連續(xù)隨機變量的產(chǎn)生方法(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.4 隨機變量的產(chǎn)生方法產(chǎn)生隨機變量的方法有許多種，對于給定的隨機變量，可根據(jù)其特點選擇其中一種或幾種方法。仿真對產(chǎn)生的隨機變量首先是要求其準(zhǔn)確性，即由某種方法產(chǎn)生的隨機變量應(yīng)準(zhǔn)確的具有所要求的分布；其次是快速性要求，在離散事件仿真中，一次運行往往需要產(chǎn)生幾萬甚至幾十萬個隨機變量，這樣產(chǎn)生隨機變量的速度將極大地影響仿真的效率。產(chǎn)生隨機變量的方法主要有反變換法、舍選法、組合法、卷積法。2.4.1 反變換法反變換法是最常用且最直觀的使用方法，它以概率積分變換定理為基礎(chǔ)。定理. 設(shè)是連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)上升的分布函數(shù)，它的反函數(shù)存在，且記為，即. (1) 若隨機變量的分布函數(shù)，

2、則 (2) 若隨機變量，則的分布函數(shù)為設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，為得到隨機變量的抽樣值，先產(chǎn)生在區(qū)間上均勻分布的獨立隨機變量，由反分布函數(shù)得到的值即為所需要的隨機變量：。這種方法是對分布函數(shù)進行反變換，因而取名為反變換法。反變換法的原理可用圖加以說明。 隨機變量概率分布函數(shù)的取值范圍為，現(xiàn)以在上均勻分布的獨立隨機變量作為的取值規(guī)律，則落在內(nèi)的樣本個數(shù)的概率就是；從而隨機變量在區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率密度函數(shù)的平均值為；當(dāng)趨于0時，其概率密度函數(shù)就等于，即符合原來給定的密度分布函數(shù)，滿足正確性要求。當(dāng)是離散隨機變量時，其反變換法的形式略有不同，原因在于離散隨機變量的分布函數(shù)也是離散的，因而不能直接利用反函

3、數(shù)來獲得隨機變量的抽樣值。下面討論這類隨機變量的反變換法。設(shè)離散隨機變量對應(yīng)于取值，的概率分別為，其中，且，其分布函數(shù)如圖所示。為使用反變換法獲得離散隨機變量，先將區(qū)間按的值分成個子區(qū)間，然后產(chǎn)生在區(qū)間上均勻分布的獨立的隨機數(shù)。根據(jù)的 值落在何區(qū)間，相應(yīng)的隨機變量就是所需要的隨機變量。離散隨機變量的反變化法的步驟如下：(1) 按的成遞增順序排列；(2) 產(chǎn)生；(3) 求非負整數(shù)，滿足(4) 令反變換法是連續(xù)隨機變量的普遍適用的方法，其關(guān)鍵是計算分布函數(shù)的反函數(shù)的顯式表達式。2.4.2 舍選法舍選法的實質(zhì)是從許多均勻分布的隨機數(shù)中選出一部分，使其成為具有給定分布的隨機數(shù)它適用于連續(xù)型或離散型，單

4、變量或多變量的分布函數(shù)的反函數(shù)難以顯式表達的情況。設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，的最大值為，的取值范圍為。若獨立的產(chǎn)生兩個區(qū)間內(nèi)的均勻分布的隨機變量，則是在區(qū)間內(nèi)均勻分布的隨機變量，若滿足式：，則選取為所需要的隨機變量，即，否則舍棄。舍選法的原理可以用圖加以說明。 從圖形上看，在這塊矩形面積上任投一點，的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，若該點位于曲線下面，則認(rèn)為抽樣成功。成功的概率為下的面積除以總面積，下的面積的值等于分布函數(shù)的值。由于假設(shè)隨機變量的取值范圍為，因而該面積的值為1，那么成功的概率就是，成功抽樣的點符合所需要的分布。舍選法是根據(jù)的特征規(guī)定一個函數(shù)，對的要求是：(1) ；(2) ；這樣，令 ，則 從

5、而可將其看作是一個密度函數(shù)，并用代替取樣，以得到所需要的隨機變量。舍選法的步驟為：(1) 產(chǎn)生(2) 由獨立地產(chǎn)生隨機變量(3) 檢驗，若滿足，則令，否則返回第一步。2.4.3 組合法當(dāng)一個分布函數(shù)可以表示成若干個其他分布函數(shù)之和，而這些分布函數(shù)較原來的分布函數(shù)更易于取樣時，則宜采用組合法。設(shè)隨機變量的分布函數(shù)可寫成如下形式： 其中，是其他類型的分布函數(shù)?；?qū)㈦S機變量的密度函數(shù)寫成如下形式：其中是某種類型的密度函數(shù)，與它相應(yīng)的分布函數(shù)為。則組合法產(chǎn)生隨機變量的步驟如下：(1) 計算累積分布函數(shù)，并令。(2) 產(chǎn)生兩個獨立的均勻分布隨機數(shù)和。(3) 若，則的隨機數(shù)從概率密度函數(shù)中產(chǎn)生，即根據(jù)獲得

6、服從的隨機數(shù)，并取。(4) 若不需要新的隨機數(shù)，則停止，否則返回第二步。 2.4.4 近似法近似法是指一種利用一些定理或公式來近似地產(chǎn)生所需要隨機數(shù)的方法，這種方法一般用于分布函數(shù)比較復(fù)雜難以對其求解的情況，如正態(tài)分布。(1) Box-Muller坐標(biāo)變換法該方法是Box and Muller提出的，設(shè)，是兩個獨立的隨機變量，則其聯(lián)合密度函數(shù)是 將其轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)形式： 則 其中為雅可比行列式，即 從而可得：其中，分別為隨機變量，的密度函數(shù)它們相應(yīng)的分布函數(shù)為： 對隨機變量，來說，它們的分布函數(shù)均具有封閉形式，因而可以采用反變換法，即獨立地產(chǎn)生兩個區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)，分別對，進行反變換，可得

7、： 由于也是隨機變量，故可令根據(jù)，與，之間的變換關(guān)系得(2) 中心極限定理法 設(shè)為獨立同分布的隨機變量的隨機變量序列，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機變量 的分布函數(shù)對于任意，滿足設(shè)任意均值和方差的正態(tài)分布的隨機變量，其均值為，方差為；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量為，則有： 許多文獻認(rèn)為已經(jīng)足夠精度。當(dāng)時，上式為 2.5 隨機函數(shù)發(fā)生器的建立2.5.1 正態(tài)分布 若隨機變量是具有均值為、方差為的正態(tài)分布，其密度函數(shù)為： 正態(tài)分布的密度函數(shù)如圖所示。 其分布函數(shù)為： 由于分布函數(shù)無直接封閉形式表達式，因此不能用直接利用反變換法求解其隨機變量表達式，目前最常用的方法是：一種是Box-Muller坐標(biāo)變換

8、法，即將其轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系得到其封閉形式后，采用反變換法；另一種是按照中心極限定理采用近似法產(chǎn)生。 Box-Muller坐標(biāo)變換法： 設(shè)和是兩個相互獨立的均勻分布隨機數(shù)，作Box-Muller坐標(biāo)變換則和是連個相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機數(shù)。由于三角函數(shù)計算量大，因此，把，換為在單位園內(nèi)取隨機點，由代替，而該點與軸的角代替，則,，顯然，是（-1,1）上的均勻隨機數(shù)，若,則 程序算法如下：(1)獨立產(chǎn)生兩個隨機數(shù)，；(2)令，；(3)若，舍棄，返回 第(1)步；(4)否則，令 程序框圖： 中心極限定理：設(shè)為獨立同分布的均勻分布隨機變量的隨機變量序列，其均值為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量為，則有：許

9、多文獻認(rèn)為已經(jīng)足夠精度。程序算法如下：(1) 產(chǎn)生均勻分布隨機序列(2) 計算(3) 輸出 程序框圖：2.5.1.2 驗證正態(tài)隨機函數(shù)發(fā)生器 圖和是在Visual Basic環(huán)境下分別調(diào)用兩種方法產(chǎn)生的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機函數(shù)發(fā)生器一萬次，并將其結(jié)果分為21個區(qū)段，驗證正態(tài)分布的鐘形特征。從程序運行結(jié)果看Box-Muller坐標(biāo)變換法程序運行的速度快、效率高，但產(chǎn)生的隨機數(shù)的質(zhì)量不如中心極限定理法，因此適用于仿真精度要求不高的場合。2.5.2 指數(shù)分布 當(dāng)?shù)竭_是完全隨機的時候，指數(shù)分布用來對到達時間間隔進行建模，指數(shù)分布也用于對高度變化的服務(wù)時間進行建模。在這些例子中，是速率-每小時的到達數(shù)和每分鐘的

10、服務(wù)次數(shù)。指數(shù)分布還可以用來對災(zāi)難性（瞬間）損壞的部件（如燈泡）的壽命進行建模，此時是損壞速率。 若隨機變量是具有參數(shù)的指數(shù)分布，其密度函數(shù)為： 其分布函數(shù)為： 其密度函數(shù)和分布函數(shù)如下圖：圖顯示了幾種不同的指數(shù)分布的密度函數(shù)?？v軸上的截距值總是等于的值。設(shè)為均勻分布隨機數(shù)，則由反變換法 由此得 由于和都服從上的均勻分布，上式可以簡化為 程序算法： (1)產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù) (2)計算程序框圖：2.5.2.2驗證指數(shù)隨機函數(shù)發(fā)生器圖和是在Visual Basic環(huán)境下調(diào)用指數(shù)隨機函數(shù)發(fā)生器1000次，并將其結(jié)果分為10個區(qū)段，驗證指數(shù)分布的特征。從程序運行結(jié)果看與理論十分吻合。2.5.3 三角

11、分布 三角分布的密度函數(shù)為：其中，眾數(shù)出現(xiàn)在，眾數(shù)比均值更常用于表征三角分布，它在軸上的高度是。圖所示為三角分布的概率密度函數(shù)。 其分布函數(shù)為： 設(shè)為均勻分布隨機數(shù)，則由反變換法 程序算法：(1) 產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)(2) 若，令 (3) 否則，令 程序框圖：2.5.3.2驗證指數(shù)隨機函數(shù)發(fā)生器圖和是在Visual Basic環(huán)境下調(diào)用三角分布隨機函數(shù)發(fā)生器500次，并將其結(jié)果分為10個區(qū)段，驗證端點為（0，2）、模數(shù)為1的三角分布的特征。從程序運行結(jié)果看與理論十分吻合。2.5.4 威布爾分布 威布爾分布在工程實踐中有著廣泛的應(yīng)用。最初，這種分布是在解釋疲勞數(shù)據(jù)時提出的，但現(xiàn)在它的應(yīng)用已經(jīng)擴展到許多其他工程問題中。特別地，在有關(guān)生存現(xiàn)象的領(lǐng)域中，它有廣泛的應(yīng)用。例如，當(dāng)某個對象適合“最弱鏈”模型時，此對象的壽命就服從威布爾分布。也就是說，考慮一個有許多部分組成的對象，并假定當(dāng)它的任何一部分毀壞時此對象的壽命就終止。在這樣的條件下，已經(jīng)證明威布爾分布為這個對象的壽命的分布提供了一個很好的近似。 設(shè)隨機變量服從威布爾分布，則其密度函數(shù)有如下： 威布爾分布的3個參數(shù)是位置參數(shù)、比例參數(shù)、和形狀參數(shù)。當(dāng)時，威布爾分布的密度函數(shù)如下： 圖表示了與時的幾種威布爾密度。當(dāng)時，威布爾簡化為： 是參數(shù)的指數(shù)分布。威布爾分布的