選修22 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用典型例題

1、第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.1 變化率與導(dǎo)數(shù)【知識點歸納】1.平均變化率：2.瞬時速度：3.導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的概念：4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：拓展知識：5.平均變化率的幾何意義：6.導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系：【典型例題】題型一 求平均變化率：例1.已知函數(shù)的圖像上一點（1,1）及其鄰近一點，則=_.變式訓(xùn)練：1.以速度豎直向上拋出一物體，t秒時的高度為，求物體在到這段時間的平均速度.2.求正弦函數(shù)在和附近的平均變化率，并比較他們的大小.題型二 實際問題中的瞬時速度例 2 已知質(zhì)點M按規(guī)律做直線運動（位移單位：cm，時間單位：s）（1）當(dāng)時，求；（2）當(dāng)時，求；（3）求質(zhì)點M在t=2時的瞬時速度.題型三 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2、及導(dǎo)函數(shù)的值例 3求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).題型四 曲線的切線問題例 4 （1）已知曲線上一點A（1，2），求點A處的切線方程. （2）求過點（-1，-2）且與曲線想切的直線方程.（3）求曲線在x=1處的切線的傾斜角.（4）曲線在點P處的切線斜率為3，求點P的坐標(biāo).1.2 導(dǎo)數(shù)的計算【知識點歸納】1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：3.導(dǎo)數(shù)的運算法則：4.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：【典型例題】題型 一 基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式運用例1 給出下列結(jié)論：；若，則；若，則；.若，則 其中正確的是_.題型 二 導(dǎo)數(shù)運算法則的應(yīng)用例 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1）；（2）；（3）；（4）.變式訓(xùn)練：判斷下面的求導(dǎo)

3、是否正確，如果不正確，加以改正.題型 三 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的應(yīng)用例 7 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）.變式訓(xùn)練：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題型 四 切線方程及應(yīng)用例4 曲線在點（0，1）處的切線方程是？變式訓(xùn)練：曲線在P處的切線平行于直線，則點P的坐標(biāo)為_.題型 五 利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問題例5 若曲線在坐標(biāo)原點處的切線方程是，則實數(shù)a=_變式訓(xùn)練：若函數(shù)在x=a處的導(dǎo)數(shù)值為函數(shù)值互為相反數(shù)，求a的值題型 六 對數(shù)求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（選講）例6 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；題型 七 求導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用例7 有一把梯子貼靠在筆直的墻上，已知梯子上端下滑的距離 s （單位：m）關(guān)于時間 t （單位s）的函數(shù)為.求函數(shù)在時

4、的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實際意義.1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【知識點歸納】1.函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：3.導(dǎo)數(shù)的絕對值的大小與圖像的關(guān)系（選講）：【典型例題】題型 一 里用導(dǎo)數(shù)的信息確定函數(shù)大致圖像例1 已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息：當(dāng)時，； 當(dāng)或時，； 當(dāng)或時，；試畫出函數(shù)f（x）圖像的大致形狀.題型 二 判斷或者證明函數(shù)的單調(diào)性例2 試判斷函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性.變式訓(xùn)練：證明：函數(shù)在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)遞增函數(shù).題型 三 求函數(shù)的單調(diào)性例3 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.變式訓(xùn)練：求函數(shù)的單調(diào)性.題型 四 含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性例4 已知函數(shù)，討論f

5、（x）的單調(diào)性.變式訓(xùn)練：已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍. 導(dǎo)數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)【知識點歸納】1.導(dǎo)數(shù)的極值的概念：2.導(dǎo)數(shù)的極值的判斷和求法：【典型例題】題型 一 求函數(shù)的極值例1 求下列函數(shù)的極值：（1）； （2）.變式訓(xùn)練：設(shè)的導(dǎo)數(shù)滿足，其中常數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程.（2）設(shè)，求函數(shù)的極值.題型 二 判斷函數(shù)極值點的情況例2 判斷下列函數(shù)有無極值，若有極值，請求出極值；如果沒有極值，請說明理由.（1）； （2）； （3）.變式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)，其中.證明：當(dāng)時，函數(shù)f（x）沒有極值點，當(dāng)時,函數(shù)f（x）有且只有一個極值點，并求出極值.題型 三導(dǎo)函數(shù)的圖像與函數(shù)極值的關(guān)系例3

6、函數(shù)f（x）的定義域為開區(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)有極小值點的個數(shù)為（）A 1個 B.2個 C.3個 D.4個題型 四 極值的逆向問題例4 已知函數(shù)在x=1處取得極值-3-c，其中a，b為常數(shù). （1）試確定a，b的值.（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.綜上：若說明函數(shù)沒有極值，一般不討論有無導(dǎo)數(shù)，而是在區(qū)間上只有一個單調(diào)性，沒有“拐點”. 函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)【知識點歸納】1.最大小值與極值的關(guān)系：2.求最大小值的步驟：3.開區(qū)間的最值問題：【典型例題】題型 一 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題例1 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.變

7、式訓(xùn)練：設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像在處的切線與直線垂直，導(dǎo)數(shù)的最小值為-12.（1）求a，b，c的值.（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并求函數(shù)f（x）在-1,3上的最大小值.題型 二 含參數(shù)最值問題例 2 設(shè)a為常數(shù)，求函數(shù)的最大值.變式訓(xùn)練：1.設(shè) （1）若f（x）在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍. （2）當(dāng)時,f（x）在1,4上的最小值為，求f（x）在該區(qū)間上的最大值.題型 三 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值例3 設(shè)，函數(shù)的最大值為1，最小值為，求a，b的值.1.4 生活中的優(yōu)化問題【知識點歸納】利用求函數(shù)的最大小值的方法求實際應(yīng)用中的最優(yōu)化問題函數(shù)的極值與端點值的比較【典型例題】題型 一 利

8、潤最大問題例 1 某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出商品件數(shù)與商品單價的降低值x（單位：元, ）的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件.（1）將一星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大變式訓(xùn)練：某分公司經(jīng)銷某種品牌的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交m（3m5）元的管理費，預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x（9x11）元時，一年的銷售量為(12-x)2萬件（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的

9、利潤L最大，并求出L的最大值Q（m）題型 二 用料最省、費用最低問題例 2如圖，某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y（單位：米）的矩形，上部是斜邊長為x的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米（）求x，y的關(guān)系式，并求x的取值范圍；（）問x，y分別為多少時用料最省？變式訓(xùn)練：某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的體積為立方米，且假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c（c3）千元設(shè)該容器的建造費用為y千元（）寫出y關(guān)于r

10、的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的r題型 三 面積、體積最值問題例 3如圖在二次函數(shù)的圖像與x軸所圍成的圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD，求這個內(nèi)接矩形的最大面積.xy變式訓(xùn)練：請您設(shè)計一個帳篷它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如圖所示）試問當(dāng)帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大？1.5 定積分的概念【知識點歸納】定積分的概念：定積分的性質(zhì)：【典型例題】題型 一 利用定義計算積分例 1利用定積分定義，計算題型 二 求曲邊梯形的面積例 2利用定積分的定義求出直線x=1，x=2和y=0及曲線圍成的圖形的面積.1.6

11、微積分基本定理【知識點歸納】1.牛頓萊布尼茨公式：2.定積分的取值：3.定積分的一些性質(zhì)：【典型例題】題型 一 求簡單函數(shù)的定積分例 1 求下列函數(shù)的定積分：（1）； （2）； （3）；題型 二 求分段函數(shù)的定積分例 2 求函數(shù)在區(qū)間0，3上的定積分.變式訓(xùn)練：求定積分：（1）； （2）題型 三 定積分的實際應(yīng)用例 3 汽車以每小時36 km的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車的減速度為剎車，求從開始停車到停車，汽車的走過的距離.變式訓(xùn)練：等比數(shù)列中，前三項和，則公比q的值是多少？1.7 定積分的簡單應(yīng)用【知識點歸納】1.常見的平面圖形的面積求法：2.定積分在物理公式中的應(yīng)用：【典型例題】題型 一 用定積分求平面圖形的面積例 1 求曲線與所圍成的圖形的面積.變式訓(xùn)練：求由拋物線所圍成的圖形的面積例 2 求正弦曲線和直線及x