, b上也可積。fb17. (1)設(shè)f在a, b上連續(xù)，且對(duì) a, b上任一連續(xù)函數(shù)g

18、均有fg = 0 ,證明af (x )三 0, x w a, b。(2)設(shè)f在a, b上連續(xù)，且對(duì)于所有那些在a, b上滿(mǎn)足附加條件 g (a) =g (b) =0b的連續(xù)函數(shù)g有j fg = 0,證明在a, b上同樣有f(x )=0O18 .證明：若f在a , b上連續(xù)，b b且 af = ax =0,則在(a,b )內(nèi)至少存在兩點(diǎn)Xi ,x2使得 f (Xi )= f (x2) =019 .設(shè)f為連續(xù)函數(shù)，u與v均為可導(dǎo)函數(shù)，且可實(shí)行復(fù)合：fou, fov,試證明:dx j；卜 t dt = f L(x 上僅)f U(x)U*(x)x20 .設(shè) f (x)在a, b上連續(xù)，F(xiàn)(x )= a

19、 f(t 卜t dt.證明：F"(x)=f(x)21.設(shè)f在-a, a連續(xù)，證明：(1)若f為奇函數(shù)，則a(2)若f為偶函數(shù)，則aa20f22 .設(shè)f為(-叱收)上以T為周期的連續(xù)函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)a,有T a23.證明：若f"為a, b上的連續(xù)函數(shù),則 xf "= bf'(b )f (b J國(guó)'(a )f (a1a24.71J(m,n )=(2sinm xcosn xdx(m,n為自然數(shù))，n -1 .證明 J(m,n )=J(m,n -2 m >2),并求 J (m, n)m n25 .證明下列關(guān)系式：(1) ln n 1 ： 1 T1 ,：1 ln n n111 ,-二1(2) lim -2nf ： In n26 .設(shè)f為所示區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明:(1)f2f (sinx dx = 12 f (cosx dx ；00冗, 、 n Ji .、xf sinx dx 二一 f sinx dxJIf2a_2xa2a2 dxx 2x五、考研復(fù)習(xí)題1 .證明：若f在a, b上可積，且具有原函數(shù)F,則baf =Fb -Fa1并應(yīng)用此結(jié)果計(jì)算°f,其中1. 11c2x sin cos, x = 0f (x )= xx0