定積分的定義與性質(zhì)-李飛

1、5.1 定積分的概念與性質(zhì)5.2 定積分的積分方法5.4 復(fù)習(xí)題5.3 定積分的應(yīng)用 規(guī)則圖形規(guī)則圖形 的面積的面積 矩形的面積矩形的面積=長(zhǎng)長(zhǎng) 寬寬. 長(zhǎng)長(zhǎng)寬寬高高h(yuǎn)上上底底a直角梯形的面積直角梯形的面積=.2hba 中位線中位線,長(zhǎng)為長(zhǎng)為 2ba 直角梯形的面積可用矩形面積計(jì)算直角梯形的面積可用矩形面積計(jì)算. 下下底底b那么,不規(guī)則圖形的面積如何求呢?用若干條平行于用若干條平行于 軸及軸及 軸的直線軸的直線 將圖形分割將圖形分割,所求面積應(yīng)為被分割的所求面積應(yīng)為被分割的 所有小面積之和所有小面積之和. yx 如左圖如左圖,將其放入平面直角坐標(biāo)系中將其放入平面直角坐標(biāo)系中. yoxA 我們分

2、析我們分析 : 由三條直線和一條曲由三條直線和一條曲 線圍成線圍成,其中兩條直線互相平行其中兩條直線互相平行,第三條第三條 直線與這兩條直線垂直直線與這兩條直線垂直,另一邊為曲線另一邊為曲線,稱(chēng)這樣的圖形為曲邊梯形稱(chēng)這樣的圖形為曲邊梯形. AA 對(duì)四周的不對(duì)四周的不規(guī)則圖形規(guī)則圖形,面積怎么求面積怎么求? 只要將其求出只要將其求出,則則大的不規(guī)則圖形面大的不規(guī)則圖形面 積也即求出積也即求出.? 求不規(guī)則圖形求不規(guī)則圖形 的面積問(wèn)題的面積問(wèn)題 其中其中,中間部分為矩形中間部分為矩形,易求面積易求面積. 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 求曲邊梯形求曲邊梯形 的面積問(wèn)題的面積問(wèn)題如何求曲邊梯形的面積如何求曲邊梯形的面

3、積? 將曲邊梯形放在平面直角坐標(biāo)系中將曲邊梯形放在平面直角坐標(biāo)系中,則由連續(xù)曲線則由連續(xù)曲線)(xfy),0)(xfbx)(ba直線直線, ax0y和和(即即 軸軸)所圍成的平面圖形所圍成的平面圖形xbBAayxoax=bx0y)(xfy ABab?A面積面積 : 求曲線求曲線 y x2、直線、直線 x 1和和 x軸軸所圍成的曲邊三角形的面積所圍成的曲邊三角形的面積x yOy x21SSx yOy x212n1n1nn.1inin21()in(4)(4)取極限取極限 取取Sn的極限，得曲邊三角形面積：的極限，得曲邊三角形面積： SnlimS nS n)211)(11 (31limnnn13(1

4、)(1)分割分割(1,2,.,1)ixinnn直線把曲邊三角形分成 個(gè)小曲邊梯形。0,1n將區(qū)間分成 個(gè)相等的小區(qū)間。121.innSsssss (2)(2)近似近似i第 個(gè)小曲邊梯形面積:211s()(1,2,., )iiinnn22211112110( )( ).()nnSnnnnnnn6) 12() 1(13nnnn)211)(11 (31nn。 小矩形面積的總和：(3)(3)求和求和nSS分分 割割求求 和和近近 似似取極限取極限把整體的問(wèn)題分成局部的問(wèn)題把整體的問(wèn)題分成局部的問(wèn)題在局部上在局部上“以直代曲以直代曲”, 求出求出局部的近似值；局部的近似值；得到整體的一個(gè)近似值；得到整體

5、的一個(gè)近似值；得到整體量的精確值；得到整體量的精確值；yxo直直 曲曲 對(duì)立對(duì)立統(tǒng)一統(tǒng)一)(xfy ABab在區(qū)間在區(qū)間 上任意選取分點(diǎn)上任意選取分點(diǎn) ,ba,1210bxxxxxann 1x2x3xix1ix1nx,10 xx,21xx ,.,1nnxx 每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為,1iiixxx., 2, 1ni.max1inixx其中最長(zhǎng)的記作其中最長(zhǎng)的記作 x0 x=nx=分成分成 個(gè)個(gè)小區(qū)間小區(qū)間n (1)分割分割分曲邊梯形為分曲邊梯形為 個(gè)小曲邊梯形個(gè)小曲邊梯形 n以直代曲1.求曲邊梯形的面積 yxo)(xfy ABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx= 過(guò)每個(gè)分

6、點(diǎn)過(guò)每個(gè)分點(diǎn) ( ) 作作 軸的垂線軸的垂線,把曲邊梯形把曲邊梯形分成分成 個(gè)窄曲邊梯形個(gè)窄曲邊梯形.ixni, 2, 1xn 用用 表示所求表示所求曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.A 表示第表示第 個(gè)小個(gè)小曲邊梯形面積曲邊梯形面積, 則有則有: iAi.121niinAAAAA1A2A3AiAnAyxo)(xfy ABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx= (2)近似代替近似代替用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積 ), 2 , 1(ni，iA)(ifix在每一個(gè)小區(qū)間在每一個(gè)小區(qū)間 上任選一點(diǎn)上任選一點(diǎn) ( ),用與用與小曲邊梯形同底小曲邊梯形同底,以

7、以 為高的小矩形的面積為高的小矩形的面積 近似代近似代替小曲邊梯形的面積替小曲邊梯形的面積,即即 ,1iixxni，, 2 , 1i)(if)(ifix11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)(yxo)(xfy ABab1x2x3xix1ix1nx0 x=nx=11A11)(xf2i2A22)(xfiAiixf)(nnAnnxf)( (3)求和求和求求 個(gè)小矩形面積之和個(gè)小矩形面積之和 n 個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積是個(gè)小矩形構(gòu)成的階梯形的面積是 ,這是原曲邊這是原曲邊梯形面積的一個(gè)近似值梯形面積的一個(gè)近似值.即即nniiixf1)(niiAA1.)(1niiix

8、f (4)取極限取極限由近似值過(guò)渡到精確值由近似值過(guò)渡到精確值 分割區(qū)間分割區(qū)間 的點(diǎn)數(shù)越多的點(diǎn)數(shù)越多,即即 越大越大,且每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度且每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度越短越短,即分割越細(xì)即分割越細(xì),階梯形的面積階梯形的面積,即和數(shù)即和數(shù) 與曲邊梯與曲邊梯形面積形面積 的誤差越小的誤差越小. nniiixf1)(A,baix 現(xiàn)將區(qū)間現(xiàn)將區(qū)間 無(wú)限地細(xì)無(wú)限地細(xì)分下去分下去,并使每個(gè)小區(qū)間的并使每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度長(zhǎng)度 都趨于零都趨于零,這時(shí)這時(shí),和和數(shù)的極限就是原曲邊梯形數(shù)的極限就是原曲邊梯形面積的精確值面積的精確值.,baix 01lim( ).niiiAfx其中 12=max,nxxx求得曲邊梯形的面積求

9、得曲邊梯形的面積:yxoab經(jīng)經(jīng)(1)分割分割; (2)近似代替近似代替; (3)求和求和; (4)取極限取極限.A)(xfy.)(lim10niiixxfA2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 已知物體直線運(yùn)動(dòng)的速度vv(t)是時(shí)間 t 的連續(xù)函數(shù), 且v(t)0, 計(jì)算物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程S.(1)分割: T1t0t1t2 tn1tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物體在時(shí)間段ti1, ti內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為 Siv(i)ti ( ti1 iti ); 物體在時(shí)間段T1, T2內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程近似為 (3)求和: (4)取極限: 記maxt1, t2, tn, 物體所經(jīng)過(guò)的

10、路程為 niiitvS1)(; niiitvS10)(lim. 以不變代變定義定義5.1 .)(lim10niiixxf用分點(diǎn)用分點(diǎn) ,1210bxxxxxann 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上有定義上有定義,)(xf,ba把區(qū)間把區(qū)間 分成分成 個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間 ,ban其長(zhǎng)度其長(zhǎng)度 ,1iiixxx., 2, 1ni并記并記 .max1inixx,1iixx., 2, 1ni在每一個(gè)小區(qū)間在每一個(gè)小區(qū)間 ( )上任選一點(diǎn)上任選一點(diǎn) ,作乘作乘積的和式積的和式 ,1iixxni, 2, 1 i.)(1niiixf 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),若上述和式的極限存在若上述和式的極限存在,且這極限與區(qū)間且這極

11、限與區(qū)間 的分法無(wú)關(guān)的分法無(wú)關(guān),與點(diǎn)與點(diǎn) 的取法無(wú)關(guān)的取法無(wú)關(guān),則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù) 在在 上是可上是可積的積的,并稱(chēng)此極限值為函數(shù)并稱(chēng)此極限值為函數(shù) 在在 上的定積分上的定積分,記作記作 0 xi,ba)(xf,ba)(xf,ba,d)(baxxf即即 baxxfd)(xxfbad)( 積分上限積分上限 積分下限積分下限 被積表達(dá)式被積表達(dá)式 被積函數(shù)被積函數(shù) 積分變量積分變量 .)(lim10niiixxf 積分號(hào)積分號(hào) ,ba稱(chēng)為積分區(qū)間稱(chēng)為積分區(qū)間. 定積分各部分的名稱(chēng) 積分符號(hào), f(x) 被積函數(shù), f(x)dx 被積表達(dá)式, x 積分變量, a 積分下限, b 積分上限, a, b積

12、分區(qū)間， niiibaxfdxxf10)(lim)(. niiixf1)(積分和. 根據(jù)定積分的定義, 曲邊梯形的面積為badxxfA)(. 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為dttvSTT)(21. bababaduufdttfdxxf)()()(. 說(shuō)明： 定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān), 而與積分變量的記法無(wú)關(guān), 即注意注意: : 定積分與不定積分的區(qū)別定積分與不定積分的區(qū)別定積分和不定積分是兩個(gè)完全不同的概念.不定積分是微分的逆運(yùn)算而定積分是一種特殊的和的極限函數(shù)f(x)的不定積分是(無(wú)窮多個(gè))函數(shù),而f(x)在a, b上的定積分是一個(gè)完全由被積函數(shù)f(x)的形式和積分區(qū)間a, b所確定的值.

13、v函數(shù)的可積性 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的定積分存在, 則稱(chēng)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. 定理2 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有界, 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn), 則函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上可積. niiibaxfdxxf10)(lim)(. 積分上限積分上限 1. 定積分定積分 是一個(gè)數(shù)值是一個(gè)數(shù)值,該數(shù)值取決于被積函數(shù)該數(shù)值取決于被積函數(shù) 和積分區(qū)間和積分區(qū)間 ,與積分變量無(wú)關(guān)與積分變量無(wú)關(guān),即即xxfbad)()(xf,ba.d)(d)(ttfxxfbaba 積分下限積分下限 2. 交換定積分

14、的上下限交換定積分的上下限,定積分變號(hào)定積分變號(hào),即即.d )(d )(xxfxxfabba特別地特別地, 有有. 0d)(aaxxf3. 3. 可以證明：如果在區(qū)間上可可以證明：如果在區(qū)間上可積，則在區(qū)間上有界，即函數(shù)積，則在區(qū)間上有界，即函數(shù)有界是其可積的必要條件有界是其可積的必要條件)(xfba,ba,)(xf)(xf這一結(jié)論也可以敘述為：如果函數(shù)這一結(jié)論也可以敘述為：如果函數(shù)在區(qū)間上無(wú)界，則在上不可在區(qū)間上無(wú)界，則在上不可積積)(xf)(xfba,ba,4 4.可積的充分條件可積的充分條件: :，且只有有限個(gè)第一類(lèi)，且只有有限個(gè)第一類(lèi)函數(shù)函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù)( )f x , a b

15、( )f x在在 上可積。上可積。 , a b函數(shù)函數(shù) 在在 上有界上有界( )f x , a b在在 上可積。上可積。( )f x , a b間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) (1)當(dāng) ab 時(shí), 0)(badxxf; v兩點(diǎn)規(guī)定 (2)當(dāng) ab 時(shí), abbadxxfdxxf)()(. 例1 用定積分表示極限.11lim1ninnin解ninnin111limnninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni注: 設(shè)f (x)在0, 1上連續(xù), 則有101)()(1limdxxfnifnninixi?Axoy1y1.dd)(abxxxfAbaba, 1)(xf特別地特別地,在區(qū)間在區(qū)間 上上,若若

16、,ba則則由定積分的定義知由定積分的定義知yxo?A面積面積A.d)(xxfba)., 0)(baxfb)(xfy ABaab.d)(baxxfA?Axoy)(xfy ab, 0)(xf在區(qū)間在區(qū)間 上上,若若,babaxxfAd)( 則圖中陰影部則圖中陰影部分的面積為分的面積為caxxfd)(abox)(xfy ycd若若)(xf有正有負(fù)有正有負(fù),在區(qū)間在區(qū)間 上上,badcxxfd)(.d)(bdxxf 這是因?yàn)閎aniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniii

17、niiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010. Axxfxfbad)(,0)(曲邊梯形面積baxxfxfd)(,0)(曲邊梯形面積的負(fù)值A(chǔ)abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面積的代數(shù)和例例2 2用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立: (1);2d1112xx (1)由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義,該面該面積就是作為曲邊的函數(shù)積就是作為曲邊的函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的定積分上的定積分,即即21 xy 1, 1xx d1112上半單

18、位圓的面積為上半單位圓的面積為2.2解解 (2).21d10 xx解解 (2)由定積分的幾何意義由定積分的幾何意義,該面積該面積就是作為直線的函數(shù)就是作為直線的函數(shù) 在區(qū)在區(qū)間間 上的定積分上的定積分,即即xy1,0 xx d10.21xy yBxo1A該三角形的面積為該三角形的面積為211 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性質(zhì)1 性質(zhì)2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 性質(zhì)3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 注：值得注意的是不論a, b, c的相對(duì)位置如何上式總成立，這條性質(zhì)也稱(chēng)為積分區(qū)間的可加性。例例4 4用幾何圖形說(shuō)明下列等

19、式成立用幾何圖形說(shuō)明下列等式成立: 解解 (1); 0dsin22xx(1)由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知 ,dsindsindsin200222xxxxxxxoy1122CxysinDAB1A2A面積面積 21AA 由定積分的由定積分的幾何意義幾何意義 =1A=2A故故 .0dsin2122AAxx 奇函數(shù)奇函數(shù) 解解 (2)由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知由定積分對(duì)區(qū)間的可加性知 ,dcosdcosdcos200222xxxxxxxo2面積面積 21AA 由定積分的由定積分的幾何意義幾何意義 =1A=2A故故 .dcos22dcos2022122xxAAAxx(2).dcos2d

20、cos2022xxxxxycosCAB1A22A1y 偶函數(shù)偶函數(shù) ),()(xfxf則則. 0d )(xxfaa結(jié)論結(jié)論則則.d )(2d )(0 xxfxxfaaa(1) 若若 是奇函數(shù)是奇函數(shù),即即)(xf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在對(duì)稱(chēng)區(qū)間在對(duì)稱(chēng)區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù), )(xf,aa),()(xfxf(2) 若若 是偶函數(shù)是偶函數(shù),即即)(xf性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)4 4 abdxdxbaba1. 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 2 babadxxfkdxxkf)()(. badxxf0)(ab). 推論1

21、 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 babadxxgdxxf)()(ab). 這是因?yàn)間(x)f(x)0, 從而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(, babadxxgdxxf)()(. 所以如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 ( (比較性質(zhì)比較性質(zhì)) )若函數(shù)若函數(shù) 和和 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上總有上總有 )(xf)(xg, ba),()(xgxf則則.d)(d)(babaxxgxxf由圖由圖,兩個(gè)曲邊梯形的面積有關(guān)系兩個(gè)曲邊梯形的面積有關(guān)系: aABb的面積的面積bBaA11的面積的面積yABxo)(xfy ab)(xgy1A1Bbaxxf

22、d)(.d)(baxxg=例例5 5比較下列積分值的大小比較下列積分值的大小 : 解解 (1)10dxx與與.d102xx由定積分的比較性質(zhì)由定積分的比較性質(zhì) y1(1)在區(qū)間在區(qū)間 上上,因因,1 ,0,2xxxo1xy 10dxx.d102xx2xy解解 由定積分的比較性質(zhì)由定積分的比較性質(zhì) y1(2)在區(qū)間在區(qū)間 上上,因因,4, 0,cossinxxxo(2)與與40dsinxx.dcos40 xx4xycos40dsinxx.dcos40 xx2xysin即 babadxxfdxxf| )(|)(|. 這是因?yàn)閨f(x)|f(x)|f(x)|, 所以badxxf0)(ab). 推論1

23、 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 babadxxgdxxf)()(ab). 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 babadxxfdxxf| )(|)(|(ab). 推論2 bababadxxfdxxfdxxf| )(|)(| )(|, 推論1 如果在區(qū)間a, b上 f (x)g(x), 則 如果在區(qū)間a, b上 f (x)0, 則 性質(zhì)5 推論2 性質(zhì)6 （估值定理）設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的最大值及最小值, 則 baabMdxxfabm)()()(ab). badxxf0)(ab). babadxxgdxxf)()(ab). babadxxfd

24、xxf| )(|)(|(ab). 例4 試證:.2dsin120 xxx證明 設(shè))(xf,sinxx則在),0(2上, 有)(xf2sincosxxxx)tan(xx2cosxx0)0()()(fxff2即2, 1)(xf), 0(x2故xxxfxd1d)(d2220002即2dsin120 xxx 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn) , 使下式成立: 這是因?yàn)? 由性質(zhì)6 性質(zhì)7(定積分中值定理) baabfdxxf)()(. 積分中值公式. baabMdxxfabm)()()(, 即 baMdxxfabm)(1, 由介值定理, 至少存在一點(diǎn)a, b, 使badxxfabf)(1)(, 兩端乘以ba即得積分中值公式.)(f注:無(wú)論從幾何上, 還是從物理上, 都容易理解平均值公式求連續(xù)變量的平均值要用到.baxxfabfd)(1)()(ba.,)(上的平均值在區(qū)間就是baxf 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則在積分區(qū)間a, b上至少存在一個(gè)點(diǎn) , 使下式成立: 性質(zhì)7(定積分中值定理) baabfdxxf)()(. 積分中值公式. 例5 計(jì)算從0 秒到T秒這段時(shí)間內(nèi)自由落體的平均速度. 解 已知自由落體速度為tgv 故