高中數(shù)學(xué)例談不等式證明的幾種特殊方法學(xué)法指導(dǎo)

1、用心 愛(ài)心 專心例談不等式證明的幾種特殊方法尹語(yǔ)錄不等式的證明常用的方法有比較法,綜合法,分析法,在不等式的證明問(wèn)題中,選擇 適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ侵陵P(guān)重要的。今例舉幾種證明不等式的特殊方法。一、換元法換元法是指對(duì)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜,量與量之間的關(guān)系不甚明了的命題,通過(guò)恰當(dāng)引入新變 量,代換原題中的部分式子,簡(jiǎn)化原有結(jié)構(gòu),使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式,換元法多用于 條件不等式的證明,常采用三角代換,均值代換及其他代換方法。例 1. 已知 a 、 b 4b a , R 22+,求證:20|b 3ab 8a 3|22-。證明:因?yàn)?4b a , R b , a 22+所以可設(shè) =sin r b , cos r a ,

2、其中 2r 0所以 |b 3ab 83|22-2025r 5|2cos(|r 5|2sin 42cos 3|r |sin 3cos sin 8cos 3|r 2222222=+=-=-= 故原不等式成立。例 2. 已知 a 、 b 、 c R ,且 1c b a =+,求證:31c b a 222+ 證明:p 31c , n 31b , m 31a +=+=+= 因?yàn)?1c b a =+,所以 0p n m =+ 故 222222222p n m p n m (3231 p 31( n 31( m 31(c b a +=+=+ 31。二、反證法從否定結(jié)論出發(fā)經(jīng)過(guò)邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,證明結(jié)論的否

3、定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié) 論是正確的證明方法。凡涉及到證明的不等式為否定性命題,惟一性命題或是“至多”、 “至少”等字句時(shí),常用反證法。例 3. 已知:a 、 b 、 c 1, 0(,求證:a c 1(, c b 1(, b a 1(-不能同時(shí)大于41。 證明:假設(shè)三式同時(shí)大于41 即有 41ac a , 41bc c , 41ab b >->->- 三式同時(shí)相乘,得用心 愛(ài)心 專心, 641c c 1(b b 1(a a 1(41c c 1(, 41b b 1(41 2a a 1(a a 1(641c c 1(b b 1(a a 1(2-=+->-所以 同理 又 因此

4、與假設(shè)矛盾,結(jié)論正確三、判別方式判別式法是根據(jù)已知的或構(gòu)造出來(lái)的一元二次方程,一元二次不等式,二次函數(shù)的根, 解集,函數(shù)的性質(zhì)等特征確定出其判別式所應(yīng)滿足的不等式,從而推出欲證的不等式的方 法。例 4. 設(shè) c b a , 1c b a , 1c b a 222>>=+=+且 , 求證:0c 31<<- 證明:因?yàn)?1c b a =+,所以 c 1b a -=+。所以 c 2c 1ab 2b a 222-+=+而 222c 1b a -=+,所以 c c ab 2-=所以 a 、 b 為方程 0c c x c 1(x 22=-+-的二實(shí)根。而 c b a >>

5、;,故方程有均大于 c 的不等實(shí)根,設(shè) c c x c 1(x x (f 22-+-=,則><<->->0c (f 0c 31, c 2c 10解得四、導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法是構(gòu)造一個(gè)函數(shù),根據(jù)其在某個(gè)范圍內(nèi)的單調(diào)性來(lái)證明不等式的方法。 例 5. 已知:a 、 b 為正整數(shù),且 b a 1<<,證明:a b b 1( a 1(+>+。證明:要證不等式成立,只要證明: b 1ln(a a 1ln(b +>+。 即bb 1ln(a a 1ln(+>+ 構(gòu)造函數(shù) 2x (xx 1ln( x (f += 2xx 1ln(x1x x (' f +

6、-+=, 0x 1(x x 1ln( x 1ln(x x 2<+-+-= 于是 x (f 在 , 2+上是減函數(shù)。由 b (f a (f , b a 2><知 。即 b b 1ln(a a 1ln(+>+,用心 愛(ài)心 專心 所以 a b b 1( a 1(+>+。五、放縮法欲證 B A , 可通過(guò)適當(dāng)放大或縮小, 借助一個(gè)或多個(gè)中間量, 使得 211B B , B B , , , A A , A A A B 211i 或 , B A i ,再利用傳遞性,達(dá)到欲證的目的,這種方法叫放縮 法。例 6. 已知:a 、 b 、 c 、 d 均為正數(shù), c a d d b

7、d c c a c b b d b a a S +=,求 證:2s 1<<。證明:因?yàn)?a 、 b 、 c 、 d 均為正數(shù)。 所以 d c b a d d c b a c d c b a b d c b a a s +> 2d c d c b a b a d c d d c c b a b b a a s , 1d c b a d c b a =+=+<=+=且 , 所以 2s 1<<。六、向量的數(shù)量積法|, cos |><=顯然有 , 運(yùn)用此法可證明較難的不等式問(wèn)題。例 7. 已知 a 、 b 、 c 均為正實(shí)數(shù),且 2c b a =+,求證:3