定積分計(jì)算技巧_第1頁
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1、1. 定積分的幾何意義例1. =_解法1 由定積分的幾何意義知，等于上半圓周 ()與軸所圍成的圖形的面積故=2. 利用積分不等式例1.求, 為自然數(shù) 解法 利用積分不等式因?yàn)?,而,所以 例2. 求解法 因?yàn)椋视杏谑强傻糜钟捎谝虼?3.利用被積函數(shù)的奇偶性求定積分例1. 計(jì)算分析 由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性 解 =由于是偶函數(shù)，而是奇函數(shù)，有, 于是=由定積分的幾何意義可知, 故 例2. 計(jì)算.解 雖然在上即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，更不能直接求出原函數(shù)，但我們可以利用得原式.4.設(shè)f(x)為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為T，則.事實(shí)上由于于是例1.設(shè)表示距離x最近整數(shù)

2、的距離，計(jì)算解 由且為周期函數(shù)，周期為1，于是5.利用積分中值定理例1. 求, 為自然數(shù)解法 利用積分中值定理設(shè) , 顯然在上連續(xù), 由積分中值定理得, ,當(dāng)時(shí), , 而, 故例2. 求解法 由積分中值定理 可知 =，又且，故6.利用適當(dāng)變量變換求定積分例1. 設(shè)f(x)在0，1上連續(xù)，計(jì)算解 設(shè)于是得例2.設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)滿足且，計(jì)算解法一 解法二 當(dāng)時(shí)，于是例46 設(shè)解 原式7.利用定積分公式公式1：設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，則事實(shí)上 移項(xiàng)兩邊同除以2得.公式2： 記 于是由于遞推公式每次降2次，要討論n為奇偶數(shù)的情形，由公式3：證 由，知的周期為，當(dāng)然也是它的周期，利周期函數(shù)定積分的性質(zhì)，有而由于2n是偶數(shù)，故公式4 . 證 例54 證明.證 公式5設(shè)f(x)在0,1上連續(xù)，則.證 由是為周期的函數(shù)，當(dāng)然也是以為周期的函數(shù)，知也是以為周期的函

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