計(jì)數(shù)原理(最全面的方法匯總)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上計(jì)數(shù)原理（排列組合）插空法，擋板法，捆綁法，優(yōu)選法，平均分配問題等例題精選+練習(xí)一、擋板法（插板法、隔板法、插刀法）將n個(gè)相同的元素排成一行，n個(gè)元素之間出現(xiàn)了（n-1）個(gè)空檔，現(xiàn)在我們用（m-1）個(gè)“檔板”插入（n-1）個(gè)空檔中，就把n個(gè)元素隔成有序的m份，每個(gè)組依次按組序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)元素（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、.），這樣不同的插入辦法就對(duì)應(yīng)著n個(gè)相同的元素分到m組的一種分法，這種借助于這樣的虛擬“檔板”分配元素的方法稱之為擋板法。(1)例題解讀【例1】 共有10完全相同的球分到5個(gè)盒里，每個(gè)盒至少要分到一個(gè)球，問有幾種不同分法？解析：我們可以將10

2、個(gè)相同的球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)了9個(gè)空隙，現(xiàn)在我們用4個(gè)檔板”插入這9個(gè)空隙中，就“把10個(gè)球隔成有序的5份，每個(gè)盒子依次按盒子序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球（可能是1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)），這樣，借助于虛擬“檔板”就可以把10個(gè)球分到了5個(gè)班中。 【基本題型的變形（一）】題型：有n個(gè)相同的元素，要求分到m組中，問有多少種不同的分法？解題思路：這種問題是允許有些組中分到的元素為“0”，也就是組中可以為空的。對(duì)于這樣的題，我們就首先將每組都填上1個(gè)，這樣所要元素總數(shù)就m個(gè)，問題也就是轉(zhuǎn)變成將（n+m）個(gè)元素分到m組，并且每組至少分到一個(gè)的問題，也就可以用插板法來解決。 【例2】有8個(gè)相同的

3、球放到三個(gè)不同的盒子里，共有（ ）種不同方法. A35 B28 C21 D45解答：題目允許盒子有空，則需要每個(gè)組添加1個(gè)，則球的總數(shù)為8+3×1=11，此題就有C（10，2）=45（種）分法了，選項(xiàng)D為正確答案?！净绢}型的變形（二）】題型：有n個(gè)相同的元素，要求分到m組，要求各組中分到的元素至少某個(gè)確定值S（s1，且每組的s值可以不同），問有多少種不同的分法？ 解題思路：這種問題是要求組中分到的元素不能少某個(gè)確定值s，各組分到的不是至少為一個(gè)了。對(duì)于這樣的題，我們就首先將各組都填滿，即各組就填上對(duì)應(yīng)的確定值s那么多個(gè)，這樣就滿足了題目中要求的最起碼的條件，之后我們?cè)俜质Ｏ碌那?。這

4、樣這個(gè)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樯厦嫖覀兲岬降淖冃危ㄒ唬┑膯栴}了，我們也就可以用插板法來解決?！纠?】15個(gè)相同的球放入編號(hào)為1、2、3的盒子內(nèi)，盒內(nèi)球數(shù)不少于編號(hào)數(shù)，有幾種不同的放法？解析：編號(hào)1：至少1個(gè)，符合要求。編號(hào)2：至少2個(gè)：需預(yù)先添加1個(gè)球，則總數(shù)-1編號(hào)3：至少3個(gè)，需預(yù)先添加2個(gè)，才能滿足條件，后面添加一個(gè)，則總數(shù)-2則球總數(shù)15-1-2=12個(gè)放進(jìn)3個(gè)盒子里所以C（11，2）=55（種）（2）練習(xí)強(qiáng)化1.現(xiàn)有10個(gè)相同的籃球全部分給7個(gè)班級(jí)，每班至少一個(gè)，問共有多少種不同的分發(fā)？842. 某單位訂閱了30份學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門，每個(gè)部門至少發(fā)放9份材料。問一共有多少種不同的發(fā)放方法？（

5、 C ） A.7 B.9 C.10 D.12 3.有9顆相同的糖，4天吃完，每天至少吃一顆，有多少種吃法？564.有9顆相同的糖，4天內(nèi)吃完，共有多少種吃法？2865.方程x+y+z=10的正整數(shù)解有 36 組.6.方程x+y+z=10的自然數(shù)解有 55 組.二、插空法插空法就是對(duì)于解決某幾個(gè)元素要求不相鄰的問題時(shí)，先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙或兩端位置。首要特點(diǎn)就是不相鄰。（1）例題解讀1. 數(shù)字問題【例】 把1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字1，2不相鄰的五位數(shù)，則所有不同排法有多少種？解析：本題直接解答較為麻煩，因?yàn)榭上葘?，4，5三個(gè)元素排定，共有種排

6、法，然后再將1，2插入四個(gè)空位共有種排法，故由乘法原理得，所有不同的五位數(shù)有2. 節(jié)目單問題【例】在一張節(jié)目單中原有六個(gè)節(jié)目，若保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，則所有不同的添加方法共有多少種？解析：-o - o - o - o - o - o - 六個(gè)節(jié)目算上前后共有七個(gè)空位，那么加上的第一個(gè)節(jié)目則有種方法；此時(shí)有七個(gè)節(jié)目，再用第二個(gè)節(jié)目去插八個(gè)空位有種方法；此時(shí)有八個(gè)節(jié)目，用最后一個(gè)節(jié)目去插九個(gè)空位有種方法。由乘法原理得，所有不同的添加方法為：。 3. 關(guān)燈問題【例】一條馬路上有編號(hào)1，2，3，4，5，6，7，8，9的九盞路燈，為了節(jié)約用電，可以把其中的三盞燈關(guān)掉，但不能同時(shí)

7、關(guān)掉相鄰兩盞或三盞，則所有不同的關(guān)燈方法有多少種？解析：如果直接解答須分類討論，故可把六盞亮著的燈看作六個(gè)元素，然后用不亮的三盞燈去插七個(gè)空位（用不亮的3盞燈去插剩下亮的6盞燈空位，就有7個(gè)空位）共有種方法，因此所有不同的關(guān)燈方法為種。4. 停車問題【例】停車場(chǎng)劃出一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空位置連在一起，不同的停車方法有多少種？解析：先排好8輛車有種方法，要求空位置連在一起（剩下4個(gè)空位在一起，來插入8輛車，有9個(gè)空位可以插），將空位置插入其中有種方法。所以共有種方法。5. 座位問題【例】 3個(gè)人坐在一排8個(gè)椅子上，若每個(gè)人左右兩邊都有空位，則坐法的種類有多少種？解法：先拿

8、出5個(gè)椅子排成一排，在5個(gè)椅子中間出現(xiàn)4個(gè)空，再讓3個(gè)人每人帶一把椅子去插空，于是有種。（2）練習(xí)強(qiáng)化1.有7個(gè)學(xué)生排成一排照相，其中甲和乙不相鄰的排法有多少？ 36002.有4個(gè)男生，3個(gè)女生排成一排，女生不相鄰的排法？ 14403.高三（1）班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不聯(lián)排，則不同的排法種數(shù)是 3600 4一張節(jié)目表上原有3個(gè)節(jié)目，如果保持這三個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加2個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？ 205.從1-100當(dāng)中選出3個(gè)數(shù)互不相鄰，請(qǐng)問一共有多少種選法？三、捆綁法所謂捆綁法是指在做排列的題目時(shí)，解決某些元素相鄰(

9、要求在一起)問題常用捆綁法：把相鄰元素看作一個(gè)整體，再與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列。（1）例題講解例題1、A、B、C、D、E五人排成一排，其中A、B兩人必須站一起，共有（）種排法。解析：先將A、B捆綁在一起，共有A22=2種，再用他們的整體和C、D、E在一起排，共有A44=24，共有2*24=48例題2、現(xiàn)有6個(gè)不同的球全部放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子里至少一個(gè)球，一共有多少種方法？解答：根據(jù)題目要求，則其中一個(gè)盒子必須得放2個(gè)，其他每個(gè)盒子放1個(gè)球，所以從6個(gè)球中挑出2個(gè)球看成一個(gè)整體，則有，這個(gè)整體和剩下4個(gè)球放入5個(gè)盒子里，則有。方法是（2）練習(xí)強(qiáng)化1.有7名學(xué)生排成一

10、排照相，期中甲乙相鄰，有多少種方法？14402.有4名老師被分配到3所學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少一名教師，共有多少種方法？36四、平均分配和部分平均分配問題(1)例題講解1.均分無分配對(duì)象的問題例題1：把4個(gè)人平均分成兩組，一共有多少種分法？錯(cuò)誤答案：=6錯(cuò)誤思路：先從4人中抽取2人作為一組，剩下的再抽取2人作為一組錯(cuò)誤原因：在抽取過程中，人為考慮了排列問題，例如先抽取甲乙，剩丙丁和先抽取丙丁，剩甲乙是同一種情況，但答案計(jì)算了兩次正確思路：先從4人中抽取2人作為一組，剩下的2人作為一組，然后再除以重復(fù)的倍數(shù)，重復(fù)的倍數(shù)與分組的數(shù)量相關(guān)，具體次數(shù)是組數(shù)的一個(gè)全排列題目剖析：學(xué)生在第一次接觸這種問題時(shí)，大

11、部分人都會(huì)犯這種錯(cuò)誤，主要原因是思維容易受到表象的欺騙而產(chǎn)生錯(cuò)誤，而且學(xué)生根本注意不到自己所犯的錯(cuò)誤，面對(duì)這種問題，最好的方式就是讓學(xué)生通過錯(cuò)誤學(xué)習(xí)。 例題2：把6個(gè)人平均分成三組，一共有多少種分法?根據(jù)基礎(chǔ)題型的解答思路，首先從6個(gè)人中抽取2人作為一組，再從剩下的4人中再抽取2人作為一組，剩下的2人作為一組，共有C62C42C22種方法，因?yàn)樵诔槿∵^程中，存在一個(gè)組與組之間的排列問題，即一種分組被重復(fù)了A33次，因此最后答案是:C62C42C22A33小結(jié)：被平均分成了n組，最終重復(fù)了Ann次。 部分均分問題：現(xiàn)在要把5個(gè)人分成3組，每個(gè)組至少有1個(gè)人，問共有多少種分組方式？解析：這種題型屬

12、于部分均分問題，即在整個(gè)分組問題中，局部會(huì)出現(xiàn)平均分配，首先需要先進(jìn)行分類，一共會(huì)出現(xiàn)2種情況，第一種：有兩個(gè)組有2人，一個(gè)組有1人；第二種：有兩個(gè)組有1人，一個(gè)組有3人；分別計(jì)算每種情況的數(shù)量，再累加。錯(cuò)誤思路：如果是第一種情況，先從5人中抽取2人，再從3人中抽取2人，最后還剩1人，一共分成了3組，因此除以3的階乘錯(cuò)誤原因：把3個(gè)組看成了相同的組正確思路：先從5人中抽取2人，再從3人中抽取2人，剩下的一人一組，這個(gè)時(shí)候只有前面兩個(gè)分組的數(shù)量相同，因此會(huì)存在排列問題，只需除以2的階乘2.均分有分配對(duì)象的問題方法：先分再排法。分成的組數(shù)看成元素的個(gè)數(shù)例題3.把6名學(xué)生平均分配到三個(gè)班，每班2人，

13、一共有多少種分法?解析：先分組后排序，分步乘法，即（2）練習(xí)強(qiáng)化1.共有12本不同的書（1）按444平均分成三堆有多少種不同的分法？5775（2）按2226分成四堆有多少種不同的分法？138602.有6本不同的書按222平均分給甲、乙、丙三個(gè)人，有多少種不同的分法？903.有 12支筆按3：3：2：2：2分給A、B、C、D、E五個(gè)人有多少種不同的分法？五.優(yōu)選法優(yōu)選法：對(duì)于問題中的特殊元素、特殊位置要優(yōu)先安排確定。在操作時(shí)，針對(duì)實(shí)際問題，有時(shí)“元素優(yōu)先”，有時(shí)“位置優(yōu)先”。注意：看特殊，分步、分類，限制完，自由排，注意“0”。難點(diǎn)：不管是位置優(yōu)先還是元素優(yōu)先，都要看清是分類還是分步來解決問題；

14、注意“0”，題目中往往對(duì)于“0”有暗含的限制條件。（2）例題講解例題1.由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個(gè)？解析一：利用位置優(yōu)先方法。偶數(shù)則要求個(gè)位為偶數(shù)，小于50000則首位要小于5。:第一步，首先看個(gè)位，從2個(gè)偶數(shù)中選擇有C12種選法；第二步，看首位，從個(gè)數(shù)上已選數(shù)字和5之外的數(shù)字選，則有 C13種選法；第三步，對(duì)于剩下的三個(gè)位置沒有限制，則可以隨意選擇剩下的三個(gè)數(shù)字排上去，則有A33 種選法。根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原則，共有：C12×C13 ×A33=36。解析二：利用元素優(yōu)先方法。第一步，從數(shù)字2、4中選一個(gè)放在個(gè)位上，有C12種選法；第二步，從個(gè)數(shù)上已選數(shù)字和5之外的數(shù)字選一個(gè)放在首位上，則有 C13種選法；第三步，對(duì)于剩下的三個(gè)數(shù)字沒有限制，則可以隨意安排到剩下的三個(gè)數(shù)位上去，則有A33 種選法。根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原則，共有：C12×C13 ×A44=36。（2）練習(xí)強(qiáng)化1.小新、小呆等七個(gè)同學(xué)照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個(gè)人排成一排； 5040（2）七個(gè)人排成一排，小新必須站在中間.720（