數(shù)學(xué)物理方程公式小結(jié)9

1、無(wú)限長(zhǎng)弦的一般強(qiáng)迫振動(dòng)定解問(wèn)題解三維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問(wèn)題在球坐標(biāo)變換 (r=at)無(wú)界三維空間自由振動(dòng)的泊松公式 二維空間的自由振動(dòng)的波動(dòng)方程定解問(wèn)題傅立葉變換 基本性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì) 微分性質(zhì) 若則 拉普拉斯變換 基本性質(zhì) 三個(gè)格林公式高斯公式：設(shè)空間區(qū)域V是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數(shù)P,Q,R在V上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則：或第一格林公式：設(shè)u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則：第二格林公式：設(shè)u(x,y,z),V(x,y,z)在SSV上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，它們?cè)赩中有二階偏導(dǎo)，則：第三格林公式設(shè)M0，M是V中的點(diǎn)，v(M)=1/r

2、MM0, u(x,y,z)滿(mǎn)足第一格林公式條件，則有： 定理1：泊松方程洛平問(wèn)題 的解為： 推論1：拉氏方程洛平問(wèn)題 的解為： 調(diào)和函數(shù)1、定義：如果函數(shù)u(x,y,z)滿(mǎn)足:(1) 在具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；(2) 稱(chēng)u為V上的調(diào)和函數(shù)。 2、調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。 性質(zhì)1 設(shè) u(x,y,z) 是區(qū)域 V 上的調(diào)和函數(shù)，則有 推論2：拉氏牛曼問(wèn)題（牛曼問(wèn)題解不穩(wěn)定沒(méi)有得到公式解）有解的充分必要條件是：性質(zhì)2 設(shè)u(x,y,z) 是區(qū)域V上的調(diào)和函數(shù)，則有 :性質(zhì)3 : 設(shè)u(x,y,z)是區(qū)域V 上的調(diào)和函數(shù)，則在球心的值等于它在球面上的算術(shù)平均值，即: 其中SR是以M0為球心,R為半徑的球面 三維

3、空間中狄氏問(wèn)題格林函數(shù) 泊松方程狄氏問(wèn)題為：其中：如果G(M,M0)滿(mǎn)足： 則可得泊松方程狄氏解定理定理：泊松方程狄氏解為： 其中G(M,M0)滿(mǎn)足： 推論：拉氏方程狄氏解為：平面中的三個(gè)格林公式首先證明一個(gè)定理： 設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，且f(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線(xiàn)的外法線(xiàn)方向，則：(1) 第一格林公式設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，且u(x,y),v(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線(xiàn)的外法線(xiàn)方向。 (2) 第二格林公式(3) 第三格林公式：設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線(xiàn)L圍成，且u(x,y)在D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n為曲線(xiàn)的外法線(xiàn)方向，令： 定理：平面泊松

4、方程洛平問(wèn)題 的解為：推論：平面拉氏方程洛平問(wèn)題 的解為：定理：平面泊松方程狄氏問(wèn)題的解為： 推論：平面拉氏方程狄氏解為：平面狄氏格林函數(shù) 特殊區(qū)域上狄氏問(wèn)題格林函數(shù)1球形域內(nèi)狄氏問(wèn)題格林函數(shù) 格林函數(shù)為： 其中： 球域內(nèi)狄式問(wèn)題的解 其中：球域上狄氏問(wèn)題的解的球坐標(biāo)表達(dá)式所以：2上半空間狄氏問(wèn)題的Green函數(shù) 所以上半空間泊松方程狄氏問(wèn)題的解為： 上半空間拉氏方程狄氏問(wèn)題的解為： 3上半平面狄氏問(wèn)題的Green函數(shù) ，上半平面上泊松方程狄氏解上半平面上拉氏方程狄氏解4圓域上泊松與拉氏方程狄氏解的GREEN函數(shù) ，圓域上泊松與拉氏方程狄氏解5第一象限上狄氏問(wèn)題的Green函數(shù)三種典型方程的基

5、本解問(wèn)題1 泊松方程的基本解方程的解稱(chēng)為泊松方程的基本解。三維空間泊松方程的基本解平面泊松方程基本解為： 特解應(yīng)該為基本解與函數(shù)f的卷積2熱傳導(dǎo)方程柯西問(wèn)題基本解定解問(wèn)題：的解，稱(chēng)為定解問(wèn)題的基本解?；窘鉃椋?定解為基本解與初始函數(shù)的卷積3熱傳導(dǎo)方程混合問(wèn)題基本解定解問(wèn)題的解稱(chēng)為定解問(wèn)題的基本解定解與基本解的關(guān)系為4波動(dòng)方程柯西問(wèn)題基本解定解問(wèn)題的解稱(chēng)為定解問(wèn)題的基本解基本解為：定解與基本解的關(guān)系為：貝塞爾函數(shù) 正、負(fù)n階第一類(lèi)貝塞爾函數(shù) 第二類(lèi)Bessel函數(shù)Bessel函數(shù)的母函數(shù)當(dāng)x為實(shí)數(shù)時(shí)可得，Bessel函數(shù)的積分表達(dá)式 當(dāng)n為整數(shù)時(shí)：貝塞爾函數(shù)的遞推公式 n 階整數(shù)階貝塞爾函數(shù)有： 貝塞爾函數(shù)的正交性 貝塞爾函數(shù)系 定義：定積分：稱(chēng)為貝塞爾函數(shù)的模。 2、貝塞爾級(jí)數(shù)展開(kāi)定理：設(shè)在區(qū)間0,R上至多有有限個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，則f(x)在(0,R)連續(xù)點(diǎn)處的貝塞爾級(jí)數(shù)收斂與該點(diǎn)的函數(shù)值，在間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)左右極限的平均值 其中 勒讓德方程 考慮球域內(nèi)拉氏方程定解問(wèn)題在球坐標(biāo)系下勒讓德方程 令， 取m=0時(shí)得 勒讓德多項(xiàng)式當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)n次第一類(lèi)勒讓德多項(xiàng)式 勒讓德多項(xiàng)式的羅得利克公式 勒讓德多項(xiàng)式的積分表達(dá)式 勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù) 勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式(重點(diǎn)) （n