曲率連續(xù)講解

1、上圖中，從左到右依次為G0G4的過(guò)度面上圖是從側(cè)面看G0G4的區(qū)別，綠色的線(xiàn)是過(guò)度面的輪廓線(xiàn)，最里側(cè)是G0(一條直線(xiàn))，最外側(cè)是G4注意看平面和過(guò)度面的連接處G0G4連續(xù)性的名稱(chēng)分別叫做：G0-位置連續(xù)；G1-切線(xiàn)連續(xù)；G2-曲率連續(xù)；G3-曲率變化率連續(xù)；G4-曲率變化率的變化率連續(xù)用這些術(shù)語(yǔ)描述曲面的連續(xù)性。曲面連續(xù)性可以理解為相互連接的曲面之間過(guò)渡的光滑程度。提高連續(xù)性級(jí)別可以使表面看起來(lái)更加光滑、流暢。連續(xù)性類(lèi)型：G0-位置連續(xù) 圖中的兩組線(xiàn)都是位置連續(xù)，他們只是端點(diǎn)重合，而連接處的切線(xiàn)方向和曲率均不一致。這種連續(xù)性的表面看起來(lái)會(huì)有各很尖銳的接縫，屬于連續(xù)性種級(jí)別最低的一種。G1-切線(xiàn)

2、連續(xù)圖中的兩組曲線(xiàn)屬于切線(xiàn)連續(xù)，他們不僅再連接處端點(diǎn)，而且切線(xiàn)方向一致(可以看到連接的兩條線(xiàn)段梳子圖的刺在接觸點(diǎn)位置是在一條直線(xiàn)上的)。用過(guò)其他PC插圖軟件的擁護(hù)，比如COREDRAW，實(shí)際上通常得到的都是這種連續(xù)性的曲線(xiàn)。 這種連續(xù)性的表面不會(huì)有尖銳的連續(xù)性接縫，但是由于兩種表面在連接處曲率突變，所以在視覺(jué)效果上依然會(huì)有很明顯的差異，會(huì)有一種表面中斷的感覺(jué)。 通常用倒角工具生產(chǎn)的過(guò)度面都屬于這種連續(xù)性級(jí)別。因?yàn)檫@些工具通常使用圓周與兩各表面切點(diǎn)間的一部分作為倒角面的輪廓線(xiàn)，圓的曲率是固定的，所以結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一個(gè)G1連續(xù)的表面。如何想生成更高質(zhì)量的過(guò)度面，還是需要自己動(dòng)手。G2-曲率連續(xù)圖中的兩

3、組曲線(xiàn)屬于曲率線(xiàn)續(xù)。顧名思義，他們不但符和上述兩種連續(xù)性的特征，而且在接點(diǎn)處的曲率也是相同的。如圖中所示，兩條曲線(xiàn)相交處的梳子圖的刺長(zhǎng)度和方向都是一致的（可以為0）。     這種連續(xù)性的曲面沒(méi)有尖銳接縫，也沒(méi)有曲率的突變，視覺(jué)效果光滑流暢，沒(méi)有突然中斷的感覺(jué)（可以用斑馬線(xiàn)測(cè)試）。     這通常是制作光滑表面的最低要求。也是制作A級(jí)面的最低標(biāo)準(zhǔn)。G3-曲率變化率連續(xù)     圖中的兩組曲線(xiàn)的連續(xù)性屬于曲率變化率連續(xù)。這種連續(xù)級(jí)別不僅具有上述連續(xù)級(jí)別的特征之外，在接點(diǎn)處曲率的

4、變化率也是連續(xù)的，這使得曲率的變化更加平滑。曲率的變化率可以用一個(gè)一次方程表示為一條直線(xiàn)。     這種連續(xù)級(jí)別的表面有比G2更流暢的視覺(jué)效果。但是由于需要用到高階曲線(xiàn)或需要更多的曲線(xiàn)片斷所以通常只用于汽車(chē)設(shè)計(jì)。G4-曲率變化率的變化率連續(xù)    圖中的兩組曲線(xiàn)的連續(xù)級(jí)別屬于曲率變化率的變化率連續(xù)?！白兓实淖兓省彼坪趼?tīng)起來(lái)比較深?yuàn)W，實(shí)際上可以這樣理解，它使曲率的變化率開(kāi)始緩慢，然后加快，然后再慢慢的結(jié)束。這使得G4連續(xù)級(jí)別能夠提供更加平滑的連續(xù)效果。     但是這種連續(xù)

5、級(jí)別將比G3計(jì)算起來(lái)更復(fù)雜，所以幾乎不會(huì)在小家電一類(lèi)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)中出現(xiàn)。實(shí)際上，就算出現(xiàn)了，我們也未必看得出來(lái)。總結(jié)一下這幾種連續(xù)級(jí)別。     G0由于使模型產(chǎn)生了銳利的邊緣，所以平時(shí)都極力避免，甚至想盡辦法擺脫這種效果。不常用     G1由于制作簡(jiǎn)單，成功率高，而且在某些地方及其實(shí)用，比如手機(jī)的兩個(gè)面的相交處就用這種連續(xù)級(jí)別。比較常用     G2由于視覺(jué)效果非常好，是大家追求的目標(biāo)，但是這種連續(xù)級(jí)別的表面并不容易制作（VFX的這些高手們出的題目基本上就是和這種連續(xù)級(jí)別表

6、面的制作方法拼命的），所以需要大家多多用心練習(xí)，這也是Nurbs建模中的一個(gè)難點(diǎn)。這種連續(xù)性的表面主要用于制作模型的主面和主要的過(guò)渡面。     G3,G4這兩種連續(xù)級(jí)別通常不使用，因?yàn)樗麄兊囊曈X(jué)效果和G2幾乎相差無(wú)幾，而且消耗更多的計(jì)算資源。這兩種連續(xù)級(jí)別的優(yōu)點(diǎn)只有在制作像汽車(chē)車(chē)體這種大面積、為了得到完美的反光效果而要求表面曲率變化非常平滑的時(shí)候才會(huì)體現(xiàn)出來(lái)。檢測(cè)工具-斑馬線(xiàn)介紹（也叫做高光測(cè)試）：     斑馬線(xiàn)實(shí)際上是模擬一組平行的光源照射到索要檢測(cè)的表面上所觀察到的反光效果。   

7、60; G0的斑馬線(xiàn)在連接處毫不相關(guān)，各走各的，線(xiàn)和線(xiàn)之間不連續(xù)，通常是錯(cuò)開(kāi)的。     G1的斑馬線(xiàn)雖然在相接處是相連的，但是從一個(gè)表面到另一個(gè)表面就會(huì)發(fā)生很大的變形，通常會(huì)在相接的地方產(chǎn)生尖銳的拐角。     G2的斑馬線(xiàn)則是相連，且在連接處也有一個(gè)過(guò)渡，通常不會(huì)產(chǎn)生尖銳的拐角，也不會(huì)錯(cuò)位。     G3,G4的斑馬線(xiàn)很難和G2的區(qū)分開(kāi)。 但是要注意，有時(shí)候顯示的誤差也會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)位或者尖銳的拐角。注意鑒別哦?？梢哉{(diào)整一下顯示精度之后再看。A級(jí)面介紹：  

8、   我們對(duì)A級(jí)曲面是這樣理解的 1.輪廓曲面-通常都是A級(jí)曲面，這樣的曲面通常都要求曲率連續(xù)，沿著曲面和相鄰的曲面有幾乎相同的曲率半徑（相差0.05或更小，位置偏差0.001mm或角度相差0.016度。） 2、A級(jí)曲面用高光等高線(xiàn)檢測(cè)時(shí)顯亮的曲線(xiàn)-這些曲線(xiàn)應(yīng)該有一個(gè)共同的曲率特征，等高線(xiàn)連續(xù)且過(guò)度均勻、逐漸的發(fā)散或收縮，而不是一下子匯集消失到一點(diǎn) 3、A級(jí)曲面上的控制點(diǎn)也應(yīng)該按一定的規(guī)律分布，一行控制點(diǎn)與另一行相鄰的控制點(diǎn)的角度變化應(yīng)該有一定的規(guī)律可循，這是畫(huà)高質(zhì)量的曲線(xiàn)所必需的 4、A級(jí)曲面模型的曲面的邊界線(xiàn)又該可以被編輯、移動(dòng)以生成另外一個(gè)曲線(xiàn)，同時(shí)這個(gè)新生

9、成的曲線(xiàn)可以重新加入曲面來(lái)控制區(qū)面。 6、貝塞爾曲面的階次和控制點(diǎn)數(shù)目一般應(yīng)該是六，有時(shí)候可能會(huì)更高 7、是說(shuō)關(guān)于拔模角度、對(duì)稱(chēng)性、間歇以及同相關(guān)曲面德關(guān)系等都要考慮。這個(gè)要求我們?cè)谠煨褪菍?duì)相關(guān)的工程問(wèn)題也要予以足夠的重視。 8、這是專(zhuān)門(mén)就曲率的變化來(lái)說(shuō)的，光是曲率連續(xù)是不足以做出class a的曲面的。還要求曲率的變化本身也是光順的，實(shí)際上就是引出了G3的概念。當(dāng)然并不是說(shuō)class a要求G3，但是比較接近G3的品質(zhì)對(duì)曲面的品質(zhì)肯定是有好處的。關(guān)于A-class surfaces，涉及曲面的類(lèi)型的二個(gè)基本觀點(diǎn)是位置和質(zhì)量。     位置所有消費(fèi)者可見(jiàn)

10、的表面按A-Surface考慮。汽車(chē)的console（副儀表臺(tái)）屬于A-surf，內(nèi)部結(jié)構(gòu)件則是B-surf。 質(zhì)量涉及曲面拓?fù)潢P(guān)系、位置、切線(xiàn)、曲面邊界處的曲率和曲面內(nèi)部的patch結(jié)構(gòu)。     有一些意見(jiàn)認(rèn)為“位置續(xù)”是切線(xiàn)連C類(lèi)，續(xù)是B類(lèi)，曲率連續(xù)是A類(lèi)。而我想更加適當(dāng)?shù)囟x為G0、G1和G2，對(duì)應(yīng)于B樣條曲線(xiàn)方程和它的1階導(dǎo)數(shù)（相切=G1）和它2階導(dǎo)數(shù)（曲率=G2）。     因此一個(gè)A-surf有可能是曲率不連續(xù)的，如果那是設(shè)計(jì)的意圖，甚至有可能切線(xiàn)不連續(xù),如果設(shè)計(jì)意圖是一處折痕或銳邊,（而通常注塑或沖

11、壓不能有銳邊，因此A-suuf一定是切線(xiàn)連續(xù)(G1)的）。     第二種思想以汽車(chē)公司和白車(chē)身制造方面的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，做出對(duì)A-surf更深刻的理解。他們按獨(dú)立分類(lèi)做出了同樣的定義。     物理定義：A-surf是那些在各自的邊界上保持曲率連續(xù)的曲面。 曲率連續(xù)意味著在任何曲面上的任一"點(diǎn)"中沿著邊界有同樣的曲率半徑。 曲面是挺難做到這一點(diǎn)的     切向連續(xù)僅是方向的連續(xù)而沒(méi)有半徑連續(xù)，比如說(shuō)倒角。     點(diǎn)連

12、續(xù)僅僅保證沒(méi)有縫隙，完全接觸。     事實(shí)上，切連續(xù)的點(diǎn)連續(xù)能滿(mǎn)足大部分基礎(chǔ)工業(yè)（航空和航天、造船業(yè)、BIW等）?；谶@些應(yīng)用，通常并無(wú)曲率連續(xù)的需要。     A-surf首先用于汽車(chē)，并在消費(fèi)類(lèi)產(chǎn)品中漸增（牙刷，Palm，手機(jī)，洗機(jī)機(jī)、衛(wèi)生設(shè)備等）。     它也是美學(xué)的需要。 *點(diǎn)連續(xù)（也稱(chēng)為G0連續(xù)）在每個(gè)表面上生產(chǎn)一次反射，反射線(xiàn)成間斷分布。 *切線(xiàn)連續(xù)（也稱(chēng)為G1連續(xù)）將生產(chǎn)一次完整的表面反射，反射線(xiàn)連續(xù)但呈扭曲狀。 *曲率連續(xù)（也稱(chēng)為G2連續(xù)的，Alias可以

13、做到G3！）將生產(chǎn)橫過(guò)所有邊界的完整的和光滑的反射線(xiàn)。     在老的汽車(chē)業(yè)有這樣一種分類(lèi)法：A面，車(chē)身外表面，白車(chē)身；B面，不重要表面，比如內(nèi)飾表面；C面，不可見(jiàn)表面。這其實(shí)就是A級(jí)曲面的基礎(chǔ)。 但是現(xiàn)在隨著美學(xué)和舒適性的要求日益提高，對(duì)汽車(chē)內(nèi)飾件也提到了A-Class的要求。因而分類(lèi)隨之簡(jiǎn)化，A面，可見(jiàn)（甚至是可觸摸）表面；B面，不可見(jiàn)表面。 這是歷史，是由來(lái)。 CLASS A 曲面沒(méi)有十分嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述也沒(méi)有十分嚴(yán)格的概念定義     有個(gè)等于沒(méi)有解釋的解釋?zhuān)篤ERY SIMPLE AND VERY BUEA

14、TIFUL SURFACE。 1、一般CLASS A的階次與控制點(diǎn)數(shù)目都不多，UV方向大概在68個(gè)控制點(diǎn) 2、單獨(dú)一個(gè)CLASS A曲面在UV方向都保證曲率的連續(xù)性及變化趨勢(shì)的一致 3、CLASS A曲面之間的連接至少滿(mǎn)足切向連續(xù) 4、使用多種數(shù)學(xué)檢驗(yàn)方法來(lái)檢驗(yàn)CLASS A曲面，不應(yīng)該出現(xiàn)視覺(jué)上的瑕疵。（如使用高光等高線(xiàn)來(lái)檢驗(yàn)時(shí)，等高線(xiàn)連續(xù)且過(guò)度均勻間隙均勻。一般不太可能在一個(gè)視覺(jué)方向上出現(xiàn)多個(gè)高光點(diǎn)等）A級(jí)曲面全面介紹在整個(gè)汽車(chē)開(kāi)發(fā)的流程中，有一工程段稱(chēng)為 Class A Engineering，重點(diǎn)是在確定曲面的品質(zhì)可以符合A級(jí)曲面的要求。 所謂A級(jí)曲面的定義，是必須滿(mǎn)足相鄰曲面間之間隙

15、在 0.005mm 以下（有些汽車(chē)廠(chǎng)甚至要求到 0.001mm），切率改變 ( tangency Change ) 在0.16度以下，曲率改變 (curvature change) 在0.005 度以下，符合這樣的標(biāo)準(zhǔn)才能確保鈑件的環(huán)境反射不會(huì)有問(wèn)題。    a-class包括多方面評(píng)測(cè)標(biāo)準(zhǔn),比如說(shuō)反射是不是好看、順眼等等。當(dāng)然，G2可以說(shuō)是一個(gè)基本要求,因?yàn)間2以上才有光順的反射效果。但是,即使G3了，也未必是a-class,也就是說(shuō)有時(shí)雖然連續(xù)，但是面之間出現(xiàn)褶皺，此時(shí)就不是a-class 通俗一點(diǎn)說(shuō)，class-A就必須是G2以上連接。G3連續(xù)的面不一定是CLASS-

16、A曲面。 汽車(chē)業(yè)界對(duì)于a class要求也有不同的標(biāo)準(zhǔn)，GM要求比TOYOTA ，BMW等等要低一些，也就是說(shuō)gap和angle要求要松一些。 關(guān)于A-class surfaces，涉及曲面的類(lèi)型的二個(gè)基本觀點(diǎn)是位置和質(zhì)量。 位置所有消費(fèi)者可見(jiàn)的表面按A-Surface考慮。汽車(chē)的console（副儀表臺(tái)）屬于A-surf，內(nèi)部結(jié)構(gòu)件則是B-surf。 質(zhì)量涉及曲面拓?fù)潢P(guān)系、位置、切線(xiàn)、曲面邊界處的曲率和曲面內(nèi)部的patch結(jié)構(gòu)。 有一些意見(jiàn)認(rèn)為“點(diǎn)連續(xù)”是C類(lèi)，切線(xiàn)連續(xù)是B類(lèi)，曲率連續(xù)是A類(lèi)。而我想更加適當(dāng)?shù)囟x為C0、C1和C2，對(duì)應(yīng)于B樣條曲線(xiàn)方程和它的1階導(dǎo)數(shù)（相切=C1）和它2階導(dǎo)數(shù)

17、（曲率=C2）。 因此一個(gè)A-surf有可能是曲率不連續(xù)的，如果那是設(shè)計(jì)的意圖，甚至有可能切線(xiàn)不連續(xù),如果設(shè)計(jì)意圖是一處折痕或銳邊,（而通常注塑或沖壓不能有銳邊，因此A-suuf一定是切線(xiàn)連續(xù)(C1)的）。 第二種思想以汽車(chē)公司和白車(chē)身制造方面的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，做出對(duì)A-surf更深刻的理解。他們按獨(dú)立分類(lèi)做出了同樣的定義。 物理定義：A-surf是那些在各自的邊界上保持曲率連續(xù)的曲面。 曲率連續(xù)意味著在任何曲面上的任一"點(diǎn)"中沿著邊界有同樣的曲率半徑。 曲面是挺難做到這一點(diǎn)的 切向連續(xù)僅是方向的連續(xù)而沒(méi)有半徑連續(xù)，比如說(shuō)倒角。 點(diǎn)連續(xù)僅僅保證沒(méi)有縫隙，完全接觸。 事實(shí)上，切連續(xù)的點(diǎn)連續(xù)能滿(mǎn)足大部分基礎(chǔ)工業(yè)（航空和航天、造船業(yè)、BIW等）。基于這些應(yīng)用，通常并無(wú)曲率連續(xù)的需要。 A-surf首先用于汽車(chē)，并在消費(fèi)類(lèi)產(chǎn)品中漸增（牙刷，Palm，手機(jī)，洗機(jī)機(jī)、衛(wèi)生設(shè)備等）。 它也是美