經(jīng)典諧振子與量子諧振子

1、經(jīng)典諧振子與量子諧振子摘 要:本文分別介紹了經(jīng)典諧振子與量子諧振子的運(yùn)動(dòng), 詳細(xì)分析了簡諧振子 在經(jīng)典力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)及其運(yùn)動(dòng)方程, 從運(yùn)動(dòng)方程中描述了力、 位移、 速度及加速 度之間的關(guān)系并驗(yàn)證了簡諧運(yùn)動(dòng)的能量守恒。 而在量子力學(xué)中通過對(duì)諧振子能量的推 導(dǎo)及其分析,清晰地看到了諧振子在宏觀世界與微觀世界的不同。關(guān)鍵字 :經(jīng)典諧振子;量子諧振子;運(yùn)動(dòng)方程;能量The Classical Harmonic Oscillator and Quantum Oscillator Abstract:In this paper the classical harmonic oscillator quant

2、um harmonic oscillator with the movement is described, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship between verify the con

3、servation of energy for simple harmonic motion. In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.Key words:classical harmonic oscillator; quantum harmonic oscillator; e

4、quation of motion; energy引言簡諧振子是力學(xué)中一個(gè)十分重要的問題 , 在實(shí)際運(yùn)用發(fā)面涉及到的機(jī)械運(yùn)動(dòng)的大 多數(shù)問題都可簡化為簡諧振子的運(yùn)動(dòng)問題, 而且在聲學(xué)、 光學(xué)等許多物理問題中都會(huì) 出現(xiàn)類似諧振子運(yùn)動(dòng)方程的方程。簡諧振子顯示了許多物理系統(tǒng)的共同特征。 1經(jīng)典諧振子1.1簡諧運(yùn)動(dòng)及簡諧振子任何在相等時(shí)間間隔內(nèi)重復(fù)自身的運(yùn)動(dòng)都叫做周期運(yùn)動(dòng), 在周期運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位 移總可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)來表示, 這種周期運(yùn)動(dòng)常叫做諧運(yùn)動(dòng), 如果做周期運(yùn) 動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在同一路線上來回運(yùn)動(dòng),這種運(yùn)動(dòng)就叫做振動(dòng) 1。若一質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近來回振動(dòng)該質(zhì)點(diǎn)的勢能按下式改變:(20.5U x kx

5、 =式中 k 是常數(shù),作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為 F , (2(0.5 dU d kx F x dx dx=-=-這樣振動(dòng)的 質(zhì)點(diǎn)叫做簡諧振子,而它的運(yùn)動(dòng)就叫做簡諧運(yùn)動(dòng) 1。一個(gè)系于倔強(qiáng)系數(shù)為 k 的理想彈簧上并且在光滑水平面上質(zhì)量為 m 的物體就是 簡諧振子的一個(gè)例子,如圖 1所示。 圖 1簡諧振動(dòng)1.2簡諧運(yùn)動(dòng)方程及其特點(diǎn)先將牛頓第二定律 F=ma應(yīng)用到圖 1的運(yùn)動(dòng)中,以 -kx代替 F 并且將加速度 a 寫 成 22d x/dt, 則得220d x kx dt m+= 該方程叫做簡諧振子的運(yùn)動(dòng)方程 2。根據(jù)微積分學(xué),我們知道正弦函數(shù)和余弦函 數(shù)都具有這種性質(zhì),這樣就可以寫出運(yùn)動(dòng)方程的嘗試解為:c

6、os( x A t =+ sin( dx A t dt=-+ 將 222cos( d x A t dt=-+代入運(yùn)動(dòng)方程得: 2cos( sin( k A t A t m-+=-+所以,如取常數(shù) 的數(shù)值使得 2k m=,則 x=Acos(t+ 實(shí)際上就是簡諧振子運(yùn)動(dòng)方 程的解 3。 如果在式 x=Acos(t+ 中將時(shí)間 t 增加一個(gè)數(shù)值 2,函數(shù) x(t就變成了 (x Acos t 2/ =+(Acos t =+ 所以, 2是運(yùn)動(dòng)的周期 T 。因?yàn)?2k m=,故有 T 2/2=因此由方程 x=Acos(t+ , 給出的所有運(yùn)動(dòng)都有相同的運(yùn)動(dòng)周期,并且這周期 僅由振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 m 和彈簧的

7、倔強(qiáng)系數(shù) k 決定。振子的頻率 ,是單位時(shí)間完全振 動(dòng)的次數(shù),由下式給定 /21/2=量 叫角頻率, A 是運(yùn)動(dòng)振幅,簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率與運(yùn)動(dòng)的振幅無關(guān),量 (t+ 是運(yùn)動(dòng)的相位,常數(shù) 叫初相位 4。簡諧振子勢能曲線隨位移的平方而改變 3, 作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的大小與位移成正 比, 但方向與位移相反, 振動(dòng)的兩極限位置離開平衡位置的距離是相等的, 最大位移 的大小叫做簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅。圖 2描述了質(zhì)點(diǎn)勢能及力與位移的關(guān)系。 圖 2質(zhì)點(diǎn)勢能及力與位移的關(guān)系簡諧運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)明顯特征是振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移,速度,加速度之間的關(guān)系: 這些曲線的方程是:(x Acos t =+(v Asin t =+(2a Acos

8、 t =+那么它最大的位移為 A , 最大的速度為 A ,而最大得加速度為 2A 。1.3 簡諧運(yùn)動(dòng)中的能量守恒 5對(duì)于包括簡諧運(yùn)動(dòng)在內(nèi)的諧運(yùn)動(dòng)來說, 如果沒有耗散力作用在系統(tǒng)上, 則系統(tǒng)的 總機(jī)械能量守恒 E K U =+。簡諧運(yùn)動(dòng)的位移由下式給出:(x Acos t =+在任何時(shí)刻,勢能 (222U 0.5kx0.5kA cos t =+勢能的最大值為 22 kA。在運(yùn)動(dòng)期間,勢能在零和這個(gè)最大值之間改變,如圖 3所示。 圖 3勢能的變化曲線 在任何時(shí)刻,動(dòng)能 K 為 20.5mv 。利用關(guān)系式 n 與 2k m=得到 2K 0.5mv =(220.5kA sin t =+所以動(dòng)能具有最大

9、值 22 kA或 22( m A , 這與先前所說的最大速率 A 是一致 的。在運(yùn)動(dòng)期間,動(dòng)能在零和這個(gè)最大值之間改變,總機(jī)械能為動(dòng)能與勢能之和 :(2222E K U 0.5kA sin t 0.5kA cos t =+=+可見,總能量是恒定的,它具有數(shù)值 22 kA。在最大位移處,動(dòng)能為零而勢能為 22 kA, 在平衡位置,勢能為零而動(dòng)能為 22 kA。在其它位置,動(dòng)能和勢能各自 貢獻(xiàn)的能量之總和為 22 kA。圖 3表明了這個(gè)恒定的總能量。作簡諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的 總能量與震動(dòng)振幅的平方成正比。 由圖 3可以清楚地看出, 在一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)的平均 動(dòng)能恰好等于平均勢能,并且每個(gè)平均值都是 22

10、kA。通常,可將方程 E K U =+寫 成 222E 0.5 kA0.5mv 0.5kx =+,由此關(guān)系式可得到 : (222v A x, k m =- 或 22v A -x dx dt = 這一關(guān)系式清楚地表明:在平衡位置 x=0處,速率為零。實(shí)際上,我們可以從能 量守恒的方程出發(fā),通過建方程 22v A -x dx dt = 積分,而得到最為時(shí)間函數(shù) 的位移。所得結(jié)果與式子 22v A -x dx dt = 完全相同,而式子 (x Acos t =+是由運(yùn)動(dòng)的微分方程 220d x kx dt m+=推到出來的 5。 2量子諧振子2.1量子諧振子的運(yùn)動(dòng)方程所謂的簡諧振子就是一個(gè)受彈性力作

11、用的系統(tǒng),其勢能20U 0.5kx20.5w x2µ=k為彈簧系數(shù), =為振 量子諧振子的運(yùn)動(dòng)方程為: 222221E 22h d x dx -+= 為簡化書寫,令x = , 2E h = 于是方程 - h 2 d y 2 2 2 m dx + 1 2 m w x y = E y 化為 2 2 d y 2 dx 2 + (e - x 2 )y = 0 當(dāng) §® ¥ 時(shí)，以上方程有漸進(jìn)解y ¥ = e ± ± x 2 ，方程的精確解可寫作： H (x x 2 y = e 2 2.2 量子諧振子能量6 y =e - x 22 2

12、 H (x fs 將它帶入 d y 2 dx 2 + (e - x 2 )y = 0 ，得到 H (x 滿足的方程： dH ( x dx d H (x 2 dx 2 - 2x + ( e - 1 H ( x = 0 次方程厄米方程，可用級(jí)數(shù)法求解，為此令 H (x = a 0 x d = a 1x d +1 + = å ¥ ag x d +g g =0 我 們 要 求 d ³ 0 ， 否 則 ， x = 0 時(shí) ， H (x 將 為 無 窮 。 將 以 上 級(jí) 數(shù) 代 入 d H (x 2 dx 2 - 2x dH ( x dx + ( e - 1 H ( x =

13、 0 ，比較 x g +d 的系數(shù)，可得以下遞推公式： ( s + n + 2 ( s + n + 1 an + 2 = ( 2 d + 2n + 1 - e an 當(dāng)n = - 2時(shí)，因?yàn)?a - 2 = 0， 于是有 s（ s - 1） a 0 = 0 由此得出 s= 0 和 s= 1 。當(dāng) v= -1 時(shí)， a -1 = 0 ，于是有 （ s + 1 ） sa 1 = 0 因 為 要 求 s ³ 0 ， 由 此 得 出 s = 0 , 否 則 必 須 a1 = 0 。 在 確 定 s 后 ， 根 據(jù) 遞 推 公 式 ( s + n + 2( s + n + 1 an + 2 =

14、 (2 d + 2n + 1 - e an ，可只討論 s= 0 ，這時(shí)，遞推公式變?yōu)?6 an + 2 = 2n + 1 - e (n + 2 (n + 1 an (1 考察以上級(jí)數(shù)的收斂特性，當(dāng)n ® ¥ 時(shí)，由 an + 2 an = 2n + 1 - e (n + 2 (n + 1 ® 2 n 而 e x 2 = å n x 2n º n! n å bn x ， n n = 2n 1 bn + 2 bn = b n +1 bn = ( n + 1! 1 n! = 1 n +1 ® 2 n 由此可見，從(1式算得的級(jí)數(shù)

15、，在 x ® ¥ 時(shí)，具有 e x 的發(fā)散特性，從而整個(gè)波 2 函數(shù)y = e - x 2 2 H (x 在 x ® ¥ 時(shí)，仍按 e + x 2 2 趨于無窮，這是不能允許的。要避免以上情 況，除非方程中的參數(shù) e 取，取些特定的數(shù)值，已使無窮級(jí)數(shù)中斷為一多項(xiàng)式，這時(shí) 波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì)就只取決于 e x= h - x 2 2 了。 n=0,1,2,3 mw -x ，E = e 2 hw w ， 是與能量有關(guān)的參數(shù)， 條件 e = 2 n + 1 給出能量 E= e 2 hw = ( n + 1 2 hw 這說明不是任何能量值都有相應(yīng)的狀態(tài)存在，可

16、能狀態(tài)的能量，只能取以上量子 化的數(shù)值。在經(jīng)典力學(xué)中，振子的能量與振幅平方成正比，振幅可以連續(xù)變化，因而 能量亦能連續(xù)取值，并且存在能量為零的靜止?fàn)顟B(tài)7。在量子力學(xué)中情況則不同，能 量只能取量子化的數(shù)值，相鄰能級(jí)的能量差為 h w ?；鶓B(tài) n= 0 亦具有能量 E 0 = 0 .5 hw ， 它稱為零點(diǎn)能8。 當(dāng) n 去定后，即可由遞推公 式算出相應(yīng)的 H n (x ，從而得出相應(yīng)的波函數(shù) y n = e - x 2 2 H n ( x ， H n (x ）稱為厄米多項(xiàng)式，它亦可由以下公式直接計(jì)算： d dx n n H n (x ）= ( - 1 n e x 7 2 (e -x 2 最后波函

17、數(shù)由以下式子給出： y n (x = N n e - x 2 2 H n (x 其中， x = mw h x ，Nn = 1 2 × n! n mw ph 對(duì)應(yīng)的能量為 E n = ( n + h w 2 1 下面是量子諧振子的最低幾個(gè)能級(jí)的波函數(shù)和幾率9分布如圖 4 所示當(dāng)能量低時(shí) 的情況： 圖 4 低能量時(shí)量子諧振子的能及的波函數(shù)和幾率分布 能量高時(shí)的情況如圖 5 所示： 圖 5 高能量時(shí)量子諧振子的能及的波函數(shù)和幾率分布 3 經(jīng)典諧振子與量子諧振子的異同10 從能量的角度上看，當(dāng)能量高時(shí)量子幾率平均說來與經(jīng)典幾率相近，即能量高時(shí) 量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在量子力學(xué)中，由

18、于粒子一開始就處于不定態(tài)， 故它有幾率為零的節(jié)點(diǎn)存在，但平均值與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點(diǎn)主要是運(yùn)動(dòng)方 8 程的描述方式不同， 經(jīng)典諧振子是用牛頓運(yùn)動(dòng)定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描 述的故它們運(yùn)動(dòng)方程不同，方程的解也不同。 結(jié)論 本文通過詳細(xì)分析諧振子在經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)中的運(yùn)動(dòng)， 得出它們的能量分布 幾率基本相似，但它們的運(yùn)動(dòng)描述方式完全不同。從能量的角度上看，當(dāng)能量高時(shí)量 子幾率平均說來與經(jīng)典幾率相近，即能量高時(shí)量子力學(xué)的結(jié)果將與經(jīng)典力學(xué)一致，在 量子力學(xué)中，由于粒子一開始就處于不定態(tài)，故它有幾率為零的節(jié)點(diǎn)存在，但平均值 與經(jīng)典幾率一致；它們的不同點(diǎn)主要是運(yùn)動(dòng)方程的描述方式不同，經(jīng)典諧振子是用牛 頓運(yùn)動(dòng)定律描述而量子諧振子是用波函數(shù)來描述的故它們運(yùn)動(dòng)方程不同， 方程的解也 不同。 參考文獻(xiàn)： 1 鄒鵬程.量子力學(xué)M北京：高等教育出版社，1989：98106 2 鄭永令,吳建華.物理學(xué)基礎(chǔ)M北京：高等教育出版社，19