高等數(shù)學競賽試題1答案

1、高等數(shù)學競賽試題1一、 填空： 1若是上的連續(xù)函數(shù)，則a = 1 。2函數(shù)在區(qū)間上的最大值為 。3 。4由曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側的單位法向量為 。5設函數(shù)由方程所確定，則 。二、選擇題： 1 設函數(shù)f (x)可導，并且，則當時，該函數(shù)在點處微分dy是的（ A ）（A）等價無窮?。?（B）同階但不等價的無窮??；（C）高階無窮??； （D）低階無窮小。2 設函數(shù)f (x)在點x = a處可導，則在點x = a處不可導的充要條件是（ C ）（A）f (a) = 0，且； （B）f (a)0，但；（C）f (a) = 0，且； （D）f (a)0，且。3 曲線（ B ）（A）沒有

2、漸近線； （B）有一條水平漸近線和一條斜漸近線；（C）有一條鉛直漸近線； （D）有兩條水平漸近線。4設均為可微函數(shù)，且。已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項中的正確者為（ D ）（A）若，則； （B）若，則；（C）若，則； （D）若，則。5設曲面的上側，則下述曲面積分不為零的是（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、設函數(shù)f (x)具有連續(xù)的二階導數(shù)，且，求。解：由題設可推知f (0) = 0，于是有。故 。四、設函數(shù)由參數(shù)方程所確定，求。解：由，得到，所以。而當x = 9時，由及t > 1，得t = 2，故。五、設n為自然數(shù)，計算積分。解：注意到：對于每個固定的n，總有，

3、所以被積函數(shù)在x = 0點處有界（x = 0不是被積函數(shù)的奇點）。又，于是有，上面的等式對于一切大于1的自然數(shù)均成立，故有。所以。六、設f (x)是除x = 0點外處處連續(xù)的奇函數(shù)，x = 0為其第一類跳躍間斷點，證明是連續(xù)的偶函數(shù)，但在x = 0點處不可導。證明：因為x = 0是f (x)的第一類跳躍間斷點，所以存在，設為A，則A0；又因f (x)為奇函數(shù)，所以。命：則在x = 0點處連續(xù)，從而在上處處連續(xù)，且是奇函數(shù)：當x > 0，則x < 0，；當x < 0，則x > 0，,即是連續(xù)的奇函數(shù)，于是是連續(xù)的偶函數(shù)，且在x = 0點處可導。又，即 ，所以是連續(xù)的偶函數(shù)

4、，但在x = 0點處不可導。七、設f (u, v)有一階連續(xù)偏導數(shù)，證明：。解： 設：，則類似可得，代入原式左邊，得到八、設函數(shù)f (u)連續(xù)，在點u = 0處可導，且f(0)= 0，求：。解：記，應用球坐標，并同時注意到積分區(qū)域與被積函數(shù)的對稱性，有于是有。九、計算，其中L為正向一周。解：因為L為，故其中D為L所圍區(qū)域，故為D的面積。為此我們對L加以討論，用以搞清D的面積。當時，；當時，；當時，；當時，故D的面積為2×1=2。從而。十、 證明：當充分小時，不等式成立。 設，求。證明： 因為，又注意到當充分小時，所以成立不等式。 由知，當n充分大時有，故，而，于是，由夾逼定理知。十一、設常數(shù)，證明：當x > 0且x 1時，。證明：設函數(shù)，故要證，只需證：當；當。顯然：。命：，則。當x = 2時，x = 2為唯一駐點。又，所以x = 2為的唯一極小值點，故為的最小值(x > 0)，即當x > 0時，從而嚴格單調(diào)遞增。又因，所以當；當。十二、設勻質(zhì)半球殼的半徑為R，密度為，在球殼的對稱軸上，有一條長為l的均勻細棒，其密度為。若棒的近殼一端與球心的距離為a，a > R ，求此半球殼對棒的引力。解：設球心在坐標原點上，半球殼為上半球面，細棒位于正z軸上，則由于對稱性，所求引力在