正確計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均數(shù)

1、正確計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均數(shù) 平均數(shù)是社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)的基本指標(biāo)與基本方法，在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有十分重要的作用，國(guó)外一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家曾稱：統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門平均數(shù)的科學(xué)。因此，正確理解、計(jì)算、運(yùn)用統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，是學(xué)習(xí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)的基本要求，也是學(xué)好后續(xù)統(tǒng)計(jì)方法特別是統(tǒng)計(jì)指數(shù)、統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)、序時(shí)平均數(shù)等統(tǒng)計(jì)方法的關(guān)鍵。 統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的計(jì)算方法按其資料的時(shí)間屬性不同，分為靜態(tài)平均與動(dòng)態(tài)平均，前者屬于截面數(shù)據(jù)的平均，即為一般平均數(shù)，后者為時(shí)間數(shù)列的平均，也稱序時(shí)平均。序時(shí)平均是靜態(tài)平均方法的具體應(yīng)用。統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的計(jì)算方法按其體現(xiàn)原始數(shù)據(jù)的充分性不同，主要可分為數(shù)值平均與位置平均，前者包括算術(shù)平均、調(diào)和平均、幾何平均、平

2、方平均，它們均有簡(jiǎn)單式與加權(quán)式之分，實(shí)踐中較常用的是算術(shù)平均、調(diào)和平均與幾何平均。后者則指中位數(shù)與眾數(shù)。這些平均方法與公式具有不同的應(yīng)用場(chǎng)合或應(yīng)用條件，實(shí)踐中必須正確選擇。但我們?cè)诙嗄甑慕虒W(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，許多初學(xué)者往往無(wú)法正確區(qū)分這些不同平均方法的應(yīng)用條件，特別是算術(shù)平均、幾何平均、調(diào)和平均的應(yīng)用條件，從而出現(xiàn)亂套公式的情況。本文擬通過(guò)案例分析，與同學(xué)們談?wù)勅绾握_計(jì)算算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)與幾何平均數(shù)。例1某企業(yè)報(bào)告期三個(gè)車間的職工人均日產(chǎn)量分別為：50件、65件、70件，車間日總產(chǎn)量分別為800件、650件、1050件。 要求：計(jì)算三個(gè)車間的職工每人平均日產(chǎn)量。解題過(guò)程 三個(gè)車間的職工每人平

3、均日產(chǎn)量=m/(m/x) =(800+650+1050)/(800/50+650/65+1050/70) =2500/41=60.98（件/人）解題說(shuō)明本題從公式形式上看，是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。從內(nèi)容上看，屬于“統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的平均數(shù)計(jì)算”，但初學(xué)者常常容易犯的錯(cuò)誤是亂套公式。最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是：選擇算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即以三個(gè)車間的日總產(chǎn)量為權(quán)數(shù)，對(duì)三個(gè)車間的勞動(dòng)效率進(jìn)行算術(shù)平均：（50×800+65×650+70×1050）/（800+650+1050）=155750/2500=62.3另一類錯(cuò)誤是采用簡(jiǎn)單平均公式計(jì)算平均產(chǎn)量，即（50+65+75）/3=63.33。出現(xiàn)

4、上述兩類錯(cuò)誤的根源是：沒(méi)有正確理解社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中平均數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。其實(shí)，無(wú)論資料條件如何，職工人均產(chǎn)量的基本含義永遠(yuǎn)是：總產(chǎn)量/工人數(shù)。因此，本例資料只需要求出三個(gè)車間的總產(chǎn)量及三個(gè)車間的總?cè)藬?shù)即可。由所提供的資料可以知道，總產(chǎn)量已經(jīng)知道了，為(800+650+1050)=2500，而各車間的職工人數(shù)卻需要推算。因?yàn)楦鬈囬g的總產(chǎn)量與該車間工人數(shù)之比即為該車間的人均產(chǎn)量，所以各車間職工人數(shù)應(yīng)該等于總產(chǎn)量與人均產(chǎn)量之對(duì)比，三個(gè)車間的職工總?cè)藬?shù)應(yīng)該為：(800/50+650/65+1050/70)=41人。  例2某企業(yè)集團(tuán)下屬的25個(gè)企業(yè)報(bào)告期計(jì)劃利潤(rùn)計(jì)劃完成程度如下表所示：按計(jì)劃完成程

5、度分%企業(yè)個(gè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃利潤(rùn)總額（萬(wàn)元）90以下380090-10062200100-110146000110以上21000合計(jì)2510000要求：計(jì)算25個(gè)企業(yè)的平均計(jì)劃完成程度及平均每個(gè)企業(yè)實(shí)現(xiàn)的利潤(rùn)額。 解題過(guò)程 平均計(jì)劃完成程度=xf/f =（800×85%+2200×95%+6000×105%+1000×115%）/10000 =10220/10000=102.2% 平均每個(gè)企業(yè)實(shí)現(xiàn)的利潤(rùn)額=全部企業(yè)實(shí)現(xiàn)的利潤(rùn)總額/企業(yè)個(gè)數(shù) =10220/25=408.8萬(wàn)元解題說(shuō)明本例是統(tǒng)計(jì)學(xué)中比較典型的“相對(duì)數(shù)的平均數(shù)計(jì)算”問(wèn)題。我們所采用的是“

6、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)”公式，權(quán)數(shù)是每一組的計(jì)劃利潤(rùn)額。常見(jiàn)的錯(cuò)誤有這樣幾種：一種是組中值錯(cuò)誤。特別是第一組與最后一組的組中值，有一些初學(xué)者常常用90%作為第一組的組中值，用110%作為最后一組的組中值，這是不對(duì)的。組中值的一般計(jì)算方法是（上限+下限）/2，但對(duì)于這類“開(kāi)口組”，其組中值應(yīng)該按鄰組的組距去推算。故本例第一組的組中值應(yīng)該取85%，最后一組的組中值應(yīng)該取115%；第二種錯(cuò)誤是用“企業(yè)個(gè)數(shù)”作權(quán)數(shù)計(jì)算平均計(jì)劃完成程度，這說(shuō)明沒(méi)有正確理解平均計(jì)劃完成程度的含義。其實(shí)，作為權(quán)數(shù)的指標(biāo)f與變量值x之間的乘積應(yīng)該具有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義的，本例若將企業(yè)個(gè)數(shù)與計(jì)劃完成程度相乘，就不可能得到有實(shí)際意義的指標(biāo)值（

7、某一組的標(biāo)志總量）。本例只有當(dāng)各個(gè)企業(yè)的計(jì)劃利潤(rùn)全部相同時(shí)，才可以以企業(yè)個(gè)數(shù)為權(quán)數(shù)進(jìn)行加權(quán)算術(shù)平均。正如當(dāng)我們掌握三個(gè)企業(yè)的計(jì)劃完成程度時(shí)，我們一般不能采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均計(jì)算它們的平均計(jì)劃完成程度，除非三個(gè)企業(yè)的計(jì)劃數(shù)相同。第三種錯(cuò)誤與之相類似，初學(xué)者也有以“企業(yè)個(gè)數(shù)×計(jì)劃利潤(rùn)總額”為權(quán)數(shù)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，誤以為表中的“計(jì)劃利潤(rùn)總額”是平均每一個(gè)企業(yè)的計(jì)劃任務(wù)。其實(shí)，表中文字中根本就沒(méi)有“平均”之意，更何況還有一個(gè)“合計(jì)”計(jì)劃利潤(rùn)總額為10000萬(wàn)元的資料，若為“平均”，就不能“合計(jì)”。第四種錯(cuò)誤就是套用調(diào)和平均數(shù)公式?；蚴翘子煤?jiǎn)單調(diào)和平均公式，或是以企業(yè)數(shù)為權(quán)數(shù)計(jì)算加權(quán)調(diào)和平均，或是以

8、計(jì)劃利潤(rùn)總額為權(quán)數(shù)計(jì)算調(diào)和平均，或是以企業(yè)個(gè)數(shù)與計(jì)劃利潤(rùn)額之間的乘積為權(quán)數(shù)計(jì)算調(diào)和平均。這一錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源是：學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有正確理解統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，只簡(jiǎn)單化地背一些公式，應(yīng)用時(shí)就想當(dāng)然地套用平均數(shù)公式。其實(shí)，與例1類似，計(jì)算相對(duì)數(shù)的平均數(shù)時(shí)，必須首先明白該相對(duì)數(shù)的基本公式，即分子是什么，分母是什么。然后計(jì)算“分子總和”與“分母總和”，將這兩個(gè)總和相除，就是相應(yīng)的“平均數(shù)”。所以，平均計(jì)劃完成程度的真實(shí)含義應(yīng)該是“總實(shí)際/總計(jì)劃”，因?yàn)橛?jì)劃完成程度的一般公式是“實(shí)際/計(jì)劃”。本例計(jì)算時(shí)，初學(xué)者根本不必猜測(cè)應(yīng)該采用算術(shù)平均還是采用調(diào)和平均，也不必猜測(cè)應(yīng)該以哪一項(xiàng)指標(biāo)為權(quán)數(shù)，正確的思路是：由所給資料求出

9、“分子總和”-25個(gè)企業(yè)總的實(shí)際利潤(rùn)，求出“分母總和”-25個(gè)企業(yè)總的計(jì)劃利潤(rùn)。因本例已經(jīng)知道了各組企業(yè)的計(jì)劃總額，所以需要推算“實(shí)際利潤(rùn)總額”，其推算過(guò)程應(yīng)該是“計(jì)劃數(shù)×計(jì)劃完成程度”。即，實(shí)際總利潤(rùn)=（800 × 85% + 2200 × 95% + 6000 × 105% + 1000 × 115%）。而總計(jì)劃為（800+2200+6000+1000），二者的對(duì)比在形式上是一個(gè)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式。因此，本例的計(jì)算方法就稱為“算術(shù)平均數(shù)”。若本例不是提供“計(jì)劃利潤(rùn)總額”而是提供“實(shí)際利潤(rùn)總額”，則計(jì)算平均計(jì)劃完成程度時(shí)需要推算“計(jì)劃利潤(rùn)總額

10、”。而計(jì)劃利潤(rùn)總額的推算需要采用“實(shí)際利潤(rùn)/計(jì)劃完成程度”，在形式上表現(xiàn)為（m/x），因此，此時(shí)的平均計(jì)劃完成程度在形式上就屬于“加權(quán)調(diào)和平均數(shù)”。依此類推，當(dāng)計(jì)算若干村的“平均畝產(chǎn)”時(shí)，就應(yīng)該把握住基本公式：平均畝產(chǎn)永遠(yuǎn)是“糧食總產(chǎn)量/總面積”，不論資料形式如何，只要求得“總產(chǎn)量”與“總面積”兩項(xiàng)基本資料即可，若知道各村畝產(chǎn)及種植面積，則推算總產(chǎn)量即可，這在形式上是一個(gè)“加權(quán)算術(shù)平均”，但若已知各村畝產(chǎn)及總產(chǎn)量時(shí)，需要推算種植面積，這在形式上是一個(gè)“加權(quán)調(diào)和平均”；當(dāng)計(jì)算若干個(gè)企業(yè)的“平均資金利潤(rùn)率”時(shí)，就應(yīng)該把握住基本公式：平均資金利潤(rùn)率永遠(yuǎn)是“總利潤(rùn)/總資金”；計(jì)算若干商品或企業(yè)的平均銷

11、售利潤(rùn)率時(shí)，就應(yīng)該把握基本公式：平均銷售利潤(rùn)率永遠(yuǎn)是“總利潤(rùn)/總銷售”。例3設(shè)有三個(gè)車間報(bào)告期的產(chǎn)品生產(chǎn)情況如下表所示：車間不合格品率%不合格品件數(shù)(件)甲5500乙2190丙4372合計(jì)-1062要求：若這三個(gè)車間是同一產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上的三個(gè)階段（工序），則平均不合格品率為多少？若這三個(gè)車間是獨(dú)立生產(chǎn)完全相同產(chǎn)品的三個(gè)小組，則平均不合格品率是多少？若這三個(gè)車間不僅完全獨(dú)立，且所生產(chǎn)的產(chǎn)品使用價(jià)值完全不同，產(chǎn)品的出廠價(jià)格分別為300元/件、400元/件、1000元/件，則應(yīng)該如何計(jì)算它們的平均不合格品率？解題過(guò)程 平均合格品率 =0.96325=96.325% 平均不合格品率=1-96.325

12、%=3.675% 平均不合格品率=不合格產(chǎn)品總件數(shù)/全部產(chǎn)品總件數(shù) =0.036875=3.69% 平均不合格品率=不合格品產(chǎn)品總價(jià)值/全部產(chǎn)品總價(jià)值598000/16100000=3.7143%  解題說(shuō)明本例分別三種情況計(jì)算平均不合格品率。對(duì)于第一個(gè)計(jì)算要求，關(guān)鍵是必須注意幾何平均法的應(yīng)用條件與要求。幾何平均雖然適合于計(jì)算比率與速度的平均，但卻是有條件的：要求變量值的連乘積等于總比率或總速度，否則就不能采用幾何平均法。實(shí)踐中一般有四種情況需要應(yīng)用幾何平均數(shù)公式計(jì)算平均值，一種情況是“連續(xù)作業(yè)的車間平均合格率與平均不合格品率”，第二種情況是“平均發(fā)展速度與平均增長(zhǎng)速度”，

13、第三種情況是“復(fù)利條件下的平均利率”。第四種是一些特殊需要，如綜合評(píng)價(jià)合成值或統(tǒng)計(jì)指數(shù)計(jì)算時(shí)可以用幾何平均法。本小例最常見(jiàn)的錯(cuò)誤是：誤用加權(quán)算術(shù)平均或加權(quán)調(diào)和平均或簡(jiǎn)單算術(shù)平均公式計(jì)算平均不平均合格品率，這顯然忽視了“連續(xù)作業(yè)車間”這一特定條件。另一個(gè)常見(jiàn)的錯(cuò)誤是：直接對(duì)不合格品率采用幾何平均法計(jì)算，這里顯然又忽視了“變量值連乘積等于總比率或總速度”這一基本計(jì)算要求。因?yàn)槿齻€(gè)車間合格率的連乘積正好等于全廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的總合格率或最終合格率，而三個(gè)車間不合格品率的連乘卻沒(méi)有太大的實(shí)際意義。從概率意義看，三個(gè)車間合格率的連乘正表示“三道工序均合格”，這樣的產(chǎn)品才能算是最終的合格品，而三個(gè)車間不合格品

14、率連乘的概率含義卻是“沒(méi)有一道工序是合格的”，顯然它并沒(méi)有將所有不合格品包括在內(nèi)，任何一道工序的不合格對(duì)于最終產(chǎn)品而言就是不合格的，因此只有當(dāng)三道工序全部合格時(shí)才算真正的合格。所以本小題采用先計(jì)算平均合格率，再計(jì)算平均不合格品率的路線。正是同樣的道理，計(jì)算平均增長(zhǎng)速度就不能直接用幾何平均數(shù)公式，而應(yīng)該先計(jì)算平均發(fā)展速度（因?yàn)榄h(huán)比發(fā)展速度可以連乘而環(huán)比增長(zhǎng)速度不能連乘）；計(jì)算復(fù)利平均利率也不能直接用利率，而應(yīng)該先計(jì)算平均的“本利率”，再減去100%以求得平均利率。對(duì)于第二個(gè)計(jì)算要求，與例1、2類似，屬于“相對(duì)數(shù)的平均數(shù)”，只要記住：不合格率是不合格產(chǎn)品數(shù)量與總產(chǎn)量之對(duì)比，因此平均不合格品率就是三個(gè)車間總的不合格品產(chǎn)量與全部產(chǎn)量的對(duì)比，因題中已經(jīng)提供了不合格品數(shù)量，需要借助“總產(chǎn)量=不合格品件數(shù)/不合格品率”來(lái)推算三個(gè)車間的產(chǎn)品總量，在形式上就是一個(gè)調(diào)和平均數(shù)公式。這一小題容易犯的錯(cuò)誤仍然是誤用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。但必須注意的是，調(diào)和平均數(shù)公式中不允許變量值為零，因此若某一車間的不合格品率為零時(shí)，就不可也無(wú)法