有理不等式的解法分類例析

1、有理不等式的解法分類例析電子郵箱zyl2518006,手機號電話07342518006 湖南祁東育賢中學 周友良 421600一、一元一次不等式的解法：1、 最簡一元一次不等式的解集： ax+b>0 (1)當a>0時，解集為 (2) 當a<0時，解集為 (3)當a0時，若b0, 解集為;b<0, 解集為R.2、復雜的一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟把原不等式化為最簡一元一次不等式的求解（板演1）3、含有參數的一元一次不等式的解法i. 先化簡為一元一次不等式的最簡形式ii. 應就參數的取值范圍進行討論，iii. 注

2、意解集應分列而不能取并集。（例一）4、一元一次不等式組的解法：（以兩個不等式的為例）（1）、先求出每個不等式的解集；（2）、求它們的交集：設a<b,則共有四種情況：；最好利用數軸求解例一、解不等式組： 解：例二、解關于x的不等式 解：將原不等式展開，整理得： 討論：當時，當時，若0時；若<0時當時，二、一元二次不等式（a0）的解法：1、配方后化為含有絕對值的不等式求解；（一般不用）2、因式分解化為一元一次不等式組求解；（繁，易錯） 3、圖象法：（a-法）（推薦使用），步驟如下：根據a的符號確定拋物線的開口方向;根據的符號確定拋物線與x軸的交點個數；根據不等號的方向確定解集的類型；（

3、六種之一，請自己列表）求出拋物線與軸的交點的橫坐標；寫出解集。4、含有參數的一元二次不等式的解法及逆向問題求出使a=0和=0時參數的值；把參數的取值范圍分為若干區(qū)間；當a0時，不等式化為一元一次不等式；當a0時，則根據參數在不同區(qū)間內a及的符號求出相應的解集；注意解集應分列而不能取并集。(例二)此類問題經常以逆向形式出現，即已知不等式的解集求參數的取值范圍。解題時應注意中的兩種情況。（例四、例五）例三、解關于x的不等式解： 原不等式可以化為： 當0即時，則,原不等式即為，解集為 x| 當>0時,若,即時,解集為x|或,； 當>0時,若,即時,解集為x|或。例四、若關于x的不等式的解

4、集為求關于x的不等式的解集解：由題設且， 從而 可以變形為即： 例五、關于x的不等式 對于恒成立，求a的取值范圍解：當a=0時，原不等式化為 x1< 0 ,不符合題意，a0.當a>0時,不等式的解集不可能是R，a0， 例六、若函數的定義域為R，求實數k的取值范圍解：顯然k=0時滿足 ，而k<0時不滿足又k的取值范圍是0,1三、分式不等式與高次不等式的解法對于形如的分式不等式可按以下步驟求解1、移項；（不要去分母）（例七、例八）2、通分化簡；3、把分子、分母分解為x-a或型的因式的乘積；4、在序軸上標出各個根；5、根據不等號的方向求解。6、應當注意的問題：1）、對于不能分解因式

5、的二次式 ,則必定保號，可利用不等式的可乘性先約掉該因式，將原不等式化簡為與之等價的不等式；（例四、例八）2）、分子或分母有偶數重根時，可將該點剔除；（例五）3）、分子分母的相同因式不可約掉，應視為重根；4）、若不等式含有等號時，解集中應有分子的根（加上等號），即把原來涉及分子的根的開區(qū)間變?yōu)殚]區(qū)間。（例五）例六: 解不等式（x1）(x2)(x3)0分析：此不等式的左端是關于x的高次不等式，已不能用一元二次不等式解法求解，用轉化為解不等式組的方法會很繁，容易出錯。我們可以借助于數軸并根據積的符號法則來求解.令(x1)(x2)(x3)=0可得x=1或x=2或x=3,我們稱之為不等式的零點，1，2

6、，3這三個零點將數軸分成了四部分，當x3時，（x1）、（x2）、(x3)各項為正，當2x3時，（x1）、(x2)、(x3)只有一項符號改變，即乘積為負，以此類推，根據在四部分區(qū)間上不等式左邊恰有正負相間的規(guī)律，即可求解解：令(x1)（x2）(x3)=0可得零點x=1或2或3，將數軸分成四部分，借助于數軸可得： 1 2 3 x 滿足上述條件時由零點分數軸各部分的最右端為正，然后依次正負相間，可觀察數軸直接得到解集.所求不等式解集為x|x1或2x3例七： 解不等式略解一（分析法）或解二：（列表法）原不等式可化為列表注意：按根的由小到大排列 區(qū)間符號因子 (-,-1)(-1 , 1 )(1 ,2 )

7、( 2 , 3 )(3 , +)X+1X1X2X3左邊解集解三：（標根法）作數軸；標根；畫曲線，定解-101234-2小結：在某一區(qū)間內，一個式子是大于0（還是小于0）取決于這個式子的各因式在此區(qū)間內的符號；而區(qū)間的分界線就是各因式的根；上述的列表法和序軸標根法，幾乎可以使用在所有的有理分式與高次不等式，其中最值得推薦的是“標根法”例八： 解不等式 解：原不等式化為 （移項并分解因式）原不等式的解為x|（用序軸標根法求解）例九： 解不等式 解：恒成立原不等式等價于 解集為 x| 1< x < 5 例十：解不等式 解：原不等式等價于且 原不等式的解為若原題目改為呢？則原不等式的解為例十一： 解不等式解：原不等式