反沖運(yùn)動(dòng)與人船模型的應(yīng)用

1、 反沖運(yùn)動(dòng)與人船模型的應(yīng)用一、模型的建立如圖1所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m1的小船停在靜水中，一個(gè)質(zhì)量為m2的人立在船頭，若不計(jì)水的粘滯阻力，當(dāng)人從船頭走到船尾的過程中，船和人對(duì)地面的位移各是多少？s1s2 選人和船組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，由于人從船頭走到船尾的過程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，所以水平方向動(dòng)量守恒。人起步前系統(tǒng)的總動(dòng)量為零。當(dāng)人起步加速前進(jìn)時(shí)，船同時(shí)向后加速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)人勻速前進(jìn)時(shí)，船同時(shí)向后勻速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)人停下來時(shí)，船也停下來。設(shè)某一時(shí)刻人對(duì)地的速度為v2，船對(duì)地的速度為v1，選人前進(jìn)的方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量守恒定律有，即。 因?yàn)樵谌藦拇^走到船尾的整個(gè)過程中，每一時(shí)刻系統(tǒng)都滿足動(dòng)量守

2、恒定律，所以每一時(shí)刻人的速度與船的速度之比，都與它們的質(zhì)量成反比。從而可以得出判斷：在人從船頭走到船尾的過程中，人的位移s2與船的位移s1之比，也等于它們的質(zhì)量的反比，即 由圖可以看出, 由、兩式聯(lián)立解得 ，（一）、人船模型說明：人在靜止的船上行走時(shí)（不計(jì)水的阻力）則有以下結(jié)論：.由于在運(yùn)動(dòng)方向上人船組成的系統(tǒng)動(dòng)量為零，故人走船行，人停船止；. 船長(zhǎng)L不是人行走的位移，而是人相對(duì)于船的位移；. 當(dāng)人從船的一端走到另一端時(shí)，人和船行走的位移與本身的質(zhì)量成反比。這種人和船具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)而衍生出來的關(guān)于動(dòng)量守恒定律應(yīng)用的模型稱為人船模型。（二）、人船模型特點(diǎn).系統(tǒng)由兩部分組成（若為多部分也可以轉(zhuǎn)化為兩

3、部分）；.系統(tǒng)總動(dòng)量守恒且總動(dòng)量為零；.組成系統(tǒng)的兩部分有相對(duì)運(yùn)動(dòng)；.要求與位移相關(guān)的物理量。（三）、人船模型解法.畫出運(yùn)動(dòng)過程中初末位置對(duì)比示意圖，通過分析找出與位移相關(guān)的關(guān)系式；.列出運(yùn)動(dòng)過程中某時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)量守恒的方程，如m1V1m2V2，再利用微積分的思想將其轉(zhuǎn)換為與位移相關(guān)的方程，如m1X1m2X2；.聯(lián)合兩個(gè)與位移相關(guān)的方程即可求解。二、模型的拓展上面、兩式是人船模型的兩個(gè)重要關(guān)系式。對(duì)于人船模型，可以拓展為：一個(gè)原來處于靜止?fàn)顟B(tài)的系統(tǒng)，在系統(tǒng)內(nèi)兩個(gè)物體發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過程中，有一個(gè)方向動(dòng)量守恒（如水平方向或豎直方向）的情況。拓展后的“人船模型”適用條件是：、兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)初態(tài)靜止

4、；、系統(tǒng)動(dòng)量守恒或在某一方向上動(dòng)量守恒。那么這兩個(gè)物體在動(dòng)量守恒方向上的位移一定同時(shí)滿足、兩式。使用、兩式應(yīng)特別注意：、s1和s2是兩物體在動(dòng)量守恒方向上相對(duì)同一參照物的位移；、式中的L為兩物體在動(dòng)量守恒方向上的相對(duì)位移。三、模型的應(yīng)用圖2 例1、如圖2所示，光滑水平面上有一小車，小車上固定一桿，總質(zhì)量為M；桿頂系一長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩，繩另一端系一質(zhì)量為m的小球；繩被水平拉直處于靜止?fàn)顟B(tài)（小球處于最左端）。將小球由靜止釋放，小球從最左端擺下并繼續(xù)擺至最右端的過程中，小車運(yùn)動(dòng)的距離是多少？ 解析：本題球和車組成的系統(tǒng)符合“人船模型”的適用條件，因此可用、兩式求解。但要注意球和車的相對(duì)位移為2L.設(shè)某一

5、時(shí)刻小球速度的水平分量為v（方向向右），小車的速度為V（方向水平向左），選水平向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有，即 則小球的水平位移與小車的位移滿足，又 R2R圖3 以上兩式聯(lián)立解得 例2、質(zhì)量為m、半徑為R的小球，放在質(zhì)量為M、半徑為2R的圓柱形桶內(nèi)，圓桶開始靜止在光滑水平面上。在小球從如圖3所示位置無初速度地沿圓桶內(nèi)壁滾到最低點(diǎn)的過程中，圓桶移動(dòng)的距離為，試求M是m的幾倍？ 解析：本題看似與“人船模型”差異很大，但仔細(xì)分析，二者本質(zhì)相同：系統(tǒng)初態(tài)靜止且在水平方向上動(dòng)量守恒，因此小球和圓桶組成的系統(tǒng)符合“人船模型”的適用條件，只不過式中的相對(duì)位移L應(yīng)為小球和圓桶在水平方向上的相對(duì)位移R，而不

6、是。設(shè)某一時(shí)刻小球速度的水平分量為v（方向向右），圓桶的速度為V（方向水平向左），選水平向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：，即 則小球的水平位移與圓桶的位移滿足，又 MMS1hlS2圖4以上兩式聯(lián)立解得M=2m，即圓桶的質(zhì)量M是小球質(zhì)量m的2倍. 例3、載人氣球原來靜止于高h(yuǎn)的高空，氣球質(zhì)量為M，人的質(zhì)量為m，若人沿繩梯滑至地面，則繩梯至少為多長(zhǎng)？ 解析：設(shè)某一時(shí)刻人的速度為v1，氣球的速度為v2，選豎直向下為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 即 則人的位移S1與氣球的位移S2滿足而人的位移S1=h，代入上式解得由圖4知，繩梯的最短長(zhǎng)度為總之，分析和解答物理問題的過程，就是構(gòu)建物理模型的過程。也即把

7、物理問題與某些已有模型進(jìn)行類比的過程。通過表象、特征、功能等方面的相似性，使物理問題與已有模型得到溝通，從而迅速確立解題的方向。但在這些過程中，要十分注意模型的本質(zhì)特征、約束條件，以便有效、準(zhǔn)確地應(yīng)用模型解題，避免出現(xiàn)差錯(cuò)。 【配套練習(xí)】mMOR圖5 1、如圖5所示，質(zhì)量為M，半徑為R的光滑半圓弧槽靜止在光滑水平面上。有一質(zhì)量為m的小滑塊在與圓心O等高處無初速度滑下，在小滑塊滑到圓弧槽最低點(diǎn)的過程中，圓弧槽產(chǎn)生的位移的大小為_.圖6lh 2、如圖6所示，一個(gè)質(zhì)量為m的玩具蛙蹲在質(zhì)量為M的小車的細(xì)桿上，小車放在光滑的水平桌面上。若車長(zhǎng)為l，細(xì)桿高為h，且位于小車的中點(diǎn)，試求：當(dāng)玩具蛙最小以多大的

8、水平速度v跳出時(shí)，才能落到桌面上？ 3、質(zhì)量為M的斜面體B置于光滑的水平地面上，斜面體底邊長(zhǎng)為b,在其斜面上放有一質(zhì)量為m的與斜面體相似的物塊，其上邊長(zhǎng)為a，且與水平面平行.系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，如下圖所示.在物塊A從B的頂端下滑到接觸地面的過程中，斜面體B后退的距離為(    ) A.       B.         C.       D.4 、如圖4所示，

9、一帶固定支架的小車靜止在光滑的水平地面上，小車及支架的總質(zhì)量為M，支架頂端用一不可伸長(zhǎng)的輕繩系一質(zhì)量為m的小球，輕繩長(zhǎng)度為L(zhǎng)?，F(xiàn)將小球拉至細(xì)線處于水平伸直狀態(tài)，然后由靜止釋放。求：、從釋放到擺到最低點(diǎn)的過程中小車的位移大??；、小球擺到最低點(diǎn)時(shí)小球和小車的速度大小。5、某人在一只靜止的小船上練習(xí)射擊，船、人連同槍（不包括子彈）及靶的總質(zhì)量為M,槍內(nèi)有n顆子彈，每顆子彈的質(zhì)量為m，槍口到靶的距離為L(zhǎng)，子彈水平射出槍口相對(duì)于地的速度為v0，在發(fā)射后一發(fā)子彈時(shí)，前一發(fā)子彈已射入靶中，在射完n顆子彈時(shí)，小船后退的距離為（ ）6、某人在一只靜止的小船上練習(xí)射擊已知船、人連同槍(不包括子彈)及靶的總質(zhì)量為M

10、，槍內(nèi)裝有n顆子彈，每顆子彈的質(zhì)量為m，槍口到靶的距離為L(zhǎng)，子彈飛出槍口時(shí)相對(duì)于地面的速度為v若在發(fā)射后一顆子彈時(shí)，前一顆子彈已陷入固定在船上的靶中，不計(jì)水對(duì)船的阻力問、射出第一顆子彈時(shí)，船的速度多大？、發(fā)射第n顆子彈時(shí)，船的速度多大?、發(fā)射完顆n子彈后，船一共能向后移動(dòng)多少距離?、若子彈足夠多，能在練習(xí)打靶的過程中過河嗎？7、如圖所示，人和冰車的總質(zhì)量為M，另有一個(gè)質(zhì)量為m的堅(jiān)固木箱，開始時(shí)人坐在冰車上靜止不動(dòng)，某一時(shí)刻人將原來靜止在冰面的木箱以相對(duì)冰面的速度v0推向前方的彈性擋板，同時(shí)冰車反向滑動(dòng).木箱與擋板碰撞后又反向彈回,設(shè)碰撞擋板過程中無機(jī)械能損失,人接到木箱后再以同樣相對(duì)冰面的速度

11、v0將木箱推向擋板如此反復(fù)多次,試分析人推木箱多少次后將不可能再接到木箱.(已知Mm=312,不計(jì)摩擦)，答案：1、； 2、 ； 3、C ；4、解析：此題與例2非常類似，仍然屬于系統(tǒng)在某一方向上動(dòng)量守恒的題目，只是物體的運(yùn)動(dòng)情形發(fā)生了改變，而且是一道具有代表性的題目。、小球在擺到最低點(diǎn)的過程中，初末位置對(duì)比示意圖如圖所示，設(shè)小球在水平方向的分位移大小為X球，小車的位移大小為X車，則有 X球X車L經(jīng)分析系統(tǒng)在水平方向上動(dòng)量守恒而且為零，設(shè)在小球下擺過程中，某時(shí)刻小球在水平方向的分速度大小為V球，小車的速度大小為V車，則有mV球MV車 利用微積分思想可得mX球MX車 ，解得X車、小球擺到最低點(diǎn)時(shí)的

12、速度剛好是水平的，設(shè)在最低點(diǎn)時(shí)，小球的速度大小為V1，小車的速度大小為V2，則有mV1MV2而下滑過程中系統(tǒng)機(jī)械能也守恒，故有解得 5、解析:設(shè)n顆子彈發(fā)射的總時(shí)間為t,取n顆子彈為整體,由動(dòng)量守恒得nmv0=Mv1,即nmv0t=Mv1t;設(shè)子彈相對(duì)于地面移動(dòng)的距離為s1,小船后退的距離為s2,則有: s1=v0t, s2= v1t;且s1s2=L解得:.答案C6、（1）、（2）、射出第一顆子彈與射出第n顆子彈時(shí)船的速度是一樣大的，則動(dòng)量守恒定律得mv=(n-1)m+MV,V=mv/(n-1)+M (3)、這是一個(gè)人船模型，設(shè)射完n顆子彈后船向后移動(dòng)的距離為x則 Mx=nm(L-x) x=n

13、mL/(nm+M)7、人和冰車的總質(zhì)量為M，車上有一木球質(zhì)量為m，且M：=31：2。人坐在靜止于水平冰面的冰車上，以速度v（相對(duì)地面）將原來靜止的木球沿冰面推向正前方向的固定擋板。不計(jì)一切摩擦阻力，設(shè)小球與擋板的碰撞是彈性的，人接住球后，再以同樣的速度v（相對(duì)地面）將球推向擋板，求人推多少次后不再能接到球？解：設(shè)第1次推球后人的速度為，有，第1次接球后人的速度為，有；第2次推球，第2次接球；第n次推球，由以上各式可得，當(dāng)時(shí)人便接不到球，可得n8.25，取n=98、如圖3所示，一質(zhì)量為M底邊長(zhǎng)為的斜面體靜止在水平地面上，另一質(zhì)量為m的小斜面體固定在斜面頂端，其上表面剛好水平且長(zhǎng)度為，現(xiàn)使其由靜止開始下滑，不計(jì)一切摩擦。求：從開始下滑到小斜面體下端剛好接觸地面的過程中斜面體M的位移大小。8、解析：這類題目的物理情景我們經(jīng)常遇到，屬于系統(tǒng)在某一方向上動(dòng)量守恒的題目，現(xiàn)在增加了對(duì)人