謝壽才概率統(tǒng)計習題及其解答

1、習題四 1設隨機變量的分布律為-10120.10.20.3求，.答案：，；2.設隨機變量的分布律為-101且已知,求，.【解】因,又,由聯(lián)立解得3.設隨機變量的概率密度為 求，.【解】 故 4.設隨機變量的概率密度為求(1)；（2）；（3）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 5. 過單位圓上一點作任意弦，與直徑的夾角服從區(qū)間上的均勻分布，求弦的長度的數(shù)學期望.解：弦的長為隨機變量，由任意的密度函數(shù)為6設服從柯西分布，其密度函數(shù)為問是否存在？解：因為所以不存在。7.一汽車需要通過三個設置紅綠燈路口的一段路，每個路口出現(xiàn)什么信號燈是相互獨立的，且紅綠兩種信號顯示時間相同，以表示該汽車首次遇到

2、紅燈前已經(jīng)通過路口的個數(shù)，求.答案：8設隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，求的數(shù)學期望與方差.解：。9.一工廠生產(chǎn)某種設備的壽命（以年計）服從指數(shù)分布，其概率密度為為確保消費者的利益，工廠規(guī)定出售的設備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設備贏利的數(shù)學期望.【解】廠方出售一臺設備凈盈利Y只有兩個值：100元和 -200元 故 (元).10.設隨機變量相互獨立，且求下列隨機變量的數(shù)學期望.（1）；（2）.【解】(1) ；(2) 11.設隨機變量的概率密度為試確定常數(shù)，并求.【解】因故k=2.12.設是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分

3、別為 求.【解】先求X與Y的均值 由X與Y的獨立性，得 13.袋中裝有12個燈泡，其中9個好燈泡，3個壞了的燈泡.電工在更換某個燈泡時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設在取出好燈泡之前已取出的燈泡數(shù)為隨機變量，求和.【解】其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 14.設隨機變量的概率密度為對獨立地重復觀察4次，用表示觀察值大于的次數(shù)，求的數(shù)學期望.【解】令 則.因為及,所以,從而15.設隨機變量的數(shù)學期望存在，對于任意，求函數(shù)的最小值，并說明其意義.解： ，當時，有唯一駐點，又，所以在時，取極

4、小值，也是最小值：這說明隨機變量對其數(shù)學期望的偏離程度，比它對其他任意數(shù)偏離程度都小，最小值為其方差。16.設隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，隨機變量= =試求. 【解】因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應為, .從而 所以17.對隨機變量和，已知，求.【解】 18.設二維隨機變量在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布，求及相關(guān)系數(shù).【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為從而同理而 所以.從而 19.設隨機變量的概率密度為.(1) 求及；（2） 求,并問與是否不相關(guān)？（3） 問與是否相互獨立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|與X的獨立性，需依定義構(gòu)造適當事件后再作出判斷，為此，對定義域 -<x<+中的子區(qū)間（0,+）上給出任意點x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨立.20.已知隨機變量和分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù),.（1） 求；（2） 求與的相關(guān)系數(shù),并判斷與是否相互獨立.【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 由，得X與Z不相關(guān).又因，所以X與Z也相互獨立.21.將一枚硬幣重復擲次，以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù).試