余弦定理教案

1、鄒城一中2012年三案一體評比活動教案人教A版普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修1 . 1 . 2余弦定理 (第一課時) 高二二級部數(shù)學 楊瑞磊20129. §1.1.2 余 弦 定 理授課類型：新授課教學目標知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證

2、統(tǒng)一.教學重點余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；教學難點勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用.教學過程【課件投影】.復習回顧：（溫故知新）(一)情境導入，感知實例：【課件投影】例：如下圖，青藏鐵路的建設過程中，為了開鑿隧道,要測量隧道口D,E間的距離,請你設計一種合理的方案.ABCDE【設計意圖】利用學生對實際問題有很高的積極性的特點,以實際問題引入新課.【簡要實錄】教師以實際問題導入新課，學生專注聽，臉上寫著疑問.（二）以舊引新，奠定基礎1、 正弦定理的基本形式是什么？2、正弦定理可以用來解決的問題類型是什么？【課件投影】（已知兩角和一邊解三角形）（已知兩邊和其中一邊的對角，解三角

3、形）.（已知兩邊和其夾角，勾股定理）.【設計意圖】從學生所熟悉的正弦定理和直角三角形的情況出發(fā)，再到斜三角形的情況.這樣的設計主要是根據(jù)學生已有的知識勾股定理以及上節(jié)課的“化斜為直”的化歸思想，創(chuàng)設一種“跳一跳摘到桃子”的學習情景.【簡要實錄】前兩個問題是正弦定理的應用，第3個問題學生根據(jù)勾股定理可以很容易解答.第4個問題則需要學生能夠將斜三角形的問題轉化成直角三角形，此時老師要注意引導學生.為了促進學生之間的交流，老師先引導學生獨立完成問題4，之后分組討論，得出答案.從課堂的反映來看，學生能夠完整的解決這個問題，教師選幾份答案投影，并且讓學生解釋他的方法.思考：已知兩邊和夾角，如何求第三邊，

4、如何解三角形？ C.課題導入：如圖在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,如何用a,b和C，表示c. b a A C B 【設計意圖】從問題4到上述問題，遵循從特殊到一般的原則，符合學生認知事物的規(guī)律，也有利于學生充分發(fā)揮自己的主觀能動性，實現(xiàn)其在課堂上的主體地位.在處理完前兩個問題的情況下，學生已經(jīng)能夠對上述問題發(fā)表自己的看法，那么教師就要大膽放手讓學生去做，讓學生親身體會知識再發(fā)現(xiàn)的過程.【簡要實錄】 在解決此問題時，學生可能會受思維定勢的影響，思路受阻.但此時最好還是能夠讓學生自己去打破這種定勢思維，所以安排學生分組討論，在“你一言，我一語”的輕松環(huán)境下，學生真正實現(xiàn)“自主，合作，探

5、究”.通過分小組討論，學生找到了兩種解決方法：一是用向量方法；二是通過作高，轉化成直角三角形，“化斜為直”.將上述問題的答案進行歸納即得到這節(jié)課的中心內(nèi)容：.新課講授探究聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c.由于涉及長度問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題. A如圖，設，那么，則 C B 從而 同理可證 于是得到以下定理：一、 余弦定理：【課件投影】思考：1、上述過程就是一種證明方法，還有其它方法可以證明余弦定理嗎？2、如何用語言表述一下余弦定理呢？三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積

6、的兩倍.3、現(xiàn)在我們可以解決本節(jié)課開始的第4題了嗎？【設計意圖】以問題串的形式幫助學生加深對定理的理解.【簡要實錄】學生自己動手，討論總結，教師概括，用自己的語言總結定理，加深理解.二、定理應用：【課件投影】例1.在中，求c.（上面第4題）（由學生口述）心得：（由學生體會、口述）應用余弦定理，可以解決已知兩邊和其夾角，求第三邊的問題.【設計意圖】通過解決導入中的問題，前后呼應，讓學生初步感受余弦定理的應用.【簡要實錄】有了余弦定理，學生很快解答了此題，從而得出結論.【課件投影】變式：在中，求 C.（舉一反二）（由學生推出）由余弦定理，又可得到以下推論：心得：（由學生體會、口述）應用余弦定理，可

7、以解決已知三邊，求角度的問題.【設計意圖】讓學生進一步熟悉余弦定理，并找到余弦定理的推論.【簡要實錄】學生感到此題也并不難，只要將余弦定理變形即可.通過解答此題學生還得出“知三邊可求三角”的規(guī)律.【課件投影】例1在中，求c. （舉一反三）思考1：在上面求出了之后，如何進一步解這個三角形？（由學生討論，有什么方法？）求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（學生板書）解法一：cos解法二：sin又，即思考2：兩種方法有什么利弊？心得：（由學生表述）用余弦定理，可以根據(jù)角的余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復雜；用正弦定理計算相對較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小.所以，一

8、般應該選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的角，以免作進一步的討論.【設計意圖】本題的解答過程要用到上節(jié)課的正弦定理，同時涉及到兩個定理，綜合性較強.設計此題主要是讓學生拓寬視野，鞏固提高.【簡要實錄】教師確實要解放思想充分相信學生，課堂上，學生們自己去比較總結兩種方法，總結收獲很到位：【課件投影】練習 在中，已知，解這個三角形.【設計意圖】老師不進行過多講解，而是讓課本去給學生講，用課本的規(guī)范語言去完整學生的思路.【簡要實錄】學生看書，老師走到學生當中，進行個別指導.下面再思考這兩個題目：【課件投影】.（已知兩邊和其夾角，勾股定理）.（已知兩邊和夾角，余弦定理）思考：勾股定理指出了直角三角形中

9、三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中，C=，則，這時 若ABC中，C<，則，這時 若ABC中，C>，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。【設計意圖】學生找到新（余弦定理）舊（勾股定理）知識之間的聯(lián)系，讓其舊的認知結構得到遷移、充實.【簡要實錄】學生通過思考之后得出當A=90°時，余弦定理就是勾股定理，從而找到兩者的內(nèi)在聯(lián)系.思考：能不能利用這個結論來判斷三角形的形狀呢？ 【課件投影】例2在中，此三角形是什么形狀？（學生口答）練習在ABC中，若，求角A（答案：A=120）.課時小結（由學生自己體會，教師概括）（1）余弦弦定理及其變形；（2