教學案例15-石治安

1、教學案例課題：10.4探索三角形相似的條件（2） 新民中學 石治安教材分析：探索三角形相似的條件（2）選自義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學（蘇科版）八年級下冊第十章圖形的相似。 圖形的相似這一章是初中數(shù)學的重要內(nèi)容之一。它是研究全等圖形的繼續(xù)和深化.由全等進入相似，即由保距變換進入保角變換，使認識擴大到了一個新的領域，具體表現(xiàn)在：線段關系從相等發(fā)展到成比例。同時，后續(xù)知識三角函數(shù)的概念、解直角三角形、圓的一些性質(zhì)也是以相似形為基礎的。所以圖形的相似在整個教材中起著承上啟下的作用。 相似三角形在數(shù)學和實際生活中有著廣泛的應用，根據(jù)定義判定兩個三角形相似又過于麻煩，因此尋找三角形相似的條件有必要，也

2、值得去探索，是本章的重要內(nèi)容。三角形相似的條件課本共分為三課時，分別在每一課時介紹一種三角形相似的條件。探索三角形相似的條件（2）是第二課時，它是在相似條件一的基礎上產(chǎn)生，而它的研究方法又為相似條件三的研究做出了示范，起著承上啟下的作用.因此探索三角形相似的條件（2）在本章中更是重中之重。教學目標：1、通過實踐和探索，得出兩個三角形具備有兩邊對應成比例，并且夾角相等的條件，即可判斷這兩個三角形相似的方法。2、會選擇適當?shù)臈l件判斷兩個三角形相似。3、經(jīng)歷“猜想驗證推廣說理應用”的數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理和有條理的表達能力。教學重點： 經(jīng)歷探索三角形相似的條件的過程及其應用。教學難點： 三角形相

3、似條件的說理（證明）和應用。設計理念： 任何數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)都會經(jīng)歷：“猜想驗證推廣說理（證明）應用”這一過程，它是研究數(shù)學的基本思路。 本節(jié)課先通過對特殊的相似三角形（相似比為1的三角形，即全等三角形）的邊角邊判定條件的研究，從而科學、大膽地提出猜想，接著用測量的辦法來驗證猜想，然后對我們的猜想做進一步的推廣，為了確保猜想的正確性，再運用已有的知識加以論證、說明，最后對探索到的數(shù)學知識又加以應用。 充分地體現(xiàn)了課標的過程教學，也完美地展示了數(shù)學研究的基本思路。教學實錄：1、 情境創(chuàng)設，提出猜想開始語：同學們，在上一節(jié)課的探索中，我們知道：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那

4、么這兩個三角形相似。那么三角形的相似還有沒有其它條件呢？今天我們再次踏上探索之旅途。出示課題：10.4探索三角形相似的條件（2）板書師：常言道“溫故而知新”，下面邀請一位同學回憶一下三角形全等條件邊角邊（SAS）的內(nèi)容？生：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形全等。教師板書： 兩邊對應相等 夾角相等師：如圖，在和中， .根據(jù)邊角邊（SAS）判定條件來判斷和全等，還需要添加什么條件？生：還需要添加條件：，教師板書：（此板書在下面的教學過程中需要改變）12在和中因為，所以師：如果把條件：，改寫成：。 那么和是否還全等？（在剛才的板書中改寫）生：是的，因為

5、條件，和條件是等價的，所以兩個三角形仍然是全等的。師：回答的很好！那么這兩個三角形除了是全等關系外，還是什么關系？（學生思考）生：相似吧，因為全等三角形是相似比為1的特殊的相似三角形。（教師把剛才板書中的中的“”改成“”.）改動后的板書： 在和中因為所以師：的確如此！也就是說：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例（比值為1），并且夾角相等.那么這兩個三角形相似.師：偉大的科學家牛頓曾說過：沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造. 那么對于三角形相似的條件，你們有什么大膽的猜想呢？（學生想說，但又不敢說。但在教師的鼓勵下，有同學鼓起了勇氣.）生：我的猜想是：如果把比值改成2，兩個三

6、角形可能也是相似的. 教師在課件中出示猜想：在和中，如果，那么和 相似嗎？2、 探索活動，揭示新知活動一 操作、觀察 （驗證猜想）師：在古希臘，人們經(jīng)常用測量的方法來研究圖形.今天，我們不防也用測一測、量一量的方法來驗證我們的猜想.師：下面就讓我們用自己的雙手共同驗證我們的猜想吧！如圖，在A和中， 師生共同操作：以A為內(nèi)角，畫ABC，使得師：同學們用量角器量一量和，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？ 生：和相等. 師：其他同學是否也有這樣的發(fā)現(xiàn)？ 眾生：是的！ 師：你能判斷和相似嗎？ 眾生 ：能. 師：誰能說說你的判斷理由？ 生：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似. 師：

7、通過驗證，當比值為2的時候，兩個三角形仍然相似. 活動二：進一步猜想，推廣k值 師：如果設比值為k.通過剛才的研究：當k=1時，兩三角形生：相似師：當k=2時，兩三角形生：相似師：此時，你還有什么更大膽的猜想？（學生很積極）生：k可以取一切實數(shù).生：不對，k可以取大于0的一切自然數(shù).生：k可以取大于0的一切實數(shù).生：和k無關，只要兩邊對應成比例.師：同學們的猜想都很大膽，都具有牛頓的品質(zhì)，但對嗎？生：我們可以用測量的辦法加以驗證啊？師：對！下面就請同學們分別驗證k=2.5、3、3.5、4的時候是否還相似.（學生通過測量的辦法分別驗證著自己的猜想）師：你們有什么發(fā)現(xiàn)嗎？眾生：仍然相似.活動二 說

8、理師：同學們剛才認真的操作、仔細的觀察加深了我們猜想的可信度。但舉例有限，而k的取值卻無限，那么我們能否運用已有的知識加以說明呢？教師在投影片上出示：如圖，在和中，如果A=A，試說明： 師：下面就讓我們沿著問題的路標，向成功邁進吧！教師出示問題1：問題1：如何在ABC中構造出一個與ABC相似的三角形？（學生思考）生：作BC邊的平行線.（學生根據(jù)上一節(jié)的內(nèi)容很容易想到）師：非常棒！在AB邊上任找一點，過點作，交AC于點.根據(jù)上節(jié)課的知識，我們可以知道與ABC相似. 師：像這樣的三角形有多少個？生：無數(shù)個.教師出示問題2： 問題2：點在什么位置時，所構造的可能與全等？（學生思考） 生：時. 教師出

9、示下圖： 師：假如和全等，而又和相似.那么就和相似. 師：和全等已經(jīng)有什么條件了？ 生：，. 師：還需要什么條件？ 生：或或 師：我們不妨從邊入手.教師出示問題3：問題3：如何說明（學生思考、討論）生： 因為 所以 又因為， 所以 師：剛才嚴謹?shù)耐评?，再次說明了猜想的正確性.師：請同學們用自己的語言總結出我們今天的發(fā)現(xiàn).（學生積極發(fā)言，通過前面的研究，基本都可以能說對）教師總結：如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。教師板書：3、 應用結論，加深理解 師：通過前面的探索，我們又發(fā)現(xiàn)了一種判定兩三角形相似的方法，下面我們就應用今日所學去解決更多的

10、數(shù)學問題. （1）教師出示思考思考：如圖，在ABC和ABC 中，B= B .要使ABCABC ，需要添加什么條件？ 生： 生：生：師：要說明兩個三角形相似，若已知一對等角，則可找另一對等角，或找夾已知等角的兩邊對應成比例。 牛刀小試：課本 121頁 練習 第1題 （2）教師出示討論： 討論1：在ABC中，AB=8，AC=6.在AB邊上有一定點D，AD=4，在AC邊上有一動點E.試問：當AE= 時，ABC和ADE相似.（學生充分討論后，讓學生在課件中找出兩個三角形可能相似時點E的大概位置，如上圖兩點、）第一種情況：當動點E在處時： 需要條件第一種情況：當動點E在處時：需要條件 討論2：如圖，在A

11、BC中，AB=4，AC=2.問題1：在AB上取一點D，當AD= 時，ACDABC；問題2：在AC的延長線上取一點E，當CE= 時，AEBABC. 問題3：此時，BE與DC有怎樣的位置關系？為什么？（3）教師出示觀察： 觀察：如圖，將方格紙分成6個三角形.在、5個三角形中，與三角形相似的三角形有哪些？為什么？4、 小結與思考（1） 學生總結：通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？（2） 教師總結：在今天的這節(jié)課中，我們通過“猜想驗證推廣說理應用”的過程，探索出三角形相似的條件。在這過程中，我們發(fā)揚著“敢想、敢做；務實、嚴謹”的數(shù)學精神。在這過程中，我們感受著數(shù)學從已知到未知的魅力。希望同學們在今后的學

12、習中，繼續(xù)“探索數(shù)學世界、秉承數(shù)學精神、感受數(shù)學魅力”。5、 布置作業(yè)用今天所學的探索方法去探索三角形相似的其它條件。關于探索三角形相似的條件（2）的教學反思經(jīng)歷知識過程 滲透研究方法新民初級中學 石治安有人說：“數(shù)學課堂就是傳授數(shù)學知識”，其實這種想法是很片面的。數(shù)學教學的目的不單單是傳授枯燥的數(shù)學知識，更重要的是通過數(shù)學知識這一載體，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和滲透數(shù)學研究方法。數(shù)學思維能力和數(shù)學研究方法的形成，不能依靠教師告訴學生，它是潛移默化的，它只能夠讓學生在一次又一次的數(shù)學活動中感受它，應用它。這樣有價值的數(shù)學活動越多，學生對它的理解就越深刻。這就需要教師能夠提供給學生更多的數(shù)學活動機

13、會，探究數(shù)學知識的發(fā)生過程就是一個很好的機會。為此，經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程在這次課程改革中被提到一個尤為重要的地位。在這過程中，更能培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力和數(shù)學研究方法的滲透。下面，就結合我在我校對外公開中的探索三角形相似的條件（2）一課，談談過程教學的得與失。本節(jié)課的主要內(nèi)容是“如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這樣的兩個三角形相似。”應該說學生對該知識是能夠比較容易掌握的，但為了能更好的培養(yǎng)學生的思維能力，養(yǎng)成良好的研究習慣，在本節(jié)課的教學中，我從數(shù)學研究的一般思路“猜想驗證推廣說理（證明）應用”進行了知識形成過程的教學，充分的展示出該知識的形成過程。下

14、面就從數(shù)學研究的一般思路一一說起。一、提出猜想在圖形的全等這一章的學習中，我們知道：根據(jù)全等三角形邊角邊判定條件判定兩個三角形全等，只需知道兩邊對應相等，并且夾角相等。綜合這判定條件和相似三角形，可以從以下三個層次做進一步的思考第一個層次：兩邊對應相等可以做一個等價的改變兩邊對應成比例，且比值為1。第二個層次：全等三角形是相似比為1的特殊的相似三角形，因此這兩個三角形除了 是全等關系，還是相似關系。第三個層次：相似三角形對邊的要求比全等三角形對邊的要求要寬松。但對角的要求是同等的。在以上三個層次的研究基礎上，提出科學、大膽的猜想：一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，如

15、果把比值條件放寬，比如把比值由1改為2的時候，那么兩個三角形是否還相似呢？猜想并不是胡想亂想，它的提出需要學生對已有的知識和需探究的知識有很深刻的理解，很深的洞察力。光有知識是遠遠達不到要求的。上面猜想的提出就是一個很好的例子，如果不能理解出上面的三層含義，就不會有這樣科學、合理的猜想。在這猜想提出的過程中，學生會更清楚全等和相似兩者之間的關系（特殊與一般的關系），也會在無意間感受、運用著類比和從特殊到一般的數(shù)學研究方法。實際教學中，沒有同學敢提出自己的猜想，但他們的眼神告訴我，他們有猜想，但就不敢說。在我的鼓勵之下，最終有同學說出了自己的猜想，并且就是我所希望的猜想。造成這樣的原因可能是很平

16、時的教學過于嚴肅以及后面有聽課教師有關。二、測量驗證猜想對嗎？我們需要對它做出一個判斷。測量法、特殊值法都是很好的驗證方法。對于代數(shù)中的字母問題、公式等，特殊值法就可以很好的發(fā)揮它的作用。比如：對嗎？我們只需要找?guī)讉€數(shù)字代入就可以知道它的正確性。很明顯當a=1,b=-1時，等式不成立。圖形問題則是測量法的舞臺，在本節(jié)課的實際教學就是采用測量法來加以驗證的。如圖：在A和中， 師生共同操作：以A為內(nèi)角，畫ABC，使得用量角器量出和學生通過自己的測量，深信不已的把腦中的問好拉成了感嘆號。到此，學生已經(jīng)成功的邁出了探索的第一步，也是意義最重大的一步。在教學中，發(fā)現(xiàn)學生畫圖的速度很慢，甚至有的同學量出的

17、角是不相等的，這就需要在平時加強對學生動手能力的培養(yǎng)。三、合理推廣在數(shù)學知識不斷的增長中，推廣是一種很重要的數(shù)學研究方法。比值從1到2這一步的成功，一方面使學生加強了成功帶來的自信，另一方面更可以打開學生的思維空間，比值k能不能是其它的數(shù)值呢？或許與k的取值無關？他們在無意間對比值K做著推廣，這樣的想法可謂是出色的，他們已經(jīng)能夠運用數(shù)學研究中的一種重要的研究方法推廣。在數(shù)學知識的發(fā)展中，對數(shù)學知識的每一次推廣都具有劃時代的作用，比如：數(shù)域的推廣： 自然數(shù) 正數(shù) 有理數(shù) 實數(shù) 復數(shù)坐標系的推廣：數(shù)軸 平面坐標系 空間坐標系或許對K值的推廣沒有上面兩個例子那樣復雜而又有意義，但本質(zhì)上確實一樣的，都

18、是對已有知識的更深層次的思考和推廣。在前面已有的經(jīng)驗基礎上，學生可以自行驗證自己的猜想。在課堂中，一次又一次的發(fā)出感嘆，感受著數(shù)學的奧妙！甚至，有同學說相似和比值K沒有關系的更大膽的想法。四、嚴謹說理和比值k無關，這是經(jīng)過大量實驗后的一個很大膽的想法。舉例畢竟有限，但k的取值卻是無限的，這就需要運用已有的、確信無疑的知識來說明想法的正確性。在教學中，這是一個難點，一方面在這里要運用到構造法，另一方面要運用到用比例線段證明線段相等。為了突破這兩個難點，在這里精心設置了三個問題：問題1：如何在ABC中構造出一個與ABC相似的三角形？問題2：點在什么位置時，所構造的可能與全等？問題3：如何說明問題1和問題2的設置是為了突破構造法。這兩問題的設置有一定的臺階性，先想辦法構造相似三角形，在此基礎上，再找出可能全等的三角形。在臺階的引導下，學生基本能夠構造出想要的三角形。問題3的設置是為了解決用比例線段證明線段相等。這個問題設置的有探究的價值，同時也存在一定的難度，學生很少有人能夠想出方法。在教學中，該問題可以設置兩問，如下：問題a：從，你能得到什么比例式？（結論教師板書，便于學生思考）問題b：和有什么關系？為什么？這樣做既降低了難度，又有一定的思維空間，便于學生掌握運用比例線段說明線段相等的方法。五、正確應用學習數(shù)學的最終目的是應用，應用可以分兩種：一種是解決數(shù)學內(nèi)部的問題；另一種是