1.2反常積分 ppt課件

1、定理定理 假假設(shè)設(shè)（1 1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)； 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .定積分換元公式定積分換元公式定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式重要結(jié)論：重要結(jié)論：偶倍奇零偶倍奇零 ( )(, ) f xRT 設(shè)設(shè)，且且以以 為為周周期期 ，則則 0 ( )d( )d . a TTaaRf xxf xx ，有有例例5 5 證明定積分公式證明定積分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)證證 設(shè)設(shè),sin1xu

2、n ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0或或1為止為止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.

3、325476122212212 mmmmIm于是于是 62 0sind xx 5 3 15 6 4 2 232 12 0 (1) d , nxxnZ 計計算算 sin , dcos d ,xtxtt 令令則則 : 01 , : 0, 2xt 且且時時故故 1 222 0 01dcoscos dnnxxttt （ ） 212 0cosdntt 26 4 2 217 5 3nn 例例6 6解解.325476122212212 mmmmIm練習(xí)題練習(xí)題12211. (4).xxdx 02. 1cos2xdx 第五章第五章 定積分定積分第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分( (廣義積分廣義積分) )定定積積

4、分分定定義義 , a b1 1、積積分分區(qū)區(qū)間間是是有有限限區(qū)區(qū)間間( ) , f xa b2 2、在在上上有有界界定積分是在有限區(qū)間上的有界函數(shù)的積分定積分是在有限區(qū)間上的有界函數(shù)的積分. 在科學(xué)技術(shù)和工程中，往往需要計算無在科學(xué)技術(shù)和工程中，往往需要計算無窮區(qū)間上的積分或者計算不滿足有界條件的窮區(qū)間上的積分或者計算不滿足有界條件的函數(shù)的積分，有時還需計算不滿足有界條件函數(shù)的積分，有時還需計算不滿足有界條件的函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分的函數(shù)在無窮區(qū)間上的積分. 這就需要我們這就需要我們將定積分的概念及其計算方法進(jìn)行推廣將定積分的概念及其計算方法進(jìn)行推廣. 我們將運(yùn)用極限的方法來完成這個工作我們將

5、運(yùn)用極限的方法來完成這個工作.一、無窮限的廣義積分一、無窮限的廣義積分引例引例211,1yxxxbx 考考察察由由曲曲線線 ， 軸軸，圍圍成成曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積1bb21bdxIx 11bx 11b ( )I b1lim ( )lim(1)1bbI bb 21dxx 21yx 1b1yx 11,1yxxxbx考考察察由由曲曲線線 ， 軸軸，圍圍成成曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積1( )bdxI bx 1lnbx lnb lim ( )limlnbbI bb 1dxx 定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間), a上上連連續(xù)續(xù)，取取ab ，如如果果極極限限 babdxxf)(

6、lim存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間), a上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b 上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無窮區(qū)間在無窮區(qū)間,(b 上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. .

7、 bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間),( 上上連連續(xù)續(xù), ,如如果果廣廣義義積積分分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都都收收斂斂，則則稱稱上上述述兩兩廣廣義義積積分分之之和和為為函函數(shù)數(shù))(xf在在無無窮窮區(qū)區(qū)間間),( 上上的的廣廣義義積積分分，記記作作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極極限限存存在在稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；否否則則稱稱廣

8、廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . sind xx 0 0 sin dlimcos 1limcos bbbxxxb 因因為為 發(fā)發(fā)散散 , sind xx 從從而而無無窮窮積積分分發(fā)發(fā)散散 0 0sindlimsinlimsinaaaaxxxdxxdx 0( )lim( )aaf x dxf x dx bbdxxf0)(lim , 等等號號右右邊邊的的兩兩項項的的極極限限過過程程是是相相互互獨獨立立的的 . ab即即與與的的變變化化不不是是一一致致的的0 0sinsinxdxxdxlimsinaaaxdx 0 收收斂斂例例1 1 計算廣義積分計算廣義積分.12 xdx解解 21xdx 021xdx

9、021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 Oxy211xy1例例2 2 計算廣義積分計算廣義積分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 ( )( )F xf x若若是是的的原原函函數(shù)數(shù)引入記號引入記號()lim( );xFF x ()lim( )xFF x 則有類似牛則有類似牛 萊公式的計算表達(dá)式萊公式的計算表達(dá)式 :( )daf xx

10、 ( )F x a()( )FF a ( )dbf xx ( )F x b( )()F bF ( )df xx )(xF()()FF 例例 3 3 證明廣義積分證明廣義積分 11dxxp當(dāng)當(dāng)1 p時收斂，時收斂，當(dāng)當(dāng)1 p時發(fā)散時發(fā)散.證證, 1)1( p 11dxxp 11dxx1ln x , , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因此當(dāng)因此當(dāng)1 p時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為11 p；當(dāng)當(dāng)1 p時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散.11lim11pbbpp P 積積分分例例 4 4 證明廣義積分證明廣義積分 apxdxe當(dāng)當(dāng)0 p時收斂，時收斂，當(dāng)當(dāng)0 p

11、時發(fā)散時發(fā)散.證證 apxdxepxaep limpbpabeepp 0,0,pppeap即即當(dāng)當(dāng)0 p時時收收斂斂，當(dāng)當(dāng)0 p時時發(fā)發(fā)散散. 2 1ln d . xxx 計計算算 運(yùn)運(yùn)用用分分部部積積分分法法lnux 21 vx 1ux 1 vx 22 1 11lnln1ddxxxxxxx ln1lim lim0 xxxxx 洛 2 1d xx 11 x 1 . 例例5 5解解 223/2 2d (0) . ()axaxa 計計算算 sec , : 2 , : , 32xatxat 令令則則時時故故 /2223/233 2 /3d sec tan d ()tanaxatttxaat /222

12、 /31 costd sintat 22311 sin at 223 3 a 例例6 6解解定義定義 2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上連續(xù)，而在上連續(xù)，而在點點a的右鄰域內(nèi)無界取的右鄰域內(nèi)無界取0 ，如果極限，如果極限 badxxf )(lim0存在，則稱此極限為函數(shù)存在，則稱此極限為函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(ba上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 badxxf)(. . badxxf)(0lim( )baf x dx 當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .二、無界函數(shù)的廣義積分二、無界函數(shù)

13、的廣義積分當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上除點上除點)(bcac 外連外連續(xù)，而在點續(xù)，而在點c的鄰域內(nèi)無界的鄰域內(nèi)無界. .如果兩個廣義積分如果兩個廣義積分 cadxxf)(和和 bcdxxf)(都收斂，則定義都收斂，則定義 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(定義中定義中C為瑕點，以上積分也稱為瑕積分為瑕點，以上積分也稱為瑕積分.例例7 7 計算廣義積分計算廣義積分解解).0(022 axadxa221lim,xaax ax 為為被被積積函函數(shù)數(shù)的

14、的無無窮窮間間斷斷點點. axadx0222200limadxax 00lim arcsinaxa 0lim arcsin0aa .2 瑕點瑕點與無窮積分的情形類似，與無窮積分的情形類似， 瑕積分也有下列約定運(yùn)算形式：瑕積分也有下列約定運(yùn)算形式： ( )d( )lim( ) , ( ) .( ) baxabaf xxF bF xxaF x 為為瑕瑕點點 ( )dlim( )( ) , ( ) ( )baxbbaf xxF xF axFbx 為為瑕瑕點點形式上，就將瑕積分的計算與定積分的計形式上，就將瑕積分的計算與定積分的計算聯(lián)系起來了算聯(lián)系起來了. 證證, 1)1( q 101dxx 10ln

15、 x , , 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此當(dāng)因此當(dāng)1 q時廣義積分收斂，其值為時廣義積分收斂，其值為q 11；當(dāng)當(dāng)1 q時廣義積分發(fā)散時廣義積分發(fā)散. 101dxxq例例9 9 計算廣義積分計算廣義積分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx210limlndxxx 210(ln )limlndxx 210lim ln(ln )x 0lim ln(ln2)ln(ln(1) . 故原廣義積分發(fā)散故原廣義積分發(fā)散.x=1x=1為瑕點為瑕點例例10 10 計算廣義積分計算廣義積分解解.)1(3032 xdx1 x瑕點瑕點 3032)1(xdx 103132

16、)1()(xdx 1032)1(xdx10023lim(1)dxx 3 3132)1(xdx31023lim(1)dxx , 233 3032)1(xdx).21(33 10013lim 3(1)x 30113lim 3(1)x 22 1 1dxx 計計算算1 . x 為為瑕瑕點點 sec , sec tan , xtdxttdt 令令則則 : 12 , : 0 , , 3xt 且且時時于于是是 2 3 1 0dsec tan dtan1xttttx 3 0sec dtt 3 0ln|sectan | ln ( 23) tt 例例1111解解 0d (2)xx x 計計算算, . 這這是是無無窮窮積積分分與與瑕瑕積積分分混混合合在在一一起起的的廣廣義義積積分分應(yīng)應(yīng)設(shè)設(shè)法法分分開開 , 0 , 2 , xx 易易知知為為被被積積函函數(shù)數(shù)的的瑕瑕點點故故 1 2 3 0 0 1 2 3dd( ) (2) (2)xxxxxx 1 2 3 0 1 2 3111( )