第三章矢量分析和場(chǎng)論2011-03-15

1、l矢量分析l電源和電場(chǎng)矢量和標(biāo)量矢量代數(shù)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的散度拉普拉斯算子矢量恒等式矢量和標(biāo)量矢量和標(biāo)量1.標(biāo)量：標(biāo)量：只有大小，沒有方向的物理量。矢量表示為：|AA a所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。| A a2.矢量：矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、電場(chǎng) 等FEv如：溫度 T、長(zhǎng)度 L 等例：在直角坐標(biāo)系中， x 方向的大小為 6 的矢量如何表示？6xa圖示法： 6xaGNFfFxy力的圖示法： FNfFFF矢量代數(shù)1.加法加法: : 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四

2、邊形規(guī)則。a.滿足交換律：ABBAb.滿足結(jié)合律：CABBACBAC()()()()ABCDACBDzoyx三個(gè)方向的單位矢量用 表示。,xyzaaa根據(jù)矢量加法運(yùn)算：xyzAAAA,xxxyyyzzzAA aAA aAA a所以：xxyyzzAA aA aA a在直角坐標(biāo)系下的矢量表示:AxAyAzA其中：矢量：xxyyzzAA aA aA a模的計(jì)算：222|xyzAAAA單位矢量：|yxzxyzAAAAaaaaAAAA方向角與方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxcoscoscosxyzaaa在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算： ()()()xxxxyyyyzzzzABC

3、ABC aABC aABCazoyxAxAyAzA2.減法：換成加法運(yùn)算()DABAB ABCBAB逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。B()BDBADABC0在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算： ()()()xxxyyyzzzABAB aAB aAB a推論：任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。3.3.乘法：乘法：（1）標(biāo)量與矢量的乘積：0|00kkAk A akk方向不變，大小為|k|倍方向相反，大小為|k|倍（2）矢量與矢量乘積分兩種定義a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）：| |cosA BABBA兩矢量的點(diǎn)積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積，其結(jié)果是一標(biāo)量

4、。在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即0,0,01,1,1xyxzyzxxyyzzaaaaaaaaaaaa有兩矢量點(diǎn)積：() ()xxyyzzxxyyzzA BA aA aA aB aB aB a zzyyxxBABABA結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。推論1：滿足交換律推論2：滿足分配律推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。A BB A()ABCA BA C推論1：不服從交換律：,A BB AA BB A 推論2：服從分配律：()AB CA BA C推論3：不服從結(jié)合律：()()AB CA BC推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。b.矢量積（

5、叉積）：| |sincABABa含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€方向，且三者符合右手螺旋法則。BAca在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下：xyzxyzxyzaaaABAAABBB() ()x xy yz zx xy yz zA BAaAaAaBaBaBa ()()()yzzyxzxxzyxyyxzABAB aABAB aABAB a兩矢量的叉積又可表示為：xyzo（3）三重積：三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式：()A B C矢量，標(biāo)量與矢量相乘。()ABC標(biāo)量，標(biāo)量三重積。矢量，矢量三重積。a. 標(biāo)量三重積法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,

6、后算點(diǎn)積。定義：|sincosA BCA B C()ABC含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成的平行六面體的體積 。ABChB C 注意：先后輪換次序。推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。在直角坐標(biāo)系中：()0ABC()xyzxyzxyzAAAABCBBBCCC()()xyzxxyyzzxyzxyzaaaAB CA aA aA aBBBCCCb.矢量三重積：()()()ABCB A CC A B ()()()VAB CCABBCAABChB C例2：12342,3223,325xyzxyzxyzxyzraaaraaaraaaraaa 求：4123rarbrcr中的標(biāo)量 a、b、c。解：325(2)(3

7、2)( 23)xyzxyzxyzxyzaaaaaaab aaacaaa(22 )(3)(23 )xyzabc aabc aabc a 則：設(shè)213abc 22332235abcabcabc例3： 已知263xyzAaaa43xyzBaaa求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。AB解：已知AB所得矢量垂直于 、 所在平面。ABnABaAB 263151030431xyzxyzaaaABaaa1(326)7nxyzaaaa 222|15( 10)3035AB 已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為 和 ，求：通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程。例4： ab()cak ba其中：k 為任意實(shí)數(shù)。(1)ck ak

8、bxyzCcABab解：在通過A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線方程上， 任取一點(diǎn)C，對(duì)于原點(diǎn)的位置 矢量為 ，則c標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度1. 標(biāo)量場(chǎng)的等值面可以看出：標(biāo)量場(chǎng)的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不 相交的。以溫度場(chǎng)為例：熱源等溫面b.梯度定義：標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)梯度的大小為該點(diǎn)最大的方向?qū)?shù)， 其方向?yàn)樵擖c(diǎn)所在等值面的法線方向。數(shù)學(xué)表達(dá)式：dgraddnan2. 標(biāo)量場(chǎng)的梯度a.方向?qū)?shù)：ddl空間變化率，稱為方向?qū)?shù)。ddn為最大的方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的場(chǎng)函數(shù)為),(tzyx00dP1P2Pdndl計(jì)算：dcosdndraddglddddddnlnlddnlaan在直角坐標(biāo)系中：ddddxyzxyzdddd

9、xyzlxayaza所以：gradxyzaaaxyz梯度也可表示：grad 00dP1P2Pdndl在柱坐標(biāo)系中：在球坐標(biāo)系中：在任意正交曲線坐標(biāo)系中：rzaaarrzsinRaaaRRR 123112233uuuaaah uh uh u在不同的坐標(biāo)系中，梯度的計(jì)算公式：在直角坐標(biāo)系中：xyzaaaxyz矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度1. 1. 矢線（場(chǎng)線）：矢線（場(chǎng)線）： 在矢量場(chǎng)中，若一條曲線上每一點(diǎn)的切線方向與場(chǎng)矢量在該點(diǎn)的方向重合，則該曲線稱為矢線。2. 2. 通量：通量：定義：如果在該矢量場(chǎng)中取一曲面S， 通過該曲面的矢線量稱為通量。表達(dá)式：dSvS若曲面為閉合曲面：dSvS+- -討論：

10、討論：a. 如果閉合曲面上的總通量0 說(shuō)明穿出閉合面的通量大于穿入曲面的通量，意味著閉合面內(nèi)存在正的通量源。b. 如果閉合曲面上的總通量0 說(shuō)明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢線在曲面內(nèi)終止了，意味著閉合面內(nèi)存在負(fù)源或稱溝。c. 如果閉合曲面上的總通量0說(shuō)明穿入的通量等于穿出的通量。3. 3. 散度：散度：a.定義：矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度稱為該點(diǎn)的散度。 b.表達(dá)式：0ddivlimSVFSFV c.散度的計(jì)算： 在直角坐標(biāo)系中，如圖做一封閉曲面，該封閉曲面由六個(gè)平面組成。矢量場(chǎng) 表示為：FxxyyzzFF aF aF a1Szyx6S5S4S3S2S123123ddddSSSSFS

11、FSFSFS456456dddSSSFSFSFS111d()()xxxSFSF x ay za zyxFx)(1222d()xxxSFSF x ay za 在 x方向上：計(jì)算穿過 和 面的通量為2S1S1()xF xxy z 11( )()()xxxF xF xxF xxx 因?yàn)椋?21( )d()xxSF xFSF xy zx y zx 則：在 x 方向上的總通量：1212ddxSSFFSFSx y zx 在 z 方向上,穿過 和 面的總通量：5S6S5656ddZSSFFSFSx y zz 整個(gè)封閉曲面的總通量：dyxzSFFFFSx y zxyz 3434ddySSFFSFSx y zy

12、 同理：在 y方向上,穿過 和 面的總通量：3S4S該閉合曲面所包圍的體積：zyxV0ddivlimSVFSFV zFyFxFzyx通常散度表示為：divFF4.4.散度定理：散度定理：ddSVFSF V物理含義：穿過一封閉曲面的總通量等于矢量散度的體積分。柱坐標(biāo)系中：1 ()1rzFF rFFrrrz球坐標(biāo)系中：22(sin )()111sinsinRFFR FFRRRR132231 21 31 23123()()1uuuF h hF hhF hhFhh huuu正交曲線坐標(biāo)系中：直角坐標(biāo)系中：yxzFFFFxyz常用坐標(biāo)系中，散度的計(jì)算公式在圓柱坐標(biāo)系中： 2222221)(1zrrrrr

13、在球坐標(biāo)系中： 22222222111()(sin)sinsinRRRRRR在廣義正交曲線坐標(biāo)系中： 2231 31 21 231112223331()()()h hhhhhhh huhuuhuuhu 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 2() 在直角坐標(biāo)系中：2222222zyx重要的場(chǎng)論公式重要的場(chǎng)論公式(1)()0 1. 1. 兩個(gè)零恒等式兩個(gè)零恒等式 任何標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒為零。 (2)()0F 任何矢量場(chǎng)的旋度的散度恒為零。 )()AAA AAA)() ()()()()A BABBA ABBA ()A BBA AB ()()()A BAB BABAAB 常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 基本關(guān)

14、系單極場(chǎng)偶極場(chǎng)在生物電學(xué)中探討有關(guān)電源及其產(chǎn)生的電位和電流場(chǎng)間的基本數(shù)學(xué)關(guān)系，是極有意義的。在討論處于導(dǎo)電介質(zhì)中的電源時(shí)首先要考慮這些關(guān)系。一般我們已熟悉在低頻電路中采用無(wú)損耗的導(dǎo)線把離散的(集中參數(shù))元件連接起來(lái)。不過，在實(shí)際的生物體中是充滿著電位和電流連續(xù)體，而電位和電流是位置的連續(xù)函數(shù)。兩點(diǎn)之間的標(biāo)量電位差可以用一個(gè)理想的電壓表測(cè)定。場(chǎng)強(qiáng)E可以由標(biāo)量電位的負(fù)梯度求得按歐姆定律，電流密度J與場(chǎng)強(qiáng)E 之間的關(guān)系J = E式中為電流流過導(dǎo)電介質(zhì)的電導(dǎo)率。這里假設(shè)為一標(biāo)量，則由該式表明J 與E 同一方向。-E=設(shè)電源密度為Iv(x，y，z)散度作為由每單位體積流出量的一種度量等價(jià)于電源密度。一個(gè)

15、任意的區(qū)域，有這幾種可能：其一是根本沒有電一個(gè)任意的區(qū)域，有這幾種可能：其一是根本沒有電流，這時(shí)方程的兩邊均為零；其二是有電流流動(dòng)，但流，這時(shí)方程的兩邊均為零；其二是有電流流動(dòng)，但是在該區(qū)域的流出量與流入量相等，使得方程兩邊仍是在該區(qū)域的流出量與流入量相等，使得方程兩邊仍為零；第三種情況是某些電流起源于該區(qū)域內(nèi)并有凈為零；第三種情況是某些電流起源于該區(qū)域內(nèi)并有凈流出量，這時(shí)方程的兩邊均為正值；第四種情況是有流出量，這時(shí)方程的兩邊均為正值；第四種情況是有凈電流流入該區(qū)域，則式兩邊為負(fù)值。在實(shí)際研究生凈電流流入該區(qū)域，則式兩邊為負(fù)值。在實(shí)際研究生物標(biāo)本時(shí)，后兩者是經(jīng)常遇到的情況。這是由于人們物標(biāo)本

16、時(shí)，后兩者是經(jīng)常遇到的情況。這是由于人們把細(xì)胞內(nèi)電流把細(xì)胞內(nèi)電流( (細(xì)胞之中的電流細(xì)胞之中的電流) )和細(xì)胞外電流分開研和細(xì)胞外電流分開研究，因此當(dāng)電流穿過細(xì)胞膜時(shí)，看上去似乎電流出現(xiàn)究，因此當(dāng)電流穿過細(xì)胞膜時(shí)，看上去似乎電流出現(xiàn)或消失了。或消失了。vIJ =導(dǎo)出直接將電位與產(chǎn)生它的電流源和阱間聯(lián)系起來(lái)的表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)電導(dǎo)率均勻，但包含源密度Iv的區(qū)域，得出對(duì)于的泊松方程：-IJ2v=v2I- =泊松方程的一個(gè)重要特殊情況是各處源密度均為零。對(duì)這種無(wú)源的均一導(dǎo)電區(qū)域，電流守恒要求泊松方程中電位的解0=vIJ=rdVIv4100=-IJ22v式中r為源或阱Iv，到觀察位點(diǎn)的距離拉普拉斯方程單

17、極是單個(gè)極，在電流場(chǎng)的意義下，也就是導(dǎo)電介質(zhì)中的單一電流源或阱。在生物電學(xué)中只涉及單極的問題十分罕見，因?yàn)樗械纳镫娫粗辽侔嗽春挖褰M合。盡管如此，但由于單極是較復(fù)雜又較實(shí)際的構(gòu)型的組成基元，故研究單極的電位與電流場(chǎng)間的關(guān)系還是相當(dāng)重要的。況且對(duì)于人造源，在有限區(qū)域內(nèi)可得到真正的單極場(chǎng)。設(shè)想某點(diǎn)流源(單極)置于電導(dǎo)率為且無(wú)限大的均一導(dǎo)電介質(zhì)中。設(shè)其位置如圖所示為(x，y，z)，由于均一性，電流取徑向，穿過任意半徑球面的總電流必定為I0；因此電流密度J就等于I0除以半徑為r的球面積，即rIrI-drdarI-arIJmrr44440202020=“偶極”是由相互靠得很緊的電流源和阱組合成的。很多生物電源的最簡(jiǎn)單表達(dá)形式就是偶極子。例如電流可從細(xì)胞膜的某一點(diǎn)流出，而在靠近的另一點(diǎn)流回。因此我們將從兩方面對(duì)偶極子的電性質(zhì)進(jìn)行研究，即既作為技術(shù)上的例子說(shuō)明單極基元是怎