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1、重力扭轉(zhuǎn)平衡實(shí)驗(yàn)(Gravitational Torsion Balance Experiment) 胡裕民 編寫一. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?. 利用Henry Cavendish的實(shí)驗(yàn)方法來測(cè)量重力常數(shù)(gravitational constant,G)。二. 原理介紹:在1686年,Isaac Newton所發(fā)表的著作“Principia Mathematica”中指出:所有物質(zhì)之間存在著重力的作用,且此重力(吸引力)正比於兩作用物體的質(zhì)量,並反比於兩作用物體之間距離的平方。然而,在牛頓發(fā)表的一個(gè)世紀(jì)之後,科學(xué)家知道重力常數(shù)G以及所有天體質(zhì)量的大小。牛頓的理論不僅當(dāng)時(shí)成功地解釋了自由落體以及天體運(yùn)動(dòng)
2、的現(xiàn)象,並使得後來的數(shù)學(xué)家能以計(jì)算方式正確地預(yù)測(cè)出海王星(Neptune)的存在。在牛頓的時(shí)代,所有的計(jì)算是利用太陽(或地球)與行星(或衛(wèi)星)的質(zhì)量比值來求得的,牛頓實(shí)際的方程式為 (1)其中F為重力,m為物體的質(zhì)量,D為距離,K為克卜勒常數(shù)(Keplers constant,為行星軌道半徑的三次方與公轉(zhuǎn)周期平方的比值)。著名的牛頓萬有引力定律現(xiàn)今可表示為: (2)其中F為重力,G為重力常數(shù)(= 6.6710-11 Nm2/kg2),m、M為兩物體之質(zhì)量,r為兩物體之間的距離。1798年Henry Cavendish (1731-1810,英國化學(xué)及物理學(xué)家,發(fā)現(xiàn)hydrogen、argon原
3、子以及water、nitric acid的組成)設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)來計(jì)算地球的質(zhì)量,並首先發(fā)現(xiàn)重力常數(shù)G的數(shù)值大小。大部分的基本常數(shù),例如:電荷e、普朗克常數(shù)h等,的測(cè)量都可精確到八、九個(gè)位數(shù),但是重力常數(shù)G的測(cè)量較為困難,只能精確到三個(gè)位數(shù):(6.6730.010)10-11 m3kg-1s-1。當(dāng)初,Cavendish的實(shí)驗(yàn)裝置如圖一所示: 圖一.(左)扭擺平衡運(yùn)動(dòng)側(cè)面圖(右)扭擺平衡運(yùn)動(dòng)頂面圖。將兩個(gè)質(zhì)量為m的小鉛球固定在一支細(xì)棒的兩端,細(xì)棒中央固定一個(gè)反射鏡,然後將此系統(tǒng)如圖一(左)所示,以一條細(xì)石英線平衡懸掛。將一支臂上兩個(gè)較大的鉛球位於position 1或position 2,如圖一
4、(右)所示。以一雷射光束投射到反射鏡上,觀察遠(yuǎn)處直尺上的反射光。兩個(gè)小球受到大球(於position 1)吸引時(shí),會(huì)使石英線受到力矩而逆時(shí)針扭轉(zhuǎn),若鏡子轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度時(shí),反射光會(huì)偏轉(zhuǎn)到2的角度。當(dāng)兩個(gè)小球受到大球(於position 2)吸引時(shí),會(huì)使石英線受到力矩而順時(shí)針扭轉(zhuǎn),若鏡子轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)小角度-時(shí),反射光會(huì)偏轉(zhuǎn)到-2的角度。若鏡子到直尺的距離為L,反射光在直尺上移動(dòng)的距離為x,則: (3)兩個(gè)大球作用在兩個(gè)小球的力矩為:,F(xiàn)為其中一個(gè)大球作用在一鄰近小球的作用力,d為兩個(gè)小球間距的一半。若D為石英棒的扭力常數(shù),則 (4)此外,扭力常數(shù)D與震盪週期T之間的關(guān)係為: (5)其中I為轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)
5、動(dòng)慣量: (6)因此,利用eq.(3)-(6): (7)將eq.(7)與eq.(2)比較後可知 (8) 本實(shí)驗(yàn)根據(jù)上述的基本原理,利用兩種方法來量測(cè)重力常數(shù),以下分別仔細(xì)介紹各方法的原理:1. 由最後偏折的量測(cè): 圖二由圖二所示,當(dāng)大球(質(zhì)量M)在position 1時(shí),大球與小球(質(zhì)量m)之間的重力F可表示為: (9)在此系統(tǒng)中,大球與小球之間的重力作用產(chǎn)生一淨(jìng)力矩: (10)此重力產(chǎn)生的淨(jìng)力矩會(huì)與扭轉(zhuǎn)的扭力線產(chǎn)生的力矩大小相同、方向相反: (11)因此 (12)當(dāng)大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置時(shí),系統(tǒng)會(huì)由平衡位置S1作阻尼震盪,一直到靜止於另一個(gè)新的平衡位置S2,如圖三所示。 圖三此
6、時(shí),S1與S2之間的距離S與扭轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)係為(如圖四所示): (13) 圖四扭力常數(shù)可利用觀察振盪週期T來決定: (14)其中I為小球系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:(r為小球的半徑) (15)由eq.12到eq.15,我們可知 (16)因此,實(shí)驗(yàn)上量測(cè)雷射光點(diǎn)的總偏折距離S以及振盪週期T,即可得知G。2. 由加速度的量測(cè):如前所述,當(dāng)大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置時(shí),系統(tǒng)會(huì)由平衡位置S1作阻尼震盪,一直到靜止於另一個(gè)新的平衡位置S2。因?yàn)樾∏虻恼癖U週期很長(約十幾分鐘),因此當(dāng)大球旋轉(zhuǎn)到position 2位置的同時(shí),小球並沒有明顯的運(yùn)動(dòng),此時(shí)大球與小球之間的重力大小與之間約略相同,只是方向相反。
7、故此時(shí)剛加速小球的力量Ftotal等於原先重力作用的兩倍: (17)由阻尼簡(jiǎn)諧振盪的本質(zhì)可知:在振盪週期的前十分之一時(shí)間內(nèi),初始加速度a0約為常數(shù)(變化在5%範(fàn)圍內(nèi))。因此,我們?cè)谡癖U之初紀(jì)錄測(cè)量出初始加速度a0,即可約略得到重力常數(shù)G。 圖五 如圖五所示,初始加速度a0可由觀察雷射光點(diǎn)的位移而計(jì)算出來: (18)其中s為小球的線性位移。利用牛頓第二運(yùn)動(dòng)方程式: (19)將S與t2作圖,計(jì)算斜率即可得到初始加速度a0,亦即得到重力常數(shù)G。三. 實(shí)驗(yàn)裝置:1. 裝置參考圖:(圖六)圖六 2. 實(shí)驗(yàn)儀器:(圖七,由左到右)a. 2-561/8 Phillips head screws. 4b. r
8、eplacement torsion ribbon (鈹銅製,長26cm). 3c. Gravitational Torsion Balance. 1d. 鉛球(大:1.5kg/31.9mm 2,小:38.3g/9.53mm 2). 4e. support base with leveling feet. 1f. plastic plate. 1g. Phillips screwdriver (not shown) 1h. He-Ne laser light source (not shown). 1i. Meter stick (not shown). 1j. 碼錶 1 圖七 其他裝置參數(shù):
9、k. 當(dāng)大球貼近鋁板時(shí),大球的質(zhì)量中心至小球的質(zhì)量中心的距離b為46.5mm。l. 反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。3. 基本架設(shè):a. 先檢查實(shí)驗(yàn)儀器有無數(shù)量短缺或損壞情事,有則報(bào)告實(shí)驗(yàn)助教。b. 將基座置於平坦的實(shí)驗(yàn)桌上,距離牆壁或屏幕至少五公尺。實(shí)驗(yàn)過程中避免碰觸實(shí)驗(yàn)桌。c. 小心地將gravitational torsion balance固定在基座上。d. 旋轉(zhuǎn)擺錘腔(pendulum chamber)底部的螺絲,使得locking mechanism降至最低。(如圖八(左)所示) 圖八e. 調(diào)整基座腳使得擺錘在鏡子上方的中央。(如圖八(右)所示)f. 抓住torsi
10、on ribbon head,鬆開固定螺絲,調(diào)整擺錘高度,使得擺錘與擺錘腔切齊後,將固定螺絲鎖緊(如圖九所示)。注意:此步驟只在更換扭力線後或是誤觸扭力線固定螺絲時(shí)才需進(jìn)行。 圖九 圖十g. 擺錘臂的轉(zhuǎn)動(dòng)校正(zeroing):如圖十所示,將雷射光斜打在反射鏡上,經(jīng)由反射後觀察由鏡面反射的點(diǎn)與由玻璃視窗反射的點(diǎn)是否對(duì)齊,如圖十一(左)所示。若無對(duì)齊,則鬆開零點(diǎn)調(diào)整螺絲,輕輕轉(zhuǎn)動(dòng)zero adjust knob,直到兩雷射光點(diǎn)對(duì)齊後即鎖緊零點(diǎn)調(diào)整螺絲,如圖十一(右)所示。 圖十一h. 精確地量測(cè)圖十中L的距離長度。注意:反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。i. 將接地銅線接於擺錘腔的
11、接地螺絲並鎖緊。j. 將大鉛球放在支臂兩端上,並轉(zhuǎn)到position 1的位置,如圖十二所示。 圖十二k. 靜待擺錘停止震盪。這可能需要數(shù)小時(shí),實(shí)驗(yàn)時(shí)可利用擺錘腔(pendulum chamber)底部的螺絲,使得locking mechanism緩慢升起並接觸到擺錘棒,幾秒後再小心地將locking mechanism緩慢下降,快速地使擺錘停止震盪。四. 實(shí)驗(yàn)步驟:1. 方法一:由最後偏折的量測(cè)(準(zhǔn)確度:5%)a. 待基本架設(shè)完成後,大球置於position 1位置,並使擺錘停止振盪。b. 將雷射打開,觀察反射光點(diǎn)的位置幾分鐘,看看反射光點(diǎn)是否移動(dòng),以確定系統(tǒng)已達(dá)穩(wěn)定。精確紀(jì)錄positio
12、n 1時(shí)反射光點(diǎn)的位置S1,並紀(jì)錄反射光點(diǎn)位置S1隨時(shí)間變化的微小變化,以做為系統(tǒng)的起始誤差。c. 小心地將大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置,使大球剛好接觸擺錘腔外殼,絕對(duì)避免有較大的碰撞,使得系統(tǒng)失去平衡狀態(tài)。(可利用兩階段過程來減少擺錘達(dá)到平衡的時(shí)間(如圖十三所示):先將大球旋轉(zhuǎn)到intermediate position,等到雷射光束移動(dòng)至最遠(yuǎn)距離時(shí),再將大球旋轉(zhuǎn)到position 2的位置,使大球剛好接觸擺錘腔外殼。 圖十三d. 立刻觀察並紀(jì)錄光點(diǎn)位置(每十五秒紀(jì)錄一次)。e. 紀(jì)錄振盪一次的時(shí)間(為求精確,紀(jì)錄幾次的振盪周期後加以平均)。f. 一直等到振盪結(jié)束後,紀(jì)錄最後平衡的位
13、置S2。數(shù)據(jù)分析修正:g. 將所紀(jì)錄的數(shù)據(jù),利用eq.16計(jì)算出G值。h. 由於系統(tǒng)本身的誤差,因此我們做必須以下的修正:小球除了受到鄰近大球的重力吸引F之外,也會(huì)受到另一大球較弱的重力F0吸引,如圖十四所示。 圖十四由圖十四的幾何關(guān)係可知 (20) (21)而由萬有引力定律可知 (22)因此 (23)此處我們定義一無單位參數(shù) (24)由以上可知,實(shí)際作用於小球的重力,因此實(shí)驗(yàn)計(jì)算出的重力常數(shù),而G0則為修正後標(biāo)準(zhǔn)的重力常數(shù)。2. 方法二:由加速度的量測(cè)(準(zhǔn)確度:15%)a. 先完成方法一中的步驟a-c。b. 立刻觀察並紀(jì)錄光點(diǎn)位置(每十五秒紀(jì)錄一次,直到三分鐘)。 數(shù)據(jù)分析c. 將光點(diǎn)位移S(y軸)對(duì)時(shí)間t的平方(x軸)作圖,選擇起初符合線性關(guān)係的資料點(diǎn)作迴歸分析,找出斜率值,利用eq.17-19即可得到初始加速度a0以及重力常數(shù)G。d. 利用方法一的數(shù)據(jù)修正方法,得到正確的重力常數(shù)G。注意:1. 實(shí)驗(yàn)進(jìn)行前請(qǐng)助教
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