第二章：24隱函數(shù)求導(dǎo)ppt課件

1、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)和由參數(shù)方程所 第二章 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程0),(yxF可確定 y 是 x 的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù) .例如例如,2sin,yxx為顯函數(shù).210 xy 函數(shù)為隱函數(shù) .則稱此lnxyex可確定 y 是 x 的隱函數(shù) .把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù),叫做隱函數(shù)的顯化.例如例如, 從方程210 xy 解出1,2xy就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù).但方程0 xyxyee

2、所確定的隱函數(shù)無法顯化.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 隱函數(shù)的求導(dǎo)方法: 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對 x 求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)dydx隱函數(shù)求導(dǎo)直接導(dǎo) 然后解出d.dyx的方程)注意注意: 兩邊對x求導(dǎo)時,應(yīng)將y看成x的函數(shù),再利用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t對x求導(dǎo).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求由方程求由方程223xyy)(xyy 的導(dǎo)數(shù)d.dyx解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)22d()dxyyx得故確定的隱函數(shù)(3)2xdydx2dyydx02,(120).12dyxydxy 注意注意: (1)由于隱函數(shù)常常解不出y = f (x)的顯函數(shù)式,因此在導(dǎo)數(shù)d

3、ydx的表達式中往往同時含有x 和 y;(2) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx的表達式中的x與y由原方程F(x,y)=0所確定.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求由方程求由方程0 xyxyee)(xyy 的導(dǎo)數(shù) 和 ddyx解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)d()dxyxyeex得故確定的隱函數(shù)01dyyxdxxeydyedx0,(0).xyydyeyexdxex0d.dxyx因為,當(dāng) x = 0 時, 0ddxyx0 xyxeyex1.從原方程得 y = 0 , 所以機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求橢圓求橢圓22149xy在點3(2 ,2 )2處的切線方程.解解:

4、 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)24x29y y0y3222xy94xy 3222xy32 故所求的切線方程為322y32 (2)x即326 20 xy94xyy k 切機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求求23(1)1(25)xxxyxe的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) , 化為隱式化為隱式1ln2ln(1)ln(1)3ln(25),2yxxxx兩邊對 x 求導(dǎo)yy121x12(1)x625x1,216112(1)25yyxxx23(1)12161(25)12(1)25xxxxexxx這種求導(dǎo)的方法這種求導(dǎo)的方法稱為對數(shù)求導(dǎo)法稱為對數(shù)求導(dǎo)法機動 目錄 上頁 下

5、頁 返回 結(jié)束 例例5. 求求xyx的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù) , 得得lnln ,yxx兩邊對 x 求導(dǎo)yy111ln2xxxxln2xxyyxxln.2xxxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程( ),().( ),xtatbyt 可確定一個 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系.（2）在(2)式中,假設(shè)( )xt是連續(xù)的單調(diào)函數(shù), 則其反函數(shù)1( )tx存在,因此由參數(shù)方程(2)所確定的函數(shù)( )yy x可看作是由( )yt和1( )tx復(fù)合而成的. 現(xiàn)假定( ),( )xtyt均可導(dǎo),且( )0,t則根

6、據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t與反函數(shù)求導(dǎo)公式有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt（3）機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 設(shè)由橢圓的參數(shù)方程設(shè)由橢圓的參數(shù)方程cos ,(0)sinxattybt 確定函數(shù), )(xyy 求.ddxy解解: 由公式由公式(3), 得得xyddtyddtxddcossinbtatcot .bta sincosbtat機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 求曲線求曲線1,1xtyt在t =0處的切線方程.解解: 方程組兩邊對方程組兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得當(dāng)t =0時,曲線上對應(yīng)點為(1,1)，xyddtyddtxdd12 1 tt

7、yddtxdd12 1 t11tt 所以切線斜率故所求的切線方程為0tdykdx011,1ttt 1(1),yx 即20.xy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例8. 拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為 1tvx 求拋射體在時刻 t 的運動速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的水平分量為,dd1vtx垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即軌跡的切線方向):設(shè) 為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 那么yxo2212tgtvy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 拋

8、射體軌跡的參數(shù)方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出 (即 t = 0 )時, 傾角為12arctanvv達到最高點的時刻,2gvt 高度ygv2221落地時刻,22gvt 拋射最遠距離xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)2. 對數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法極坐標(biāo)方程求導(dǎo)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 設(shè)設(shè),)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示: 分別用對數(shù)求導(dǎo)法求分別用對數(shù)求導(dǎo)法求.,21yy答案答案: :21yyy) 1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx思考與練習(xí)思考與練習(xí)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)設(shè))(xyy 由方程eyxey確定 , (0).y解解: 方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得0yxyyey當(dāng)0 x時,由原方程得, 1y故由 得ey1)0( 求機動 目錄 上