余弦定理教案

1、鄒城一中2012年三案一體評(píng)比活動(dòng)教案人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修1 . 1 . 2余弦定理 (第一課時(shí)) 高二二級(jí)部數(shù)學(xué) 楊瑞磊20129. §1.1.2 余 弦 定 理授課類型：新授課教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證

2、統(tǒng)一.教學(xué)重點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用.教學(xué)過程【課件投影】.復(fù)習(xí)回顧：（溫故知新）(一)情境導(dǎo)入，感知實(shí)例：【課件投影】例：如下圖，青藏鐵路的建設(shè)過程中，為了開鑿隧道,要測(cè)量隧道口D,E間的距離,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種合理的方案.ABCDE【設(shè)計(jì)意圖】利用學(xué)生對(duì)實(shí)際問題有很高的積極性的特點(diǎn),以實(shí)際問題引入新課.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】教師以實(shí)際問題導(dǎo)入新課，學(xué)生專注聽，臉上寫著疑問.（二）以舊引新，奠定基礎(chǔ)1、 正弦定理的基本形式是什么？2、正弦定理可以用來解決的問題類型是什么？【課件投影】（已知兩角和一邊解三角形）（已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角

3、形）.（已知兩邊和其夾角，勾股定理）.【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生所熟悉的正弦定理和直角三角形的情況出發(fā)，再到斜三角形的情況.這樣的設(shè)計(jì)主要是根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)勾股定理以及上節(jié)課的“化斜為直”的化歸思想，創(chuàng)設(shè)一種“跳一跳摘到桃子”的學(xué)習(xí)情景.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】前兩個(gè)問題是正弦定理的應(yīng)用，第3個(gè)問題學(xué)生根據(jù)勾股定理可以很容易解答.第4個(gè)問題則需要學(xué)生能夠?qū)⑿比切蔚膯栴}轉(zhuǎn)化成直角三角形，此時(shí)老師要注意引導(dǎo)學(xué)生.為了促進(jìn)學(xué)生之間的交流，老師先引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成問題4，之后分組討論，得出答案.從課堂的反映來看，學(xué)生能夠完整的解決這個(gè)問題，教師選幾份答案投影，并且讓學(xué)生解釋他的方法.思考：已知兩邊和夾角，如何求第三邊，

4、如何解三角形？ C.課題導(dǎo)入：如圖在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,如何用a,b和C，表示c. b a A C B 【設(shè)計(jì)意圖】從問題4到上述問題，遵循從特殊到一般的原則，符合學(xué)生認(rèn)知事物的規(guī)律，也有利于學(xué)生充分發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性，實(shí)現(xiàn)其在課堂上的主體地位.在處理完前兩個(gè)問題的情況下，學(xué)生已經(jīng)能夠?qū)ι鲜鰡栴}發(fā)表自己的看法，那么教師就要大膽放手讓學(xué)生去做，讓學(xué)生親身體會(huì)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過程.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】 在解決此問題時(shí)，學(xué)生可能會(huì)受思維定勢(shì)的影響，思路受阻.但此時(shí)最好還是能夠讓學(xué)生自己去打破這種定勢(shì)思維，所以安排學(xué)生分組討論，在“你一言，我一語(yǔ)”的輕松環(huán)境下，學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)“自主，合作，探

5、究”.通過分小組討論，學(xué)生找到了兩種解決方法：一是用向量方法；二是通過作高，轉(zhuǎn)化成直角三角形，“化斜為直”.將上述問題的答案進(jìn)行歸納即得到這節(jié)課的中心內(nèi)容：.新課講授探究聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)和方法，可用什么途徑來解決這個(gè)問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c.由于涉及長(zhǎng)度問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題. A如圖，設(shè)，那么，則 C B 從而 同理可證 于是得到以下定理：一、 余弦定理：【課件投影】思考：1、上述過程就是一種證明方法，還有其它方法可以證明余弦定理嗎？2、如何用語(yǔ)言表述一下余弦定理呢？三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積

6、的兩倍.3、現(xiàn)在我們可以解決本節(jié)課開始的第4題了嗎？【設(shè)計(jì)意圖】以問題串的形式幫助學(xué)生加深對(duì)定理的理解.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】學(xué)生自己動(dòng)手，討論總結(jié)，教師概括，用自己的語(yǔ)言總結(jié)定理，加深理解.二、定理應(yīng)用：【課件投影】例1.在中，求c.（上面第4題）（由學(xué)生口述）心得：（由學(xué)生體會(huì)、口述）應(yīng)用余弦定理，可以解決已知兩邊和其夾角，求第三邊的問題.【設(shè)計(jì)意圖】通過解決導(dǎo)入中的問題，前后呼應(yīng)，讓學(xué)生初步感受余弦定理的應(yīng)用.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】有了余弦定理，學(xué)生很快解答了此題，從而得出結(jié)論.【課件投影】變式：在中，求 C.（舉一反二）（由學(xué)生推出）由余弦定理，又可得到以下推論：心得：（由學(xué)生體會(huì)、口述）應(yīng)用余弦定理，可

7、以解決已知三邊，求角度的問題.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉余弦定理，并找到余弦定理的推論.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】學(xué)生感到此題也并不難，只要將余弦定理變形即可.通過解答此題學(xué)生還得出“知三邊可求三角”的規(guī)律.【課件投影】例1在中，求c. （舉一反三）思考1：在上面求出了之后，如何進(jìn)一步解這個(gè)三角形？（由學(xué)生討論，有什么方法？）求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：（學(xué)生板書）解法一：cos解法二：sin又，即思考2：兩種方法有什么利弊？心得：（由學(xué)生表述）用余弦定理，可以根據(jù)角的余弦值直接判斷角是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜；用正弦定理計(jì)算相對(duì)較簡(jiǎn)單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小.所以，一

8、般應(yīng)該選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對(duì)的角，以免作進(jìn)一步的討論.【設(shè)計(jì)意圖】本題的解答過程要用到上節(jié)課的正弦定理，同時(shí)涉及到兩個(gè)定理，綜合性較強(qiáng).設(shè)計(jì)此題主要是讓學(xué)生拓寬視野，鞏固提高.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】教師確實(shí)要解放思想充分相信學(xué)生，課堂上，學(xué)生們自己去比較總結(jié)兩種方法，總結(jié)收獲很到位：【課件投影】練習(xí) 在中，已知，解這個(gè)三角形.【設(shè)計(jì)意圖】老師不進(jìn)行過多講解，而是讓課本去給學(xué)生講，用課本的規(guī)范語(yǔ)言去完整學(xué)生的思路.【簡(jiǎn)要實(shí)錄】學(xué)生看書，老師走到學(xué)生當(dāng)中，進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo).下面再思考這兩個(gè)題目：【課件投影】.（已知兩邊和其夾角，勾股定理）.（已知兩邊和夾角，余弦定理）思考：勾股定理指出了直角三角形中

9、三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？（由學(xué)生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時(shí) 若ABC中，C<，則，這時(shí) 若ABC中，C>，則，這時(shí)由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例?！驹O(shè)計(jì)意圖】學(xué)生找到新（余弦定理）舊（勾股定理）知識(shí)之間的聯(lián)系，讓其舊的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到遷移、充實(shí).【簡(jiǎn)要實(shí)錄】學(xué)生通過思考之后得出當(dāng)A=90°時(shí)，余弦定理就是勾股定理，從而找到兩者的內(nèi)在聯(lián)系.思考：能不能利用這個(gè)結(jié)論來判斷三角形的形狀呢？ 【課件投影】例2在中，此三角形是什么形狀？（學(xué)生口答）練習(xí)在ABC中，若，求角A（答案：A=120）.課時(shí)小結(jié)（由學(xué)生自己體會(huì)，教師概括）（1）余弦弦定理及其變形；（2