有壓管流顯式計(jì)算

1、有壓管道水力計(jì)算顯式計(jì)算式張曉元 李長城（武漢大學(xué)水利水電學(xué)院 武漢市 430072）摘要 針對有壓管道水力計(jì)算比較復(fù)雜的問題，本文通過對原隱式計(jì)算式進(jìn)行處理和數(shù)值擬合，給出了紊流流動中的有壓管道各類水力計(jì)算的顯式計(jì)算式。求解流量的計(jì)算式是直接對原計(jì)算方程組進(jìn)行推導(dǎo)所得，所得出的有壓管道紊流流動的流量顯式計(jì)算式與原隱式計(jì)算式成果完全一致。對于求解水頭損失及管道直徑的問題，本文通過對原隱式計(jì)算式進(jìn)行處理和數(shù)值擬合，給出了相應(yīng)的顯式計(jì)算式。由此得出，對于有壓管道中的水力計(jì)算問題，均可采用顯式計(jì)算式直接計(jì)算，而不需要進(jìn)行反復(fù)試算。管道水力計(jì)算顯式計(jì)算式使有壓管道的水力計(jì)算更為方便。關(guān)鍵詞 有壓管流

2、水力計(jì)算 顯式計(jì)算式中圖分類號 TV131.4文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A1 前言有壓管流在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛。其水力計(jì)算包括三種類型：（1）管道系統(tǒng)及通過管道系統(tǒng)的水流流量已經(jīng)確定，計(jì)算水流通過管道系統(tǒng)的水頭損失，即已知管道粗糙度、管道直徑、管道長度、流量及流體運(yùn)動粘度，求沿程水頭損失；（2）管道系統(tǒng)及水流通過管道系統(tǒng)的水頭損失已經(jīng)確定，計(jì)算管道系統(tǒng)所能通過的水流流量，即已知、及，求；（3）管道材料、通過管道系統(tǒng)的水流流量及水流通過管道系統(tǒng)的水頭損失已經(jīng)確定，計(jì)算所需管道直徑，即已知、及，求。對管流的水力計(jì)算，現(xiàn)有的書籍給出的用公式進(jìn)行計(jì)算方法是：應(yīng)用計(jì)算流量的公式 （1）及計(jì)算水頭損失的達(dá)西-威斯巴赫公

3、式 （2）再加上計(jì)算沿程水頭損失系數(shù)的柯列布魯克-懷特公式 （3）進(jìn)行聯(lián)立求解。以上各式中：為流量；為管徑；為管長；為過水?dāng)嗝嫫骄魉伲粸檠爻趟^損失；為沿程水頭損失系數(shù)；為重力加速度，（稱作雷諾數(shù)），為流體運(yùn)動粘度。由于以上計(jì)算式中（3）式為隱式，因此，采用以上三式進(jìn)行有壓管道水力計(jì)算時(shí)，就必須進(jìn)行試算，很不方便。但實(shí)際上通過對以上各式進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，便可給出有壓管道水力計(jì)算的顯式表達(dá)式。2 有壓管道顯式計(jì)算式2.1 管道流量計(jì)算顯式計(jì)算式當(dāng)已知管道直徑、管道粗糙度、流體運(yùn)動粘性系數(shù)、管道長度及通過管道的水頭損失，要求確定通過管道的水流流量時(shí)，由于管道過水?dāng)嗝娴钠骄魉傥粗字Z數(shù)亦不能求得

4、，因而不能直接利用式（3）求出沿程水頭損失系數(shù)，需反復(fù)試算。本文試圖通過對各計(jì)算公式改變形式，并聯(lián)立求解，給出直接計(jì)算流量的顯式表達(dá)式。由連續(xù)性方程式（1），可得過水?dāng)嗝嫫骄魉俚谋磉_(dá)式 （4）將式（4）帶入式（2），可得流量、管徑及沿程水頭損失系數(shù)的關(guān)系式 （5）令表示單位長度上的沿程水頭損失，稱作水力坡度。式（5）可寫成如下形式 （6）根據(jù)雷諾數(shù)的定義及連續(xù)性方程將雷諾數(shù)表示成以流量的關(guān)系式 （7）將式（7）帶入式（3）可得 （8）將式（6）給出的以流量等表達(dá)的的關(guān)系式帶入式（8），可得 （9）整理式（9）即可給出直接計(jì)算流量的表達(dá)式 （10）或?qū)懗?（11）式（11）即為在流體的流動狀態(tài)

5、為紊流時(shí)，已知管徑、管長、管道的相對粗糙度、流體運(yùn)動粘性系數(shù)及通過管道的沿程水頭損失，直接求解管流流量的計(jì)算式。2.2 管道紊流沿程水頭損失系數(shù)顯式計(jì)算式有壓管道沿程水頭損失的計(jì)算關(guān)鍵就是已知管道相對粗糙度及雷諾數(shù)，求沿程水頭損失系數(shù)，若采用式（3）計(jì)算，則必須進(jìn)行迭代。式（3）給出的的計(jì)算式適用于整個(gè)紊流區(qū)（包括光滑區(qū)、過渡粗糙區(qū)及粗糙區(qū)）。為了給出的顯式計(jì)算式，可先分別對其兩個(gè)極限狀態(tài)（即光滑區(qū)和粗糙區(qū)）進(jìn)行處理，給出他們各自的顯式表達(dá)式，然后再統(tǒng)一給出整個(gè)紊流區(qū)的顯式表達(dá)式。 紊流完全粗糙區(qū)沿程水頭損失系數(shù)的顯式計(jì)算式 根據(jù)式（3）即可給出紊流完全粗糙區(qū)與相對粗糙度的關(guān)系式 （12）上式

6、又可寫成以下形式 （13）2.2.2 紊流光滑區(qū)沿程水頭損失系數(shù)的顯式計(jì)算式 根據(jù)式（3）可給出紊流光滑區(qū)與雷諾數(shù)的關(guān)系式 （14）從上式不能直接得出的顯式計(jì)算式，但可得出與的離散點(diǎn)的關(guān)系，然后，通過曲線擬合即可得出的顯式計(jì)算式 （15）2.2.3 管道紊流沿程水頭損失系數(shù)的顯式計(jì)算式綜合式（13）及式（15）即可給出適用于管道紊流各流區(qū)的沿程水頭損失系數(shù)的顯式計(jì)算式 （16）2.2.4 管道紊流沿程水頭損失系數(shù)顯式計(jì)算式的誤差由式（16）直接計(jì)算出的沿程水頭損失系數(shù)（用表示）與由式（3）迭代計(jì)算得到的沿程水頭損失系數(shù)（用表示）的相對誤差見表1。表1 沿程水頭損失系數(shù)相對誤差值 /dRe0.0

7、1 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 100000000 0.003 0.016 0.091 0.431 1.080 80000000 0.004 0.020 0.107 0.479 1.070 50000000 0.005 0.028 0.148 0.578 0.999 10000000 0.020 0.096 0.378 0.636 0.441 8000000 0.024 0.113 0.417 0.585 0.349 5000000 0.035 0.157 0.493 0.435 0.155 1000000 0.123 0.418 0.425 -0.262 -0

8、.444 800000 0.146 0.466 0.353 -0.352 -0.513 500000 0.207 0.568 0.163 -0.522 -0.644 100000 0.630 0.681 -0.480 -0.828 -0.868 80000 0.724 0.649 -0.524 -0.826 -0.861 50000 0.955 0.557 -0.555 -0.777 -0.801 10000 2.037 0.692 0.152 0.086 0.079 8000 2.226 0.851 0.385 0.329 0.324 5000 2.699 1.362 1.028 0.990

9、 0.986 4000 2.978 1.701 1.419 1.387 1.384 根據(jù)表1所列數(shù)據(jù)繪制的相對誤差等值線圖見圖1。圖1 相對誤差等值線圖2.3 管道直徑計(jì)算顯式計(jì)算式為了得到管道直徑與通過管道的水流流量、管道粗糙度、流體運(yùn)動粘性系數(shù)、管道長度及通過管道的水頭損失的顯式關(guān)系式，則首先就必須將式（1）式（3）及雷諾數(shù)的定義式中的過水?dāng)嗝嫫骄魉儆昧髁考肮艿乐睆奖硎荆虼藢Ω饔?jì)算式進(jìn)行如下處理。沿程水頭損失與流量、管徑的關(guān)系式（5）又可寫成如下形式 （17）引入無量綱管徑，與以上類似，可引入無量綱管道粗糙度，通過量綱分析，還可引入無量綱流體運(yùn)動粘度，可得，。將上述各關(guān)系式帶入式（3）

10、，可得等式兩端乘方并整理可得即 （18） （19）式（19）適用于整個(gè)紊流區(qū)，可先分別對其兩個(gè)極限狀態(tài)（即光滑區(qū)和粗糙區(qū)）進(jìn)行處理，分別給出與及與的顯式表達(dá)式，然后再統(tǒng)一給出整個(gè)紊流區(qū)的顯式表達(dá)式，再將此無量綱顯式計(jì)算式轉(zhuǎn)換成用實(shí)際變量來表達(dá)即可給出管道直徑的顯式計(jì)算式。2.3.1 紊流完全粗糙區(qū)的顯式計(jì)算式 根據(jù)式（19）即可給出紊流完全粗糙區(qū)與的關(guān)系式 （20）通過迭代計(jì)算，可得出與的離散點(diǎn)的關(guān)系，然后，通過曲線擬合即可得出的顯式計(jì)算式 （21）2.3.2 紊流光滑區(qū)的顯式計(jì)算式 式（19）給出紊流光滑區(qū)與的關(guān)系式 （22）迭代計(jì)算后得出與的離散點(diǎn)關(guān)系，擬合曲線后得出的顯式計(jì)算式 （23）

11、2.2.3 管道直徑的顯式計(jì)算式綜合式（21）及式（23）即可給出適用于整個(gè)紊流流動的與及的顯式關(guān)系式 （24）將式（24）中的各無量綱量用實(shí)際變量代入，則上式成為 （25）整理后即可給出適用于整個(gè)紊流流動的管道直徑的顯式計(jì)算式 （26） 管道直徑顯式計(jì)算式的誤差顯式計(jì)算式（24）計(jì)算出的無量綱管道直徑與由式（19）迭代計(jì)算得到的無量綱管道直徑的相對誤差（式中下標(biāo)n表示新的顯式計(jì)算式成果，下標(biāo)o表示原隱式計(jì)算式成果）與及的關(guān)系見表2。管道直徑與無量綱直徑的關(guān)系為，因此，所以，在表2直接列出管道直徑的相對誤差。為了給出相對誤差與及的關(guān)系，表2中同時(shí)算出其相應(yīng)的（根據(jù)的定義即可得出其與及的關(guān)系為）

12、及（=）。表2 無量綱管道直徑相對誤差值計(jì)算表0.00060.0050.5140 0.5236 -1.84 0.01 4.1E+030.00010.0050.5079 0.5039 0.80 0.01 2.5E+040.000010.0050.5066 0.4990 1.52 0.01 2.6E+050.0000010.0050.5064 0.4985 1.59 0.01 2.6E+060.00000010.0050.5064 0.4984 1.60 0.01 2.6E+070.000000010.0050.5064 0.4984 1.60 0.01 2.6E+080.00060.00050.

13、4928 0.5045 -2.30 0.001 4.2E+030.00010.00050.4669 0.4640 0.64 0.001 2.7E+040.000010.00050.4536 0.4434 2.30 0.001 2.9E+050.0000010.00050.4516 0.4401 2.62 0.001 2.9E+060.00000010.00050.4514 0.4397 2.65 0.001 2.9E+070.000000010.00050.4513 0.4397 2.66 0.001 2.9E+080.00060.000050.4907 0.5020 -2.26 0.0001

14、 4.2E+030.00010.000050.4574 0.4553 0.45 0.0001 2.8E+040.000010.000050.4223 0.4170 1.27 0.0001 3.1E+050.0000010.000050.4057 0.4020 0.91 0.0001 3.2E+060.00000010.000050.4026 0.3995 0.78 0.0001 3.2E+070.000000010.000050.4023 0.3992 0.76 0.0001 3.2E+080.00060.0000050.4905 0.5018 -2.23 0.00001 4.2E+030.0

15、0010.0000050.4567 0.4543 0.52 0.00001 2.8E+040.000010.0000050.4168 0.4112 1.37 0.00001 3.1E+050.0000010.0000050.3830 0.3830 0.01 0.00001 3.3E+060.00000010.0000050.3636 0.3714 -2.10 0.00001 3.4E+070.000000010.0000050.3591 0.3694 -2.79 0.00001 3.4E+080.00060.00000050.4905 0.5017 -2.23 0.000001 4.2E+03

16、0.00010.00000050.4566 0.4542 0.53 0.000001 2.8E+040.000010.00000050.4165 0.4105 1.45 0.000001 3.1E+050.0000010.00000050.3800 0.3787 0.33 0.000001 3.4E+060.00000010.00000050.3481 0.3569 -2.45 0.000001 3.6E+070.000000010.00000050.3268 0.3475 -5.97 0.000001 3.7E+08根據(jù)表2所列數(shù)據(jù)繪制的管道直徑顯式計(jì)算式成果相對于原隱式計(jì)算式成果的誤差等值

17、線圖見圖2。圖2 管道直徑顯式計(jì)算式相對誤差等值線圖3. 結(jié)論針對工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人們生活中經(jīng)常遇到的有壓管道紊流流動狀態(tài)下的水力計(jì)算比較復(fù)雜的問題，本文通過分析推導(dǎo)及對原隱式計(jì)算式處理和數(shù)值擬合，給出了紊流流動中的有壓管道水力計(jì)算各類的顯式計(jì)算式。對于求解流量的計(jì)算式，推導(dǎo)中所采用的公式為水力計(jì)算中最基本的連續(xù)性方程式、沿程水頭損失計(jì)算式和適用于紊流光滑區(qū)、過度粗糙區(qū)及完全粗糙區(qū)的計(jì)算沿程水頭損失系數(shù)的柯列布魯克-懷特公式，因此，所得出的有壓管道紊流流動的流量計(jì)算式可適用于紊流的整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)，顯式計(jì)算成果與原隱式計(jì)算成果完全一致。對于求解水頭損失及管道直徑的問題，本文通過對原隱式計(jì)算式處理和數(shù)

18、值擬合，給出了相應(yīng)的顯式計(jì)算式，并對新的顯式計(jì)算式成果相對于原隱式計(jì)算式成果的誤差進(jìn)行了分析，給出了相對誤差等值線圖。管道水流水力計(jì)算的顯式計(jì)算式給有壓管道的水力計(jì)算帶來極大的方便。參考文獻(xiàn)： 1 李煒、徐孝平，水力學(xué)，武漢：武漢水利電力大學(xué)出版社，2000，6。 2 清華大學(xué)水力學(xué)教研組，水力學(xué)（上冊），北京：高等教育出版社，1995，7。 3 武漢水利電力學(xué)院水力學(xué)教研室，水力計(jì)算手冊，北京：水利出版社，1980，12。 4 成都科技大學(xué)水力學(xué)教研室，北京：高等教育出版社，1979，3。The explicit formulae of the pipe-flow problemsAbstr

19、act: The hydraulic computations of the pipe-flows have been a little complicated for they have encountered a problem of the implicit form of the Colebrook-Write equation. By transforming the Colebrook-Write equation or choosing the proper nondimensional variables and fitting the suitable curves to the Colebrook-Write equation, the authors have got the explic