數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)

1、僅供個人參考數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)1. 等差數(shù)列的定義與性質(zhì)定義： an 1 and ( d 為常數(shù) )， ana1n1 d等差中項(xiàng)： x， A， y 成等差數(shù)列2 Axya1an nn n1d前 n 項(xiàng)和 Snna122For personal use only in study and research; not for commercial use性質(zhì)：an是等差數(shù)列(1)若 mnp q ，則 amanap aq；(2) 數(shù)列 a2n1 , a2n , a2n 1仍為等差數(shù)列，Sn， S2 nSn， S3nS2 n仍為等差數(shù)列，公差為 n 2d ；(3)若三個成等差數(shù)列，可設(shè)為a d， a， a

2、d(4)若 an， bn是等差數(shù)列，且前 n 項(xiàng)和分別為 Sn， Tn ，則 amS2 m 1bmT2 m 1(5) an 為等差數(shù)列Sn an2 bn ( a， b 為常數(shù)，是關(guān)于 n 的常數(shù)項(xiàng)為 0 的二次函數(shù))。的最值可求二次函數(shù)Sn2bn的最值；或者求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng)， 即：Snan(當(dāng) a10，d 0 ，解不等式組an0可得 Sn 達(dá)到最大值時的 n 值;當(dāng) a10，d0 ，由an10an0可得 Sn 達(dá)到最小值時的 n 值 . )an 10(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列 an，有S2 nn(a1a2n )n(a2a2 n 1 )n(an an 1 )(an , an 1為中間

3、兩項(xiàng) )S偶S奇S奇an .nd ，S偶an 1(7)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1 的等差數(shù)列an，有不得用于商業(yè)用途僅供個人參考S2 n 1 (2n1)an (an為中間項(xiàng) ) ，S奇S偶an ， S奇n .S偶n 12. 等比數(shù)列的定義與性質(zhì)定義： an 1q ( q 為常數(shù)， q0 )， ana1q n 1.an等比中項(xiàng)： x G y 成等比數(shù)列G2xy ，或 Gxy .na1 (q 1)前 n 項(xiàng)和： Sna1 1qn1)1(qq性質(zhì)：an 是等比數(shù)列(1)若m n p q，則 a ·aa ·amnpq(2) Sn，S2 n Sn， S3 n S2n 仍為等比數(shù)列 ,公比為 q

4、 n . 3求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 由 Sn 求 an 。(anSn Sn1 , n2)S1 ,n1例 1：數(shù)列 an ，111an2n5 ，求 ana122 a22n2解 n 1時， 1 a12 1 5 ， a1142n 2 時， 1 a112 a21n an2n 52221 a112 a21n 1 an 12n 1 5222得： 1n an2 ， an2n 1 ， an14(n1)2n 1 ( n2)2練習(xí)數(shù)列an滿足 SnSn 15an 1 a14 ，求 an3注意到 an 1Sn 1Sn ，代入上式整理得 Sn 14，又 S14 ， Sn是等比數(shù)列，Sn故Sn4n 。 n 2時，an

5、SnSn 1· n 1故3 4n 1 , n 23 4an14,n不得用于商業(yè)用途僅供個人參考 由遞推公式求an(1)累加法 ( an 1anf (n)形式 )例 2：數(shù)列 an中， a11，an3n 1an 1n 2 ，求 ananan 13n 1解： nan1an23n 2累加得 ana1332n 13(3n 11)232a2a13an 1(3n1)2(2)累乘法 ( an 1f (n)形式 )an例 3：數(shù)列 an中， a1an 1n，求 an3nan1解： a2·a3an1·2n 1 ， an1 又 a13 ， an3a1 a2an 12 3na1nn .

6、(3)構(gòu)造新數(shù)列 (構(gòu)造的新數(shù)列必為等比數(shù)列或等差數(shù)列 )取倒構(gòu)造 ( an 1 等于關(guān)于 an 的分式表達(dá) )例 4： a1 1 an 12an ，求 anan2解：由已知得：1an 211， 111an 12an2 anan 1an21為等差數(shù)列， 11，公差為 1 ， 11n1·11n 1 ，ana12an22an2n 1 同除構(gòu)造例 5： a11, an 13an3n ,求an 。不得用于商業(yè)用途僅供個人參考解：對上式兩邊同除以3n 1 ，得 an1an1 ，則 an為等差數(shù)列， a11 ，3n13n33n33公差為 1 ， an1(n 1)1n ， ann3nn3n 1 。

7、33n3333例 6： a11, an 12an3n 1 ，求 an 。解：對上式兩邊同除以2n 1， 得an 1an3n 1， 令 bnan2n 12n( )2n ， 則 有23n 1( 3)21 ( 3) n 1bn 1 bn，累加法可得 bnb1223 (1 ) n9 ，又 b1a11 , 則2124282233 1n5an3 1n5, an52n3。bn( )8，即( )884422 n42例 7： a11, anan 12an an 10, 求an 。解：對上式兩邊同除以 anan1，得 1120，即 112 ，則1an 1ananan 1an為等差數(shù)列， 11，公差為 2， 112

8、(n1)2n1， an1。a1an2n 1取對構(gòu)造 ( 涉及 an 的平方 )例 8： a13,an 13an2 , 求an .解：對上式兩邊取對數(shù)，得 lg an 1lg 3an2 ，由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得 lg an 12 lg anlg 3兩邊同時加 lg 3 ，整理得 lg an 1lg 3 2(lg anlg 3),即 lg 3an12 lg an , 則 lg 3an 為公比為 2 的等比數(shù)列，由此推知 an 通項(xiàng)公式。等比型 ( 常用待定系數(shù) )例 9： a11, an 13an2, 求an 。解：待定系數(shù)法設(shè)上式可化為如下形式：an1k3(ank) ，整理可知 2k2 ，則 k 1，

9、原式可化為 an 113(an 1) ，則 an1為公比 =3 的等比數(shù)列，由此不得用于商業(yè)用途僅供個人參考推知 an 通項(xiàng)公式。例 10： a12, an 14an3n 1，求 an 。解：待定系數(shù)法設(shè)上式可化為如下形式：an 1(n1)b4(an) ，整理kkn b可知 3k3，得 k1,b0 ，原式可化為an 1(n1)4(an) ，則 ann3bk1n為公比 =4 的等比數(shù)列，由此推知an 通項(xiàng)公式。提公因式例 11： a11, an 1 an1 2an , 求an 。解：上式變形為 an1ananan1，等號左邊提公因式得 anan 11an1，an 1an11an111，1為公差1

10、, 兩邊取倒數(shù)得an 11 an,1 an 1an1an1 an 1為 1 的等差數(shù)列，由此推知 an 通項(xiàng)公式。例 12： a12, a23,2an 13anan 1 (當(dāng)n2) ，求 an 。解：上式變形為 2an 12ananan 1 ,2 an1ananan 1 ，令 bnan1an ，則1 bn 1 ， bn 為首項(xiàng) b1 1,公比為 1的等比數(shù)列， bnn1n 1bn1，an1an1；2222由累加法可求得 an 通項(xiàng)公式。4. 求數(shù)列前 n 項(xiàng)和的常用方法(1) 分組求和 ( 分組后用公式 )例 13：求和 1 12 13 1n 1。2482n解：原式 =112131n1(1 2

11、 3n) ( 1111)2482n2482nn(n1)1(11)1n( n1)=22n2112n212(2)裂項(xiàng)相消 (把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng). )不得用于商業(yè)用途僅供個人參考常用：111；11 ( 11) ；1n1n 。n(n 1) n n 1 n( n 2) 2 n n 2nn 1(3)錯位相減 (通項(xiàng)可表示為等差乘等比的形式 )例 14： Sn1 2x 3x24x3nxn 1求 Sn。解： Sn12x3x24x3nxn 1x· Snx 2x23x34x4n 1 xn 1nxn1x Sn1xx2xn 1nxn1xnnn n1x 1時， Snnx

12、， x1 時， Sn1x21 2 3n1x2練習(xí)求數(shù)列nnSn 。(答案： Sn2n2 )2n2n(4)倒序相加 ( 前后項(xiàng)之和為定值。把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加. )Sna1a2an 1an相加 2Sna1 ana2 an 1a1 anSnanan 1a2a15. 求數(shù)列絕對值的前 n 項(xiàng)和 ( 根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)，分類討論 )例 15：已知數(shù)列 an的通項(xiàng) an11 2n ， bnan ，求 bn的前n 項(xiàng)和 Tn 。解：設(shè)數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，a19,公差 d2, Sn9nn(n1) ( 2) 10 n n22n5時， Tna1a2ana1a2an Sn10n n2n5時，Tna1a2a5a6ana1a2a5 a6a7anS5SnS52S5Sn50(10 nn2 )n210n 5010nn2 ,n5。 Tn10n 50, nn 25不得用于商業(yè)用途僅供個人參考僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途。For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f ü r den pers?nlichen